将三角形分割成两等腰三角形问题的教学探讨-2019年作文

1、将三角形分割成两等腰三角形问题的教学探讨不是所有的三角形都可以分割成两个等腰三角形,它与三角形三个内角的大小有关,当三角形三个内角满足一定关系时,可被分割成两个等腰三角形.文章介绍如何从最简单的数学问题入手,引导学生利用从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法,探索并归纳出把一个三角形分割成两个等腰三角形所需条件这一教学过程.问题情境；特殊到一般；分类讨论；探究过程；归纳应用数学活动课是在学生完成了阶段知识学习之后开设的在教师指导下以学生自主探究为主的数学课程,其目的是为了丰富学生的数学知识,使学生所学知识在活动课中得以充分应用,并在活动课中得以提升.同时在数学活动课上,学生还可以尝试进行探究性学

2、习方法、启发性学习方法等其他的数学学习方法,以培养学生自主学习的水平.本文将介绍如何通过一个具体的数学活动课课例,引导学生探索“把一个三角形分割成两个等腰三角形所需条件这一教学过程.引入：直角三角形可分割成两个等腰三角形在学习了直角三角形之后,有这样一道数学问题：公园内有一个三个内角分别为34°、56°、90°的直角三角形小花坛,因公园绿化需要,必须把它分割成两个等腰三角形.你可以帮助办到吗由于直角三角形两个锐角互余,而直角又是90°,因此把直角分成34.和56.两个角,就得到内角分别为：34.、34.、112°和56°、56

3、6;、68°的两个等腰三角形.可见,由于任意直角三角形两个锐角之和等于第三个角,只要分第三个直角都可以把原三角形分成两个等腰三角形.问题1:等腰三角形是否可分割成两个等腰三角形除了直角三角形可以分割成两个等腰三角形外,等腰三角形是不是也可以呢例如：一个三角形三个内角分别为72°72°、36°你能把它分割成两个等腰三角形吗三个角分别为72.、72.、36.的等腰三角形学生比拟熟悉,很快就得出结论：把原等腰三角形的一个底角平分成两个角,即作一个36°角,得出一个等腰三角形,通过计算推导出另一个三角形也是等腰三角形做一个、证一个猜测：等腰三角形都可以

4、分割成两个等腰三角形.我们知道,要判断一个命题是假命题,最好的方法是举反例假设一个等腰三角形三个内角分别为80°、50°、50°,你能把它分割成两个等腰三角形吗由于底角小于顶角最小角不能分割,只能分割顶角,得三个内角分别为50°、50°、80°和30°、50°、100°两个三角形,其中三个内角为30°、50°、100°的三角形不是等腰三角形.由此可见,我们的猜测是不成立的,该命题是假命题.结论1:有一个内角是另一个内角三倍的三角形可分割成两个等腰三角形在学生画完图形后,老师继

5、续提问：如果把三角形的三个内角改为32°、96°、52°,这个三角形能分割成两个等腰三角形吗学生通过动手画图,不难发现有两种不同分割方法(最小角不能分割),必须进行分类讨论.而在实际操作过程中发现：只有分割96°为32和640才能出现两个等腰三角形,而分割52°角是不可以的.这里由于96°角是32角的三倍,分96°角可以成两个等腰三角形.于是得出猜测：当三角形一个内角是另一个内角三倍的时,分3倍角可把原三角形分割成两个等腰三角形.同学甲：这个结论是正确的.比方三角形的三个内角为40°、120°、20

6、76;时,由于120°角是40°角的3倍,把120°角分成40°和80°,就得到内角分别为：40°、40°、100°和80°、80°、20°的两个等腰三角形.同学乙：我同意甲的结论.设三角形两个内角分别为x,3x(0<x<45)那么第三个角为180°-4x,把3x角分成x0和2x就得到内角分别为：x>x>180-2x和2x、2x°、180°-4x的两个等腰三角形.所以当三角形三内角中一个内角是另一个内角三倍的时,此三

7、角形可分割成两个等腰三角形.问题2:任意三角形满足什么条件才可以分割成两等腰三角形还有满足其他条件的三角形可以分割成两个等腰三角形吗大多数学生认为肯定还有其他三角形可以分割成两个等腰三角形,由前面对等腰三角形的探索可知不是所有三角形都可以分割,可是又无法证实这些结论.于是,局部学生用举例子和反例的方法来说明这两个结论.这时,老师可以接着提问：那么三角形必须满足什么条件时才可以分割成两个等腰三角形呢这里老师通过巧妙地设置问题,使学生产生认知上的困惑,激发他们对问题探索的热情,点燃他们对问题思考的火花.通过前面的探索我们知道不是所有三角形都可以分割成两个等腰三角形.三角形能否分割,应该与它的三个内

