第二章几何组成分析

1、第二章第二章 几何组成分析几何组成分析2.1 2.1 几何组成分析的目的几何组成分析的目的 基本概念基本概念 杆件结构是由若干根杆件互相联结所组成的体杆件结构是由若干根杆件互相联结所组成的体系。将其与地基联结成一个整体，用来承受荷载的系。将其与地基联结成一个整体，用来承受荷载的作用。作用。 当不考虑各杆本身的变形时，结构应能保持原有当不考虑各杆本身的变形时，结构应能保持原有的几何形状和位置不变，也就是说，组成结构的各个的几何形状和位置不变，也就是说，组成结构的各个杆件之间以及整个结构与地面之间，应不发生相对运杆件之间以及整个结构与地面之间，应不发生相对运动。动。2 2、几何不变体系、几何不变体

2、系FP 受到任意荷载作用后，若不考虑杆件的变形，受到任意荷载作用后，若不考虑杆件的变形，几何形状几何形状和和位置位置均保持不变的体系均保持不变的体系。3 3、几何可变体系、几何可变体系由于结构是用来承受荷载的，因此它必须是几何由于结构是用来承受荷载的，因此它必须是几何不变体系，即几何可变体系不能作为结构使用！不变体系，即几何可变体系不能作为结构使用！ 若不考虑杆件的变形，在很小的荷载作用下，若不考虑杆件的变形，在很小的荷载作用下，也将引起几何形状和位置发生改变的体系。也将引起几何形状和位置发生改变的体系。FPFP5 5、几何组成分析的目的、几何组成分析的目的判断杆件体系是几何不变体系还是几何可

3、变体系。判断杆件体系是几何不变体系还是几何可变体系。4 4、几何组成分析、几何组成分析3 3）帮助区分结构是静定的还是超静定的。）帮助区分结构是静定的还是超静定的。2 2）研究几何不变体系的组成规律，从而设计出合）研究几何不变体系的组成规律，从而设计出合理的结构；理的结构；1 1）判别给定体系是否是几何不变体系，从而决定）判别给定体系是否是几何不变体系，从而决定它能否作为结构使用；它能否作为结构使用；2.2 2.2 刚片、约束、体系刚片、约束、体系自由度和计算自由度和计算自由度自由度一、基本概念一、基本概念前提：不考虑杆件的变形前提：不考虑杆件的变形1 1、刚片：、刚片： 一根杆（包括直杆、折

4、杆或曲杆）、地基、地球或一根杆（包括直杆、折杆或曲杆）、地基、地球或体体系中已经肯定为几何不变的某个部分系中已经肯定为几何不变的某个部分都可以看作一个刚片。都可以看作一个刚片。 一根一根两端两端铰接铰接（即用铰结点相连）于两（即用铰结点相连）于两个刚片的杆件。个刚片的杆件。几何形状不能改变的物体。几何形状不能改变的物体。2 2、链杆：、链杆：二、体系自由度的定义二、体系自由度的定义 体系的自由度是指体系的自由度是指该体系运动时，用来确定其位置该体系运动时，用来确定其位置所需的所需的独立参数独立参数的数目。的数目。也可以理解为也可以理解为该体系有多少种该体系有多少种独立运动独立运动的方式。的方式

5、。平面内某一动点平面内某一动点A A，其位置需由两个坐标，其位置需由两个坐标 x x 和和 y y 来来确定，故确定，故一个点的自由度等于一个点的自由度等于2 2，即点在平面内可以即点在平面内可以作两种相互独立的运动，通常用平行于坐标轴的两种作两种相互独立的运动，通常用平行于坐标轴的两种移动来表示。移动来表示。点、刚片的自由度点、刚片的自由度（1 1） 平面上的点平面上的点xyAxyoxyAxyoAxyB（2 2）平面上的刚片）平面上的刚片一个刚片在平面运动时，其位置将由它上面任一点一个刚片在平面运动时，其位置将由它上面任一点 A 的坐标的坐标 x、y 和过和过 A 点的任一直线点的任一直线

6、AB 的倾角的倾角 来来确定。因此，确定。因此，一个刚片在平面内的自由度等于一个刚片在平面内的自由度等于3 3，即刚，即刚片在平面内不但可以自由移动，而且还可以自由转动。片在平面内不但可以自由移动，而且还可以自由转动。三、约束三、约束2 2、能减少一个自由度的装置相当于一个约束。、能减少一个自由度的装置相当于一个约束。1 1、对运动起限制作用而减少体系自由度的装置、对运动起限制作用而减少体系自由度的装置称为约束。称为约束。1 1、单链杆、单链杆约束的种类约束的种类一根链杆可以减少体系的一个自由度，相当于一根链杆可以减少体系的一个自由度，相当于一个约束。一个约束。III2 2、单铰：、单铰：连接

