数字信号处理课件第一章

1、第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列1.2 线性移不变系统线性移不变系统1.3 常系数线性差分方程常系数线性差分方程1.4 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样本章学习目标本章学习目标1、掌握几种典型序列的定义，掌握序列的基本运算，、掌握几种典型序列的定义，掌握序列的基本运算，并并会判断序列的周期性会判断序列的周期性。2、掌握线性、掌握线性/ /时不变时不变/ /因果因果/ /稳定的离散时间系统的概稳定的离散时间系统的概 念并会判断，掌握线性时不变系统及其因果性念并会判断，掌握线性时不变系统及其因果性/ /稳稳 定性判断的充要条件。定性判断

2、的充要条件。3、了解对时域连续信号的抽样，、了解对时域连续信号的抽样，掌握奈奎斯特抽样掌握奈奎斯特抽样 定理定理，了解抽样的恢复过程。，了解抽样的恢复过程。1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列一、序列的运算一、序列的运算1、移位、移位2、翻转、翻转3、加法、加法4、乘法、乘法序列序列)(nx)(mnx)(nx)(mnx)(nx)( nx )()()(nznynx)()()(nznynx5、累加、累加nkkxny)()(例例: :已知序列已知序列)(5 . 0)(nunxn求其累加序列求其累加序列)(nynkkku)(5 . 05 . 015 . 011nnkkxny)()(nkk05 .

3、0n5 . 02)(nx011/24321/41/8n1)(ny011.54321.751.875n1)()(nu6、差分、差分)() 1()(nxnxnx) 1()()(nxnxnx例例: :已知序列已知序列)(5 . 0)(nunxn求其后向差分序列求其后向差分序列)(nx) 1(5 . 0)(5 . 01nununn) 1()()(nxnxnx) 1(5 . 0) 1(5 . 0)(1nununnn) 1(5 . 0)(nunn)(nx011/24321/41/8n1)(nx01-1/2432-1/4-1/8n17、( (时间时间) )尺度变换尺度变换D为正整数为正整数抽取与插值抽取与插

4、值)(nx)(Inx序列序列 是是 的插值序列的插值序列序列序列 是是 的抽取序列的抽取序列)(Dnx)(nx0114322345)(nxn)2( nx011235n)2(nx0114322345n5678每每D个样值抽取一个个样值抽取一个每两个样值之间插入（每两个样值之间插入（I - -1）个零值）个零值I为正整数为正整数1 2 3 k = 0f1(k)1 1 1 1k = 0f2(k) 1 2 31 2 31 2 31 2 31 3 6 6 5 3k = 08、卷积、卷积mmnhmxnhnx)()()()(不进位乘法不进位乘法1）变量置换）变量置换 n m2）反转）反转 h(m) h(-m

5、) 3）移位移位 h(-m) h(n-m)4）对应项相乘、相加对应项相乘、相加二、几种常用序列二、几种常用序列1）单位抽样序列）单位抽样序列)(n2）单位阶跃序列）单位阶跃序列)(nu)(n01)(nn与与 的关系的关系)(n)(nu)()()()(21nnnnu) 1()()(nunun0)(mmnnkk)(kmn01132)(nun3）矩形序列）矩形序列011N-12)(nRNn)(nRN101Nn0其它其它)()()(NnununRN)1() 1()()(NnnnnRN)(nu)(nRN)(n与 、 的关系10)(Nmmn4）实指数序列）实指数序列5) ) 复指数序列复指数序列)()(n

6、uanxna为实数为实数njenenn00sincosnjenx)(0)(njnee0njenx0)(如果如果06）正弦序列）正弦序列)sin()(0nAnx0数字域频率数字域频率0 1432)(nuann15三、序列的周期性三、序列的周期性1、定义、定义2、正弦序列的周期性、正弦序列的周期性0sin)(NnANnx00sinNnAkN20当当 时时 )()(Nnxnx有有对所有对所有n，存在最小正整数，存在最小正整数N，满足，满足)()(Nnxnx则称则称x(n)为周期序列，周期为为周期序列，周期为N)sin()(0nAnx分三种情况讨论：分三种情况讨论：kN20kN0202021) ) 是

7、整数是整数x(n)是周期序列，周期为：是周期序列，周期为：)5sin()(nnx)3sin()(nnxkN02120例：判断下列序列是否为周期序列，并判断其周期例：判断下列序列是否为周期序列，并判断其周期)3254sin(n023) ) 是无理数时是无理数时x( (n) )是非周期序列是非周期序列)52sin(n)73sin(n)31sin( nBA02022) ) 是有理数时是有理数时kBAkN02当当k =B 时，得序列的周期时，得序列的周期rational number 例：判断下列序列是否为周期序列，并判断其周期例：判断下列序列是否为周期序列，并判断其周期5) )由连续时间正弦信号采样

8、也可得到正弦序列由连续时间正弦信号采样也可得到正弦序列的周期性与正弦序列相同的周期性与正弦序列相同njenx0)(3) )复指数序列复指数序列04) )对复指数序列和正弦序列，对复指数序列和正弦序列， 称为频率称为频率( (数字域数字域) )sin()(0tAtxnTttxnx)()()sin(0nTA)sin(0nA数字频率与模拟频率的关系数字频率与模拟频率的关系0sf0sff02是一个相对频率是一个相对频率0T00四、由单位冲激序列的线性组合来表示任意序列四、由单位冲激序列的线性组合来表示任意序列五、序列的能量五、序列的能量kknkx)()()()()(nnxnxnnx2)()(ny011