8、角有关系.如果一个三角形可以被分割成两个等腰三角形,那么它的三个内角应当满足什么关系呢为解决这个问题,我们应该从一般三角形入手,利用前面探索的两个结论：1最小角不能分；2做一个、证一个的方法引导学生进行探索.如图：三角形DEF中,/F>/D,问三角形三个内角/D,/E,/F之间满足什么关系,可以把DEF分割成两个等腰三角形解：过F作FO使得/D=/DFO交DE于O点,那么OD=OF.显然DFO已是等腰三角形,只要EOF也是等腰三角形问题就解决了.要使EOF也是等腰三角形有三种情况,因此要进行分类讨论.假设OF=OE那么/E=/OFE/D+/DFE+E=180°,2/DFE=18

9、0,/DFE=90WADEF为直角三角形可得结论：当一个三角形是直角三角形时,分直角可以把它分割成两个等腰三角形.假设EO=EF贝U/EOFNEFO/EOF=D+/DFO=2D,./EFO=EOF=2ZD,那么/DFE=3D,可得结论：有一个内角是另一个内角三倍的三角形分三倍角可得两个等腰三角形.假设FO=FE那么/FOENE,/FOEND+/DFO=2D,./E=2ZD,可得结论：有一个内角是另一个内角两倍的三角形分第三个角可得两个等腰三角形.问题3:分割成两等腰三角的三角形需具备什么条件通过前面的探索,我们得出三个结论.同学们非常兴奋,以为这下拿到了“尚方宝剑,只要三角形满足这三个结论中的

10、一个,它就一定可以分割成两个等腰三角形.不要考虑其他因素为了突破这一难点,教师要及时提出问题让学生思考：在DEF中,/D=27,/E=102°,/F=51°,你能把它分割成两个等腰三角形吗?学生容易对号入座,/E=2ZF,一个角是另一个角的两倍,应该可以分,而实际动手画图时发现不能分割成两个等腰三角形,与归纳的结论产生矛盾.这是为什么关键：一个内角是另一个内角的两倍的三角形是可分割成两个等腰三角形,但要分第3个角,由于最小角不能分,所以第3个角不能是最小角.而此题的最小角是第3个角,因此不能分.学生在教师的引导下,通过拓展延伸,既稳固了新知,开展应用意识,实现了知识的迁移和

11、升华,又培养了学生探究的水平,突破了本活动课的难点.结论2:能分割成两等腰三角形的三角形要具备的条件前面学生探究得出更一般性的结论后,教师应启发学生对探究的全过程进行回忆,找出规律性的东西,归纳一般性的结论,并用自己的语言表述这个结论.当一个三角形是直角三角形时,分直角可以把它分割成两个等腰三角.有一个内角是另一个内角三倍的三角形分三倍角可得两个等腰三角形.有一个内角是另一个内角两倍的三角形分第三个角可得两个等腰三角形.但第三个角不能是最小角.结论在实际解题中的应用有了这些结论,我们用它来解决有关问题显得方便多了.不但正确率高,而且解题时少走弯路,在进行分类讨论时可以做到不重、不漏.下面例题是

12、第二十五届“希望杯全国数学邀请赛八年级第2试的最后一题.例：将一个三角形分成两个等腰三角形,假设原三角形的一个内角是36°,那么原三角形的另两个内角有多少种可能的情况写出各种可能的情况.解：由结论可知,当这个三角形是直角三角形时可分割.由于一个内角是36.,所以另两个内角应该是：90.和54.由结论可知,当三角形满足一个角是另一个角3倍时可分割,因此该三角形三个内角只能是：36°、108°、36°或36°、12°、132°,所以另两个内角应该是：108°、36°或12°、132°.由结

13、论可知,当三角形满足一个角是另一个角2倍时可分割,因此该三角形三个内角只能是：36°、72°、72°或36°、18°、126°或36°、48°、96°.由于这种情况要分第三个角且第三个角不能使最小角,因此三个内角是36.、48.、96.的三角形不能分.所以以另两个内角应该是：72°、72°或18°、126°.综上所述,将一个三角形分成两个等腰三角形,假设原三角形的一个内角是36°,那么原三角形的另两个内角有5种可能的情况,分别是：90°、54°108°、36°12