2021年届湖南省永州市高三第一次模拟考试理科数学试题含答案

1、2021届湖南省永州市高三第一次模拟考试理科数学试题注意事项：1 .本试卷分第【卷（选择题）和第i【卷（非选择题）两部分.2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3 .全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4 .考试结束后，只交答题卡.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内.）1,设集合作x£Z¥4田3W0,集合后2,3,4,5,则馆8二B.2C.（2.3）D.2,3,4）2.（工.是虚数单位）则复数Z的模为B,也2C. 72D.3.若 X>

2、;2,x +-的最小值为 x-24.A. 4C. 6D. 7己知数列UJ满足±二2,a。二一区, 2则数列的前5项和Ss等于C. 31D. 322x - y - 4 > 05 .已知实数满足约束条件1L2. v-2« 0,则2二工一丁的最小值A. -1B. 1C. 2D, 46 .如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”.图中的 示a除以b的余数，若输入a,力的值分别为195, 52,则执行该果为A. 13B. 26C. 39D. 780（第6小题是,MOD b” 表 程序输出的结7 .已知数列/前A项和为S,且摭令后_L,则数列 6J的前项和北为凡1A.

3、1 B. 17C. 2一二n2D. 2"+18.若函数/ （x） 调递减，A. + nn）cos 2x + s i nB (1, +oc)2x在区间（£，工）单则实数a的取值范围是c.厂，+ oo)9 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A,3 c , Rn 乃A. 6B. 6C. 6D - 6T424410 .已知函数千(*-1) (x£ R)是偶函数，且函数£ (x)的图象关成中心对称，当- 1, 1时，f(x) =x-1 > 贝I f (2019)A. -2B. -1C. 0D. 2正视图侧视图于点（1, 0）46o所成角的正弦值

4、是俯视图（第9小题图）与平而12.已知双曲线6二一二二1">0, 2>0）的右焦点尸，过点尸作其中一条渐近线的垂线，垂足为M与a2 b2另一条渐近线交于M若丽=2诉,则双曲线的离心率为鼠，当B.我C. y/3D. 25/2本卷包括必考题和选考题，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上.）13 .在_一）3的展开式中，常数项是,14 .从3个男生、2个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是男生的概率是cr cryI ci .2222

5、15 .椭圆是的圆的一个伸缩变换，椭圆U：二是圆a:十二二1作伸缩变换，bcrb=y得到的，我们说与。的纵伸缩比是横伸缩比是1,伸缩变换的图形的面积比为伸缩比之积，圆石G二十二二1的面积是5二设椭圆0:二+二二1（">>0）的面积为S',由2=9x1=2知crcrcrb'SaaS,=na6.过点尸（3,0）作直线2与椭圆二十二二1相交于点M加则蛆Y0是坐标原点）的面42积最大值是._16 .在中，CA=2tCB=49CACB=-2,o是血的外心，=xC4+yCB，贝Ij/y二.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1

6、7.（本小题满分12分）如图，在嫉中,AB=8,点、D的5c边上，豆。2,cosZJZ?C=",cosZDAB714(1)求角5：(2)求月。的长.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥产一胆中，底面宓力为长方形,”二2屈7=6,点万线段月6的中点，pc=PD=PE=3叵点尸在线段%上且Pb=Lpc：3（1）证明：ADLPCx（2）求二面角尸一虎一。的余弦值.19 .（本小题满分12分）如图，圆）f：A（y-2）：=32,；V（C-2），点，连接（3），交圆于点。，过N作第的平行线交好于反（1）求证：I3/FI4-I%I为定值，并求动点尸的轨迹，方（2）点尸（4,3）,点月（1,0）

7、，过月作直线I交6于，两线尸G方的斜率之和为定值.20 .（本小题满分12分）某城市的美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖的底薪90元，每单提成m元：百度外卖的底薪120元，每日前40单无提成，超出40单的部分每单提成6元.现从两公司各随机抽取50名“骑手”，跟踪30天，考察他们的每天的派送单数，得出两公司的“骑手”的人平均派送单数情况如右条形图：（1）求百度外卖公司的“骑手”日工资y（单位:元）与送餐单数的函数关系;（2）若将频率视为概率，回答以下问题:记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求才的分布列和数学期望：要使美团“骑手”的日工资期望值与百度外卖的“骑

8、手”日工资期望值相等，求m的值（精确到0.1）.21.（本小题满分12分）函数千（才）三千+mLn（/1）.（1）当？=Y时，求函数千（x）的单调减区间：（2）若函数f（X）有两个极值点M、*，且以V照，求42的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系Mr中，以坐标原点0为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点月的极坐标（0J）,4曲线G的极坐标方程为QC0S（夕-£）=4,且曲线G过点儿曲线C的极坐标方程为夕二-2cos&l

9、t;9.4（1）求a的值及曲线C的直角坐标方程：（2）求曲线C上的点到曲线G的距离的最大值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数/a）=k+i|.（1）解不等式：/（_¥）«2x；（2）若不等式/（幻5-2怛”的解集为非空集合，求&的取值范围.2021届湖南省永州市高三第一次模拟考试理科数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）15CBCAB6-10ABACD1112CA二、填空题13.6三、解答题（每小题5分，共2014.一%）15.5/216.-510（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满

