平面向量单元测试卷(解析版)

1、第二章平面向量单元测试卷参考答案与试题解析一.选择题共12小题,总分值60分,每题5分1.5分2021春？玉山县校级期中以下命题中,正确的选项是A.有相同起点的两个非零向量不共线rr一rjrrB.假设|a|b|且a/b,那么ab线共rb5rarrrrD,向量与b不共线,那么士与b都是非零向量【分析】由平面向量的定义及零向量的应用可依次对选项判断【答案】解：A.有相同起点的两个非零向量也可以平行,也称为共线,因此A错;rrrrBb充要条件是|a|b|且万向相同,因此B错；rrC.当b0时,不成立,因此C错；r,rr,rD,向量a与b不共线,那么a与b都是非零向量,D对.应选：D.【点睛】此题考查

2、了平面向量的定义与零向量的应用,属根底题.itmrirrn3ee2与beie2共线,2. 5分2021?新乡三模设向量irme1,e2是平面内的一组基底,假设向量1A.一3【分析】由题得存在B.C.3D.3r,使得arb,得到关于,的方程组,解之即得解.,一.r,r,【答案】解：Q与b共线,rr存在实数R,使得ab,1rHl1THi即3e%(eg),故3,i,1-.3应选：B.【点睛】此题主要考查向量共线的应用,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理水平,属根底题.UULT1UULU3. (5分)(2021秋？禅城区期中)点M(3,2),N(5,1),且MP-MN,那么点P是()233A

3、.(8,1)B.(1,-)C.(1,3)D.(8,1)22【分析】设出P的坐标,利用向量相等,列出方程求解即可.【答案】解：设P(x,y),UJLT1UULJJI点M(3,2),N(5,1),且MP1MN,21一可得x3,(53),解得x1.1 -3y2(12),解得y-.2 23P(1万)应选：B.【点睛】此题考查向量的坐标运算,向量的平行,是根底题.F的大小为10N,方向与水平面4. 5分2021秋？荆门期末如下图,一力作用在小车上,其中力成60角.当小车向前运动10m时,那么力F做的功为A.100JB.50JC.50«JD.200J【分析】根据力F做功公式W|F|S|cos,计

4、算即可.【答案】解：力F做的功为W1010cos6050J.应选：B.【点睛】此题考查了平面向量的数量积计算问题,是根底题.r5.5分2021春？绵阳期末设向量ar(1,2),br(2,3),Cr.rr(1,1),右ambnc,(其中m,nrrrC.cd0为实数),d(m,n),那么()rrrrA.cdB.c/d【分析】利用向量相等、坐标运算性质、向量共线定理即可得出.r【答案】解：Qmbnr,(1,2)m(2,3)n(1,1)(2mn,3mn),2mn13mnrrrd(1,1),cd.rrc/d,【点睛】此题考查了向量相等、坐标运算性质、向量共线定理,考查了推理水平与计算水平,属于根底题.r

5、runrrrunrrrujirrr6. 5分2021秋？南昌期末非零向量占、b,且ABa2b,BC5a6b,CD7a2b,那么一定共线的三点是A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D【分析】证实三点共线,借助向量共线证实即可,故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点uuurunrunrrrrrrruuu【答案】解：由向量的加法原理知BDBCCD5a6b7a2b2a4b2AB,又两线段过同点B,故三点A,B,D一定共线.应选：A.【点睛】此题考点平面向量共线的坐标表示,考查利用向量的共线来证实三点共线的,属于向量知识的应用题,也是一个考查根底知识的基此题型.rr

6、rr一rrrr.r,7. 5分2021秋？南关区校级期末非零向量a,b满足|b|4|a|,且a2ab,那么a与b的夹角为A.一3【分析】由题意可得可得B.一2rrrr2ag(2ab)2aagrC.3r0,设a与b的夹角为D.之6,求得cos1,一,一1,结合的范围,2求得的值.【答案】解：由非零向量1一,2,又由于0,所以a,b满足懒141a,且a(2ab),可得a?2ab)22as0,设a与b的夹角为,那么有2|a/a|g4|a|gcos【点睛】此题主要考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系,采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化.本体属于根底题,注意运算的准确性.uuuruuiruuuu

7、uuu8. 5分2021?福州一模在边长为3的等边ABC中,点M满足BM2MA,那么CMgCAC.6D.15-2【分析】将uuuuCM转化为三角形边上的向量后再相乘可得.依题意得:urnuiuun1um2uuruun1uunuuriCMgCA(-CB-CA)gCACBgDA3332uunurn-CAgDA【答案】解:【点睛】此题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属根底题.r9.5分2021秋？怀仁市校级月考向量a(2,3),(1,2),假设,r(marnb)/(ar2b)于A.2B.2C.【分析】利用向量的共线的充要条件,求出mn的关系,即可得到结果.【答案】解：向量ar(2,3),b(1,

