2020版高考数学总复习第二章函数第14讲函数模型及函数的综合应用练习理(含解析)新人教

1、第14讲函数模型及函数的综合应用楚湛J夯实基础访i【学习目标】1. 了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2. 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.3. 会运用函数的知识和函数思想解决有关函数的综合性问题，培养学生分析问题和解决问题的能力.【基础检测】1 .在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x00500o992.013.98y-0.990.010.982。00则对x,y最适合的拟合函数是（）A.y=2xB.y=x21C.y=2x2D.y=log2

2、x【解析】根据x=0。50,y=0.99,代入计算，可以排除A根据x=2。01,y=0.98，代入计算，可以排除B,C；将各数据彳t入函数y=log2x,可知满足题意.故选D【答案】D2.已知函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当xC(4,+00)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列选项正确的是()A.f(x)g(x)h(x)B.g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x)D.f(x)h(x)g(x)【答案】B3.某电商新售A产品，售价为每件50元，年销售量为11.8万件.为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额x%勺营业税(即每销售100元征税x

3、元).第二年，电商决定将A产品的售价提高错误！元，预计年销售量减少x万件.要使第二年A产品上交的营业税不少于10万元，则x的最大值是()A.2B.5C.8D.10【解析】由题意得错误！(11.8x)x%10,解得20x&10.故选Do【答案】D4.将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的水只有错误！L,则m的值为()A.5B.8C.9D.10【解析】5min后甲桶和乙桶的水量相等，函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=2a,可得n=错误！ln错误！，f(t)=a错误！错误！

4、，一,a因此，当kmin后甲桶中的水只有4L时，f(k)=a错误！错误！=错误！a,即错误！错误！=错误！，.k=10，由题可知mk5=5。【答案】A5.pH值是水溶液的重要理化参数.若溶液中氢离子的浓度为H（单位：mol/L）,则其pH值为lgH+.在标准温度和气压下，若水溶液pH=7,则溶液为中性，pH7时为碱性.例如，甲溶液中氢离子浓度为0.0001mol/L,其pH值为1g0.0001,即pH=4.已知乙溶液的pH=2,则乙溶液中氢离子浓度为mol/L。若乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍，则丙溶液的酸碱性为（填中性、酸性或碱性）.【解析】由pH=2可得：一lg错误！=2,即乙溶液中

5、氢离子浓度为0。01mol/L；由乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍可得：丙溶液中氢离子浓度为错误！=5X10t,显然lg错误！7,故丙溶液的酸碱性为碱性，故答案为0001,碱性.【答案】0.01;碱性【知识要点】1 .三种函数模型的性质函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)n/八y=x(n0)在（0,+8）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对稳定图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴平行随x增大逐渐表现为与x轴平行随n值及化而不同值的比较存在一个Xo，当xxo时，有logaxxn0,bwl).对数函数型模型：y=mlogax+n(nrn0,a0,awl).幕函

6、数型模型：y=axn+b(aw0).3 .解函数应用题的基本步骤(1)审题：就是认真读题，仔细审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，找出量与量之间的关系，从中提炼出相应的数学问题.(2)建模：引进数学符号，将问题中变量之间的关系抽象或拟合成一个目标函数，将实际问题转化为函数问题.(3)求解：利用数学知识和方法，对目标函数进行解答，求出数学结果.(4)检验：返回到实际问题，检验数学结果是否符合实际，对具体问题进行解答.季典例剖析MJ考点1函数模型应用错误！某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时，

7、C(x)=错误！x2+10x(万元).当年产量不小于80千件时，qx)=51x+错误！一1450(万元).每件.商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千年.时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解析】(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0005X1000x万元,依题意得：当0x80时，L(x)=(0O05X1000x)51x错误！+1450250=1200错误！.所以L(x)=错误！(2)当080时，L(x)=1200错误！12002错误！=1200200=1

8、000,此时乂=错误！，即x=100时L(x)取得最大值1000万元.V9501000,所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元.【点评】(1)分段函数每一段自变量的变化所遵循的规律不同，可以先将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁.(3)分段函数的最大(小)值是各段的最大(小)值中的最大(小)值.考点2函数性质与图象的综合应用错误！（1）函数f（x）=错误！+lnIxI的图象大致为（【解析】当x0时，函数f(x)=错误！+lnx,此时，f(1)=错误！+ln1=1,而选项