7、两个刚片的铰连接两个刚片的铰一个单铰可以减少体系的一个单铰可以减少体系的两个两个自由度，相当于两自由度，相当于两根链杆的约束作用。根链杆的约束作用。3 3、复铰：、复铰：连接三个或三个以上刚片的铰。连接三个或三个以上刚片的铰。一个连接一个连接 n 个刚片的复铰个刚片的复铰可以减少体系的可以减少体系的 2(n-1)个自由度，个自由度，相当于相当于 n-1 -1 个单铰所起的约束作用。个单铰所起的约束作用。4 4、刚结点、刚结点刚结点相当于刚结点相当于三个三个约束约束 自由度自由度 零的体系零的体系几何可变体系几何可变体系 自由度自由度 = = 零的体系零的体系几何不变体系几何不变体系四、计算自由

8、度四、计算自由度 体系的自由度体系的自由度 = = 各刚片的自由度总和各刚片的自由度总和必须约束数必须约束数计算自由度计算自由度 = = 各刚片的自由度总和各刚片的自由度总和全部约束数全部约束数因为要预先确定体系的多余约束个数很困难，因此通因为要预先确定体系的多余约束个数很困难，因此通常先计算体系的计算自由度，常先计算体系的计算自由度，定义：定义：= = 各刚片的自由度总和各刚片的自由度总和 ( (全部约束全部约束- -多余约束数）多余约束数）平面杆件体系，设刚片数为平面杆件体系，设刚片数为 m，内部单铰内部单铰数为数为 h，支座链杆数为支座链杆数为 r，则体系计算自由度：，则体系计算自由度：

9、（1 1）内部单铰中的）内部单铰中的“内部内部”指的是将指的是将刚片与刚片连接起刚片与刚片连接起 来的铰。来的铰。 一个连接一个连接 n 个刚片个刚片的复铰相当于的复铰相当于 n-1 个单铰所起个单铰所起 的约束作用。的约束作用。1 1、一般公式（对所有平面杆件体系成立）、一般公式（对所有平面杆件体系成立）（2 2）h 是单铰数，是单铰数，当体系中有复铰时应折算成相当数目当体系中有复铰时应折算成相当数目 的单铰计算。的单铰计算。注意注意: :W = 3m - 2h - rW = 34 - 24 - 3 = 1W = 35 - 26 3 = 0W = 34 - 25 3 = - 11 12 23

10、 34 4A AC CB BD D1 12 23 34 45 5A AB BC CD D一个连接一个连接 n 个刚片个刚片的复铰相当于的复铰相当于 n-1 个单铰所起的约个单铰所起的约束作用。束作用。平面杆件体系，设刚片数为平面杆件体系，设刚片数为 m，内部单铰内部单铰数为数为 h，支座链杆数为支座链杆数为 r，则体系计算自由度，则体系计算自由度 W = 3m - 2h - rB BW = 31 - 0 - 3 = 0平面杆件体系，设刚片数为平面杆件体系，设刚片数为 m，内部单铰内部单铰数为数为 h，支座链杆数为支座链杆数为 r，则体系计算自由度，则体系计算自由度 W = 3m - 2h -

11、r2 2、平面、平面铰接体系铰接体系计算公式计算公式( (即所有的杆件均即所有的杆件均为二力杆，且体系中不能出现组合结点为二力杆，且体系中不能出现组合结点) ) 对于平面铰接体系，设铰结点对于平面铰接体系，设铰结点（不用区分是（不用区分是单铰、复铰还是铰支座）单铰、复铰还是铰支座）总数为总数为 j，体系内部链杆，体系内部链杆数为数为 b，支座链杆数为，支座链杆数为 r，则，则 W = 2j - b - rW = 24 - 5 3 = 0非铰接体系仍用一般公式计算！非铰接体系仍用一般公式计算！1 1、体系的自由度、体系的自由度 = = 各刚片的自由度总和各刚片的自由度总和全部约束数全部约束数 +

12、 +多余约束数多余约束数2 2、计算自由度、计算自由度 = = 各刚片的自由度总和各刚片的自由度总和全部约束数全部约束数3 3、体系的自由度、体系的自由度 = = 计算自由度计算自由度+ +多余约束数，多余约束数，且多余且多余约束的个数一定大于或者等于约束的个数一定大于或者等于0 0。 计算自由度计算自由度 0 0：则体系的自由度则体系的自由度 0, 0, 故体系故体系几几 何可变何可变。 计算自由度计算自由度 = 0= 0：体系的自由度体系的自由度 = = 多余约束数多余约束数， 则则体系的自由度体系的自由度 0 0，故，故体系几何可变或几何不变。体系几何可变或几何不变。 计算自由度计算自由