8、2),rmanb(2mn,3ma2b(4,1),r(marrnb)/(a可得:12m8nuuirD是边BC上一点,且BDunr3DC,应选:【点睛】此题考查向量共线的充要条件的应用,考查计算水平.uurruuir10.5分2021春？沈阳期末如图,O是ABC的重心,ABa,ACc1212【分析】由uuirB.OD1r一a1212uiurD.OD1ra1212O为ABC的重心,那么点E为BC的中点,且uurAOuuiruuir2OE,AE1uuuuur-(ABAC)uuruuirBD3DC,得：D是BC的四等分点,应选：A.再利用平面向量的线性运算可得那么uuuruurODOEuuir1uurE

9、DAE31uur11uuuBC(AB432uuur1uurAC)-(ACuurAB)1ra122b,故得解12【答案】解:如图,延长AO交BC于E,由O为ABC的重心,那么点E为BC的中点,且uurAOuuiruuir1uuu2OE,AE-(AB2uurAC)由uurBDuur一3DC,得:D是BC的四等分点,那么uuirODuuruur1uurOEED-AE31uur11uur-BC(AB432uurAC)1uur-(AC4uurAB)1ra1251rb,12【点睛】此题考查了平面向量的根本定理及重心的特征,属中档题.11.(5分)(2021?潍坊模拟)点A(1,0),B(0,1),点C在第

10、二象限内,5uurAOC,|OC|2,且6uurOCuurOAuurOB的值分别是1,3B.3,1由易得:uuuuurOA(1,0),OB(0,1),uur-uuuOC(J3,1),进而由OC1uuuuuuOAOB,得到,的值.【答案】解：Q点A(1,0),B(0,1),muruuuOA(1,0),OB(0,1),5UULTQAOC,|OC|2,6luut55OC(2cos,2sin)(,.3,1),66LUUTUUUUUTQOCOAOB,(3,1)(,)即3,1,应选：B.其中根据平面向量的根本定理构造关于【点睛】此题考查的知识点是平面向量的根本定理及其意义,的方程是解答的关键.二.填空题(

11、共4小题,总分值20分,每题5分)12.(5分)(2021?宝山区一模)r向量a(1,2),b(0,3),那么b在a的方向上的投影为还5r【分析】根据投影公式为|b|cos二华,代值计算即可.|a|【答案】解：由于向量a(1,2),(0,3),r那么b在a的方向上的投影为r|b|cosrra86而5故答案为：6-55【点睛】此题主要考查向量投影的定义及求解的方法,公式与定义两者要灵活运用.解答关键在于要求熟练应用公式.rrrrrrrrrrrrr13.(5分)(2021?南通模拟)平面向量a,b,c酒足：|c|1,bc2a,且|b|bc|,那么(ab)gc的值为_14rrc/曰r2rrr22区r

12、rr曰r2rrr2r2【分析】由bc2a可得,b2bgDc4a;由|b|bc|可得,b2bgcb,从而可求出bgca242.而根据bc2a可得出b2ac,从而得出a/a2-b2L这样即可求出(ab)gc的444值.【答案】解：Qbc2a,b22bc£412rrrQ|b|bc|,rb2rcrcrb22rb2rrr2r2得,4bgc4ab,rrr212bgca-b,4rrrrrr由bc2a得,2acb,j2/rrr212rr2a1b24a4agbcb,且|c|1,rrr21,r212agca-b-c44rrr(ab)gDrrrrag：bgc故答案为：1.uuu2uur(AB-AD),4【

13、点睛】此题考查了向量数量积的运算,考查计算水平,属于中档题.14.5分2021秋？济南期末平行四边形ABCD中,M为CD的中点,点UULTUUTN满足BN2NC,右uurABuuuuAMuurAN,那么的值为1一2【分析】所以uuuABuuurAMuultANUULT(AD1uuu-AB)2uuu(AB2UULT-AD,整理后结合向量根本定理即可求解.3【答案】解：平行四边形ABCD中,M为CD的中点,点“UULTUULTN满足BN2NC,所以uurABUUUTAM2UULT1()AD(-32LUITLUir1iurAN(AD-AB)uuu)AB,那么根据平面向量根本定理可得,解可得,1,那么

14、1,2故答案为：1.2【点睛】此题主要考查了向量的线性表示及平面向量根本定理的简单应用,属于根底试题.三.解做题共6小题,总分值70分1ul0ruunrrr15.10分如图,在梯形ABCD中,DC1AB,E为AB的中点,设AEa,CEb,试用a,b表2示以下向量:uuuBE;uur(1)AD;uurCD;(3)uur(4)ED;(5)uurAC;(6)uuuCB.【分析】根据平面向量的加法与减法运算的几何意义,结合图形,写出结果即可.【答案】解：梯形ABCD中,DC1AB,E为AB的中点,2-uurruuur且AEa,CEb;uuruuruur(1)ADECCE(2)uurCDLULEAuur