9、235n)(nyy22253135)()()(2513nnn1.2 线性时不变（移不变、非时变）系统线性时不变（移不变、非时变）系统若以若以T来表示这种运算来表示这种运算，则一个离散时间系统可，则一个离散时间系统可表示为：表示为： )()(nxTny离散时间系统中最重要、最常用的是离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统线性时不变系统”离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算LSI (linear shift invariant)(nxT)(ny那么当下式成立时，该系统是线性的那么当下式成立时，该系统是线性的 )()()()(21

10、21nbynaynbxnaxT一、线性系统一、线性系统 满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是由输入是由N个信号的加权和组成，则输出就是系统对个信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的加权和组成。这几个信号中每一个的响应的加权和组成。 如果系统在如果系统在x 1(n)和和x2(n)单独输入时的输出分别单独输入时的输出分别为为y1( (n) )和和y2( (n) ) 对任意常数对任意常数a和和b都成立都成立 若输入若输入x(n)时的输出为时的输出为y(n)，将输入序列移动将输入序列移动n位位后，其输出序列除了跟着移后，其输出序列

11、除了跟着移n位外，数值保持不变位外，数值保持不变. .二、时不变系统二、时不变系统 系统的运算关系系统的运算关系T在整个运算过程中不随时间在整个运算过程中不随时间变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）例例y (n) = x (2n) 是否为时不变系统是否为时不变系统 ？若若 Tx(n)= y(n)则则 Tx(n-m)= y(n-m) （m为任意整数）为任意整数）同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变（时不变（LSI）离散时间系统，简称）离散时间系统，简称LSI系统。系统。三、单位冲激响

12、应与系统的输入输出关系三、单位冲激响应与系统的输入输出关系线性时不变系统可用它的单位冲激响应来表示线性时不变系统可用它的单位冲激响应来表示h(n)=T(n)单位冲激响应单位冲激响应h(n)是指输入为单位冲激序列时系统是指输入为单位冲激序列时系统的零状态响应。的零状态响应。( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm设系统输入序列为设系统输入序列为x(n)，输出序列为，输出序列为y(n)，则则四、线性时不变系统的性质四、线性时不变系统的性质 1交换律交换律2结合律结合律 3分配律分配律 )()()()()(nxnhnhnxny)()()()()()(2121nhnhnxnh

13、nhnx)()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx)()()(21nhnhnx线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是单位线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是单位冲激响应是因果序列冲激响应是因果序列 h(n)=0 n0 五、因果系统与稳定系统五、因果系统与稳定系统线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位冲线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位冲激响应绝对可和，激响应绝对可和， 即即 nnh| )(|因果因果：稳定稳定：n时刻的输出只与时刻的输出只与n和和n时刻以前的输入有关时刻以前的输入有关有界输入产生有界的输出有界输入产生有界的输出因果稳定的因果稳定的线性

14、时不变系统的单位抽样响应既是因线性时不变系统的单位抽样响应既是因果的又是绝对可和的，果的又是绝对可和的， 即：即： 000)()(nnnhnh0)(nnh1.3 常系数线性差分方程常系数线性差分方程 对于连续系统，由微分方程描述系统输出、输对于连续系统，由微分方程描述系统输出、输入之间的关系。对于离散系统，则用差分方程描述入之间的关系。对于离散系统，则用差分方程描述其输出、输入的关系。对于线性时不变离散系统，其输出、输入的关系。对于线性时不变离散系统，常用的是线性常系数差分方程。常用的是线性常系数差分方程。 描述一个系统，可以不管系统内部的结构如描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系统

15、看成一个黑盒子，只描述或者研究系何，将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，这种方法称为输入输统输出和输入之间的关系，这种方法称为输入输出描述法。出描述法。NkMmmkmnxbknya00)()(1.3.1 线性常系数差分方程线性常系数差分方程一个一个N 阶线性常系数差分方程表示为：阶线性常系数差分方程表示为：1.3.2 线性常系数差分方程的求解线性常系数差分方程的求解时域求解差分方程的基本方法：时域求解差分方程的基本方法： ( (1) )经典解法经典解法( (2) )递推解法递推解法( (3) )卷积和计算法卷积和计算法z变换求解变换求解 1.4 连续时间信号的抽样连续

16、时间信号的抽样xa(t)ot(a)(b)xa(t)(atxTp(t)tttt(c)(e)(d)( f )s(t)xp(t)(atxooooT1T理想抽样的时域分析理想抽样的时域分析nanTttx)()()()()(ttxtxTaananTtnTx)()()( txa理想采样信号理想采样信号)(ssssf2ksaajkjXTjX)(1)()(tT周期冲激序列周期冲激序列理想采样的频域分析理想采样的频域分析连续信号连续信号)(txa)( jXa)(jXakssk)()()()(ttxtxTaat0被抽样信号被抽样信号)(tf)(tTT2TTt0T3sss0)(ss)( jF0被抽样信号的频谱被抽样

17、信号的频谱Ahh)(tfst0理想抽样信号理想抽样信号ss)( jFshhTA0理想抽样信号的频谱理想抽样信号的频谱频带有限信号频带有限信号是原频谱的是原频谱的周期重复周期重复Ts2采样前后频谱的两个变化：采样前后频谱的两个变化：采样定理：采样定理：1) )幅度幅度T1s2) )周期延拓，延拓周期为：周期延拓，延拓周期为：时域采样时域采样 频域周期延拓频域周期延拓1) )对频带有限的信号，其最高频率为对频带有限的信号，其最高频率为hfhsff22) )当当 可由可由 不失真的恢复出不失真的恢复出)( txa)(txa信号的重建（采样的恢复）信号的重建（采样的恢复）ksaajkjXTjX)(1)(2, )(1)(saa