2020年中考数学专题复习：三角板、直尺在中考试题中的应用(部分含解析)

1、三角板、直尺在中考试题中的应用一、三角板与直尺的叠放例1如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，/1=30°,/2=50°,则/3的度数为()(A)80(B)50(C)30(D)20答D.点评通过把三角板、直尺结合，利用三角板的特殊角、直尺平行的特性，既考查了构建数学模型的能力，又考查了相关数学知识.二、一副三角板的叠放例2将三副三角板如图6所示叠放在一起，若AB=14cm,则阴影部分的面积是_cm2.答：492点评通过两个三角板的组合，融知识应用的综合性、交汇性、灵活性于一体，这类试题的知识源于生活，思维能力高于教材.三、三角板应用于锐角三角函数问题例3腾飞中学在教学楼

2、前新建了一座“腾飞”雕塑.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C,利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30。，底部B的俯角为45。，小华在五楼找到一点D,利用三角板测得A点的俯角为60°(如图3).若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度.(结果精确到0.1米，参考数据石=1.73).分析过点C作CEXAB于E.由三角板的特殊角可知：/D=90°60°=30°,/ACD=90°30°=60°,./CAD=90°.由CD=10,可知AC=-CD=5.2在RtAACE中，AE=AC.sin/ACE=5sin30

3、6;=5,2CE=AC-cos/ACE=5cos30。=5>/3;2在RtABCE中，BE=CE=33.2所以AB=AE+BE=5(V3+1)=6.8(米).把一 角板中， 说明因此，形点评本题利用三角板刻画了传统的仰角、俯角的概念.立意新颖，锻炼了学生利用自己手头工具解决实际问题的能力.四、三角板应用于图形的旋转变换例4如图4,在RtPOQ中，OP=OQ=4,M是PQ的中点,角板的直角顶点放在点M处，以点M为旋转中心，旋转三角板，三的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B.(1)求证：MA=MB;(2)连结AB,探究：在旋转三角板的过程AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值

4、；若不存在，请理由.分析要证MA=MB,只需证明这两条线段所在的三角形全等，过点M作MELOP于点E,MFXOQ于点F,由/0=90°得四边OEMF是矩形.由于M是PQ的中点，0P=0Q=4,Jtf£=2,MF=Xozr=2+二ME=HF./JLAMB(2)根据(1)从期£至H/产，可得再E肃BF.设Qi-x,则RF=AE=2-/.OR=QF+RF=2+(2-jp)=4-尤在班八二疗出中，=J2G二2尸+8,AOE的周长=0.4+OR+AH=jc+4-x+/2(,-2产十区=4+*2)r+8.所以，当x=2,即点A为0P的中点时，AOB的周长有最小值，最小值为4+

5、2J2.点评本题利用三角板的灵活性，为图形的旋转变换、全等变换增添了新鲜血液，使得数学题型更加富有活力，更有利于学生思维的发展.五、三角板应用于反比例函数问题例5在直角三角板中，BC=2.若将此三角板的一条直角边BC或AC与x轴重合，使点A或点B刚好在反比例函数y=6（x>0）的图象上时，设ABC在第一象限部分的面积分别记做Si、S2（如x图5（1）、（2）所示）D是斜边与y轴的交点，通过计算比较Si、S2的大小.分析如图5（1）,根据含30。的直角三角形的性质，可知AB="4。=2后.点4在T=*上可以得到点4的坐标（反2回，:.0C之6在Rt如H中，01）=（2-刖60。=

6、-3,Si=Of）+OC=3+2=并同理可计算=6Si=S2.点评本题是反比例函数、锐角三角函数的综合题，利用三角板的可移动性，根据反比例函数的性质，结合图形计算了四边形的面积.六、三角板应用于代数几何综合题例6在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（O,2）,点C（1,0）,如图6所示，抛物线y=ax2ax2经过点B.（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使AACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.(2)(3)由6分析(1)首先过点B作BD，x轴，垂

7、足为D,易证BDCACAO.所以BD=OC=1,CD=OA=2,从而点B的坐标为(3,1).(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式为y=2x2-2x-2.(3)假设存在点P,使得ACP是直角三角形.如图6(1),若以AC为直角边，点AC为直角顶点，则延长BC至Pi,使得PiC=BC,得到等腰RtAACPi.过点日作户*1M轴，易证f.CM=CD-=NO=1,从而PJ-1,-1.经检验Pi在抛物线y=lx22x2上.22如图6(2),若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2，CA,且使得AP2=AC,得到等腰RtAACP2.过点P2作P2N，y轴，同理可得P2(-2,1).经检验

8、P2(-2,1)也在抛物线y=；x22x2上.如图6(3),若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3上CA,且使得AP3=AC,得到等腰RtAACP3.过点P3作P3HLy轴，同理可得P3(2,3).经检验P3(2,3)不在抛物线y=2x22x2上.故符合条件的点有两点：P1(-1,T),P2(-2,1).点评此题是中考压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识.解题的关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用.七、直尺应用于代数几何综合题例7在平面直角坐标系中，抛物线过原点O,且与x轴交于另一点A,其顶点为B,孔明同学

9、用一把宽为3cm带刻度的直尺对抛物线进行如下测量；量得OA=3cm;把直尺的左边与抛物线对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图7(1),测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5.请完成下列问题：(1)写出抛物线的对称轴；(2)求抛物线的解析式；(3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点A的右边(如图7(2),直尺的两边交x轴于点H、G,交抛物线于点E、F.求证：S梯形EFGH=1(EF29).6分析(1)由于O、A关于抛物线对称轴对称，且OA=3cm,由此可求得抛物线的对称轴为x=32(2)根据点O、A的坐标，可将抛物线解析式设为y=ax(x-3),在题求得了抛物线的对称轴，即可得到B、C两点的横坐标，分别代入抛物线的解析式中，表示出它们的纵坐标，从而B(9,a)、24C(9, 27 a).24根据C、B的纵坐标差为4.5即可列方程求出待定系数的值，从而确定抛物线的解析式为:进而根据直尺的宽度得到F点的横坐标为n,根据(2)题所得抛物-n2-n).2212y2x