15、AEa,LLUurna,(3)BEEA(4)uurEDLUUEAUUITADrarb,Luuruuruuurar(5)ACAEECb,uuuuuruuurrar(6)CEDEEDb【点睛】此题考查了平面向量的线性运算问题,向量的加减运算是用向量解决问题常用的方法,是根底题目.16.12分2021秋？赫山区校级期末112,2,求与a垂直的单位向量1r的坐标;一,r,rrr,r2a3,2,b2,1,假设ab与arb平行,求实数的值.,一r2x2y0八、-【分析】(1)设C(x,y),那么有22,解之可得;xy1一,-rrrr,(2)可得向量ab与ab的坐标,由平行可得关于实数的方程,解之即可.【答

16、案】解：(1)设C(x,y),那么有2x2y0(3分)22xy1解得亚2点一2eXy-2-(6分)rr(2)Qab(32,2rr_1),ab(32,2)(8分)rr,r由于ab与arb平行,所以(3化简可得210,解得1.(12分)2)(2)(21)(32)0(10分)【点睛】此题考查平面向量的平行于垂直的应用,涉及模长公式,属根底题.r一一r一.一rlr17.(12分)2021春？鞍山期中)向量士与向量b的夹角为45,其中|aQ2,b1.rr(1)求a2b的值；(2)假设向量2ab与a3b的夹角是锐角,求实数的取值范围.rrr【分析】(1)根据条件可求出agD1,从而可求出(a2b)2io,

17、从而得出m2bJ10；rrrrrr(2)根据2ab与a3b的夹角是锐角即可得出(2ab)&a3b)0,并且2ab与a3b不同rrrr向.根据(2ab)da3b)0即可得出1a6,根据2ab与a3b不同向即可彳#出J6,从而得出的取值范围.,一r一一r一r-r【答案】解：(1)Q向量a与向量b的夹角为45,且aJ2,b1;rr2(a2b)r2rra4agbr2°“4b24410;|<r2b|10;,、一r(2)Q2ar,rr-b与a3b的夹角是锐角;rrrr(2abK3b)0,且2ab与53b不同向；小rrrrr22rrr22(2ab)g(a3b)2a(6)aS3b4(6

18、)30;解得16；一.rr,rrrrrr-2k当2ab与a3b同向时,设2abk(a3b),k0,那么：3k解得k.6;k6;综上得,实数的取值范围为(1,而)u(V6,6).【点睛】考查向量夹角的概念,向量数量积的运算及计算公式,向量长度的求法,共线向量根本定理.18. (12分)(2021秋？闵行区期中)平行四边形OABC中,假设P是该平面上任意一点,那么满足umruuuuunOPOAOB(,R).(1)假设P是BC的中点,求的值；(2)假设A、B、P三点共线,求证：1.iuur1uuuuuu1【分析】(1)P是BC的中点时,可得出OP-OAOB,从而根据平面向量根本定理得出-；22uuu

19、r,uiuuuuuuuuuruuuuuu(2)根据A,B,P二点共线可得出AP与AB共线,从而得出APkAB,进而彳#出OP(1k)OAkOB,这样根据平面向量根本定理即可得出1.,uuur1uuuuuir1uuruuuuuu1uuuum【答案】解：(1)右P是BC的中点,那么OP-(OBOC)-(OBOBOA)OAOB,222uuuiuuuuuu又OPOAOB,-根据平面向量根本定理得,2,11一；2(2)证实：QA,B,P三点共线,uuruuuAP和AB共线,uuuiur存在实数k,使APkAB,LuuuuuuuuuunOPOAk(OBOA),uuruuuuuuOP(1k)OAkOB,uu

20、iuuuuuu又OPOAOB,根据平面向量根本定理得,1kk1.【点睛】此题考查了向量加法的平行四边形法那么,共线向量和平面向量根本定理,以及向量减法的几何意义,向量的数乘运算,考查了计算和推理水平,属于根底题.uuuuuuuujr19. (12分)(2021春？辽宁期末)如图,OP(2,1),OA(1,7),OB(5,1),设Z是直线OP上的一动点.uruuuuuu(1)求使ZAgZB取最小值时的OZ；(2)对(1)中求出的点Z,求cosAZB的值.【分析】(1)运用向量共线的坐标表示,求得向量ZA,ZB的坐标,由数量积的标准表示,结合二次函数的最值求法,可得最小值,及向量OZ;(2)求得t2的向量ZA,ZB,以及模的大小,由向量的夹角公式,计算即可得到.【答案】解：(1)QZ是直线OP上的一点,uuruuuOZ/OP,uuuuuu设实数t,使OZtOP,uurOZt(2,1)(2t,t),uuruuruuir那么ZAOAOZ(1,7)(2t,t)(12t,7t),uuuuuuuuuZBOBOZ(5,1)(2t,t)(52t,1t).uruuuZAgZB(12t)(52t)(7t)(1t)2-一一25t20t125(t2)8.uuruur当t2时,ZAgZB有最小值8uuur此时OZ(2t,t