10、分12分）13cosZDAB14,sinZADC=4-,sinNDAB=14.,cosB-cos(ZCDA-ZDAB),/.cosB-cosZCDAcosZDAB+sinZCZMsin/DABn1134733E1门n小、cosB-x一+-x二一,且Bw3,zr)97147142（2）在A45。中，由正弦定理可得,AB_ADsin/BDAsinB在AAOC中，由余弦定理可得AC=DC+AD>-2ADDC-cosZADC/.AC=112分18.(本小题满分12分)解：(i)取0c的中点。，连接0a。石，,PD=PC,POLDC,且尸0二3,2分易证PE2=P6>2+0E2,.尸O_LO

11、E且Z)CcOE=0,：，面458.笊一何DAEBPOJ_ADADLDC1且OCc尸。二。，4。，面P。且PCu面PDC,ZAD±PC(2)建立如图所示的空间直角坐标系易知面力及刀的法向量*二(0,0,1),一0(0.-3.0),E(3,0,0),-(0,1,2),.瓦二(3,3,0)污二(0,4,2),(8分)设而际的法向量后二（兑Fz）,%DE=3x+3y=0-1_，可得=(1,一，2)n)-PF=4y+2z=0二卬，即所不用日勺笈弦值为卬3310分12分19.(本小题满分12分)(1)证明：I俯|二I,mI,4MPQ=4MOP,NE/M0,£ENP=二4MPQ,（第1

12、9小题图）ZMOPIm二I叫，ME-hNE22+=1(*W0)：48注：没写审对0也不扣分.2C2)设直线7的方程：产瓜才一1)4(2+&2)/-2入+公一8=Ot=I便I+I。|二|俯|=4算,动点方的轨迹的方程是:5分2与椭圆工+t=1联立方程,28=4A-4X(2+2)X(/-8)=24/+64>0,设G(N,X),HjQ知知巧是上述方程的两根，±2k?-8有+占=3；二一一r>-2+/-2+公-3+3辰&-3+-3(54+3)(%+x>)+8(+3)kpG+kpH=x,-4x2-4xx-4x2-4X1X2-4(xt+X2)+I610分11分1

13、2分2k(K-8)(5k+3)x2二+8(A+3)(2+二)18A?+48o犷一8-4x2116x(2+厂)-9K+24-若设直线1的斜率不存在，求得G(I,娓)，H(1,-血)，显然有.3-3+>/6ckpr+A"=+=2故直线尸G,用的斜率之和为定值2.20.(本小题满分12分)解：12°j?<40-neTV*6一(2)由条形图知，百度外卖的送餐单数为38,40时，庐120,频数为4+5=9,频率为2=2.30107送餐单数为42时，户132,频数为7,频率为一：3084送餐单数为44时，的144,频数为8,频率为一二一：3015送餐单数为46时，庐156,

14、频数为6,频率为9=_L：305X的可能值为120,132,144,156,则X的分布列为X120132144156p3io73041515EX=l20x+132x+144xf156x1二.10301555记美团外卖每日的送餐单数为,日工资为丫元,贝I y=90+ ?x=90+ 博,EY=E（90+喈）=90+mxE4,E 八=38xA + 40xA + 42xA + 44x2_ + 46x2_ = ,30303030125682所以 EY -90hm ,求得 *1. L .35（m值在L01.2间都不扣分）21.（本小题满分12分）解：（1）依题意知函数定义域为（7,一），c "?

15、2x2 +2x + mf （x） = 2x + -=,x+1x*!r2.30312分1分2分2r-+214当加二-4时，令/（为二三一1<0,得：-20x<l,又X>7,x+1故函数/(x)的单调减区间(一1,15分注：单调减区间写成(一1,1)也可。(2)若函数/(X)有两个极值点X、4,且内V公，知°<？x,e(-Xx+X2=_tv2=一0)92石石石xeI令叭x)=2xIn(x+1)-g,9(x+1)V-X2/.Xx)=2lnC+I)+T,令g(幻二2111"+1)+(x+1)-(x+1),/、2(x3+4.v2+4x+I)2(x+3x+Y)/

16、(»,勺1g'(x)=7=二一，令力(工)=r+3x+l,*+1)4(x+1尸、7又1,0),(A+1)3>0,力(刈在(-Lo)单调递增且力(0)>0,/()<0,222即存在与£(一1,0)使得力(.)二0即xe(-;，x°),g*(x)<0,X£(Xo,0),g,(x)>0,10分g（x）在（一；，与）单调递减，g（x）在（玉,0）单调递增,又 g (o ) =o , 8乙(-1)<x£(-；,o),8,")乙Lo）,*（x）在（一；，0）单调递减，2211分又<9(0)=oe(_L)=In2J,22故所求范围为（01n2）oT2分222.（本小题满分10分）解：将点A的极坐标为（友,为代入G的极坐标方程Qcos（o-£）=o,44得二V22分曲线G：夕二-2cos6化为直角坐标方程为：*+1尸+）,2=15分（2）由（1）可得G：pcos（e一工）二、方化为直角坐标方程为：x+y=2,4曲线G为直线6分由（1）曲线G为圆，圆心为（Lo