9、A的最小值为2,故可排除A,只有B正确.故选B.【答案】B(2)已知函数f(x)=错误！若正实数a,b,c互不相等，且f错误！=f错误！=错误！，则a+b+c的取值范围为()A.(e,2e+e2)Bo错误!Co错误!Do错误!【解析】由于f错误！=f错误！=f错误！，不妨设0a1bec,则一lna=Inb=2Inc,则Ina+Inb=Inab=0,ab=1,b=错误！,IncIna=2,In错误！=2,错误！=e2,c=e2a,由于0Ina1,错误！a1,则h(a)=a+错误！+e2a(错误！a1),h(x)=错误！x+错误！错误！，h(x)在错误！上为增函数，而h(1)=2+e2,h错误！=

10、2e+错误！，则2e+错误！h(x)2+e2。选B.【答案】B考点3函数与不等式的综合问题错误！(1)已知函数f(x)=错误！则不等式f(f(x)0时，-x200;当x1。设f(x)，则f(f(x)0时，恒有f(m)3;当m0时，f(mj)&3,即m+2mme3,即一3me1。所以f(m)3,即f(x)一3.当x3包成立；当x10时，由f(x)3可解得00x&错误！，综上所述，不等式f(f(x)f(x2),g(x1)minfWmin,.f(x)=x2+错误！一32错误！3=43=1,当且仅当x=错误！时取等号，f(x?)min1,当k0时，g(x)=kx+2,在xC1,2为增函数，.g(x)m

11、in=f(1)=2k,.2k1,解得0k1；当k1,解得一错误！k1成立，综上所述，k的取值范围是错误！.【答案】A考点4函数与方程的综合问题错误！已知函数f(x)=x24x+a+3,g(x)=mx+52m.(1)当xC错误！时，若函数y=f(sinx)存在零点，求实数a的取值范围并讨论零点个数；(2)当a=0时，若对任意的xi1,4,总存在x2C1,4,使f(xi)=g(x2)成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)令t=sinx1,1,f(t)=t24t+a+3=(t2)2+a1.函数f(t)图象的对称轴为直线t=2,要使f(t)在1,1上有零点，则错误！即错误！.-8a0时,g(x)=m

12、x+52m在1,4上是增函数，.g(x)5m,5+2m,记B=5m,5+2可.由题意，知A?B,.错误！解得m6。当m0时，g(x)=mx+52m在1,4上是减函数,.g(x)C5+2m,5可，记C=5+2m,5可.由题意，知A?C,错误!解得me-3o综上所述，实数m的取值范围是(一8,3U6,+oo).【点评】解决含有参数的动函数的常见方法有：1 .参变分离,转化成固定函数在固定区间上的最值问题；2 .对参数的讨论，与包成立问题，根的分布问题相结合；3 .零点的情况，与零点存在，唯一性相结合；4 .掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练掌握等价转化和准确表述；5 .数形结合思想

13、.方法总结32】1.函数应用问题解题的基本思路是先把实际问题抽象为一个函数问题，再利用函数、方程、不等式等相关知识解决问题，解题的基本步骤是：审题、建模、求解、回验四步.2,解应用题应重视“检验”，即把数学结果转化为与实际问题一致的结论.不一定要写“答”字，但必须对实际问题作出说明.3 .利用函数求最值是函数应用题中的常见题型，具方法是，先建立目标函数，同时指出函数的定义域，然后根据函数式的结构特点，采用适当的方法求出最值或取得最值的条件.4 .分段函数应用题是近几年高考的热点问题，凡是自变量取值有限制条件，而且在不同的区间上函数取值方法不同时，一般要使用分段函数.使用分段函数必须注意区间端点

14、值，要注意凡定义域内的点要做到“不重不漏”.端点放在哪个区间要视实际问题而定若在相邻区间上均可定义时般放在左端点.5 与函数有关的应用题，常涉及物价、路程、产值、利润、储蓄、人口、角度、面积、体积、造价等方面的实际问题，熟悉相关生活常识和计算公式，是解题的基本要求,因为它们一般作隐含条件，一定要注意6 拟合函数的类型一般由题设定，否则应由变量的相关数据描述作图，再根据图象特征提出假设7 函数的三要素中，对应法则是重点和关键,要特别重视；定义域是易错点,要特别注意；值域和最值是函数的一个整体性质，求解方法灵活,综合性强,深受命题者的青睐，要熟练8 函数图象可以全面地反映函数的性质,其中画图、识图

15、、用图是考查数学素质和数学能力的重要途径，为此,必须掌握画图的基本方法（描点法与变换法），熟悉基本初等函数的图象，并会灵活应用9 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）中,单调性是重中之重,也是高考考查的重点和热点10 熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数和对数函数的性质、图象和特点，是应用函数思想解题的基础，善于挖掘隐含条件,构造出恰当的函数解析式并能合理地运用函数图象和性质是应用函数思想解题的关键11 函数知识可深可浅，在高考中常出压轴题,因此炒得很热但必须注意万变不离其“宗，这个“宗”就是函数基础知识因此，要注意分寸，要把熟练基础知识放在首位，同时重视基础知识的灵活

16、应用12 函数中的复合函数问题、分段函数问题、分类讨论问题、探索性问题、应用问题和应适当加强训练综合问题是高考的热点问题【P32】1.(2018天津)已知a0,函数f(x)=错误！若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.【解析】当x00时，由x2+2ax+a=ax,得a=x2ax；当x0时，由一x2+2ax2a=ax,得2a=-x2+ax.令g(x)=错误！作出直线y=a,y=2a,函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为错误！+错误！=错误！，由图象可知，若f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a错误！2a,得4a8.St图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象

17、所在【答案】(4,8)【P191】A组题1.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，内车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的区域，判断正确的是()A.丙在田区域，丁在I区域B.丙在I区城，丁在田区域C.丙在II区域，丁在I区域D.丙在田区域，丁在II区域【解析】由图象，可得相同时间内内车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在田区域，丁在I区域.【答案】A2夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0。7，已知山顶的温度是14。1 ，山脚的温度是26，则山的相对高度是（）A1800米B1700米C1600米D1500米【解析】设山的相对高度为x（单位：百米），相应的温

18、度为y,则y=0.7x+26,令y=14.1,x=17,所以山高1700米.【答案】B3某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地损失价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少错误!t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则t的取值范围是（）A。错误!B.错误!C.错误！D。错误！【解析】由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20错误!t万亩，则税收收入为错误！X24000xt%由题意错误！X24000Xt唳9000,整理得t28t+1500,解得3t0)；在同一直角坐标系中做出f(x)=错误！与g(x)=x2+2x的图象

19、(如图)，可知f(x)与g(x)在第一象限有两个交点，故方程错误！=x2+2x(x0)有两解，所以f(x)的“姊妹点对”有两个.【答案】C5 .某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为.【解析】设年平均增长率为x,则(1+x)2=(1+p)(1+q),；x=错误！一1.【答案】错误！-16 .设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=x对称，且f(-2)+f(4)=1，贝Ua=.【解析】设(x,y)是函数丫=&象图象上任意一点，它关于直线y=x的对称点为(一y,一x),由已知知(一y,x)在函数y=2a的图象上，.

20、一x=2一y+a,解得y=log2(x)+a,即f(x)=log2(-x)+a,f(-2)+f(4)=log22+a-log24+a=1,解得a=2.【答案】27 .已知函数f(x)=4xm2x+1+n23,且存在实数x,使f(x)=f(x),则实数m的取值范围是.【解析】令t=2x0,由f(-x)=f(x)?(t22mt+n2-3)=错误！一错误！+n23有解，方程变形为错误！一2nm昔误！+2n26=0,令k=t+错误！2,方程变形为k22mH2n2-8=0。令g(k)=k22mR2n2-8(k2)，对称轴为k=m当nnc2时,有解等价于g(2)&0,解得1错误！wm2；当m2时，有解等价

21、于g(m0。,解得2m2错误！。综上，me1错误！,2错误！.【答案】1错误！，2错误！8 .某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w=4告，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他xI成本(如施肥的人工费等)2x百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元).(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)L(x)=16错误！一x2x=64错误！一3x(0x5).L(x)=64错误！3x=67一错误!67-2错误！=43。当且仅当错误！=3错误！时，即x=3时取等号.故L(x)max=43.B组题x2+3rxmi)1.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=J3x2xe且f(0)，(x+2)=f(x),g(x)=错误！，则方程f(x)=g(x)在区间5,1上的所有实根之和为()A.-7B.8C.9D.-10【解析】f(x)=错误！且f(x+2)=f(x),f(x)是周期为2的函数.又g(x)=错误！，则g(x)=3+错误！，易知两个函数都关于(2,3)对称，画出f(x)与g(x)的图象如图所示.由图象可得：y=f(x