13、度 0 0：体系几何可变或几何不变。：体系几何可变或几何不变。2.3 2.3 几何不变体系的简单组成规则几何不变体系的简单组成规则一、两刚片法则一、两刚片法则平面中两个独立的刚片，共有平面中两个独立的刚片，共有6 6个自由度。个自由度。要使要使这两个刚片之间这两个刚片之间不发生相对运动不发生相对运动，即组成一个几即组成一个几何不变体系，那么这两个刚片组成的整体只能有何不变体系，那么这两个刚片组成的整体只能有3 3个自由度，从而整体的自由度减少个自由度，从而整体的自由度减少3 3。在两刚片之间至少应该加入在两刚片之间至少应该加入3 3个约束，才可能将个约束，才可能将这两个刚片组成一个几何不变的体

14、系。这两个刚片组成一个几何不变的体系。下面讨论怎么布置这些约束才能达到上述目的。下面讨论怎么布置这些约束才能达到上述目的。两刚片法则两刚片法则实铰实铰首先回顾一下铰结点的特点。首先回顾一下铰结点的特点。 刚片刚片I I、用两根不平行的链杆相联。若刚片用两根不平行的链杆相联。若刚片I I固定不固定不动，那么刚片动，那么刚片可绕两杆延长线的交点可绕两杆延长线的交点O转动；反之，若转动；反之，若刚片刚片固定不动，那么刚片固定不动，那么刚片I I也可绕也可绕O点转动点转动。O刚片刚片II刚片刚片I 而自由转动是铰的特性，因此，上述转动情况等效于而自由转动是铰的特性，因此，上述转动情况等效于在在 O 点

15、用单铰把刚片点用单铰把刚片I I和和IIII相联。相联。 事实上，虚铰与实铰所起的作用是完全相同的。事实上，虚铰与实铰所起的作用是完全相同的。虚铰虚铰 与实铰不同，与实铰不同，这个铰的位置在两链杆延长线的交点上，这个铰的位置在两链杆延长线的交点上，故称为虚铰。故称为虚铰。A AB BC CD D 为了制止为了制止刚片刚片I I和和之间发生之间发生相对运动相对运动，还需要，还需要加上一根链杆。如果该链杆的延长线不通过加上一根链杆。如果该链杆的延长线不通过 O点，则刚片点，则刚片I I和和之间就不可能再发生相对运动。之间就不可能再发生相对运动。刚片刚片II刚片刚片IO两刚片法则：两刚片法则：刚片刚

16、片IIII刚片刚片IOO刚片刚片IIII刚片刚片I I法则法则I I：两刚片用不全交于一点又不完全平行的两刚片用不全交于一点又不完全平行的三根链杆相联，所组成的体系是几何不变的。三根链杆相联，所组成的体系是几何不变的。法则法则IIII：两刚片用一个铰和一根不通过该铰的链两刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆相联，所组成的体系是几何不变的。杆相联，所组成的体系是几何不变的。二、三刚片法则二、三刚片法则 平面中三个独立的刚片，共有平面中三个独立的刚片，共有9 9个自由度。个自由度。要使要使这三个刚片之间这三个刚片之间不发生相对运动不发生相对运动，即组成一个几即组成一个几何不变体系，那么这三个刚片组成

17、的整体只能有何不变体系，那么这三个刚片组成的整体只能有3 3个自由度，从而整体的自由度减少个自由度，从而整体的自由度减少6 6。在三个刚片之间至少应该加入在三个刚片之间至少应该加入6 6个约束，才可能个约束，才可能将这三个刚片组成一个几何不变的体系。将这三个刚片组成一个几何不变的体系。 刚片刚片I I、IIII、IIIIII用不在同一直线上的用不在同一直线上的A、B、C三个铰两两相联，三个铰两两相联，由于三角形是稳定的，因此上述由于三角形是稳定的，因此上述体系是几何不变体系。体系是几何不变体系。二、三刚片法则二、三刚片法则 三刚片法则：三刚片法则：三刚片用不在同一直线上的三个铰三刚片用不在同一

18、直线上的三个铰两两相联，所组成的体系是几何不变的。两两相联，所组成的体系是几何不变的。注：图（注：图（a a）中任意一个实铰可换为由两根链杆所组）中任意一个实铰可换为由两根链杆所组成的虚铰。成的虚铰。只要保证这三个铰不在同一直线上即可。只要保证这三个铰不在同一直线上即可。二元体：由两根不共线的链杆联结一个二元体：由两根不共线的链杆联结一个新结点（指新结点（指铰结点）铰结点）的装置。的装置。三、二元体法则三、二元体法则二元体二元体二元体法则：在一个体系上增加或者去掉一个二二元体法则：在一个体系上增加或者去掉一个二元体，不会改变原体系的几何组成性质。元体，不会改变原体系的几何组成性质。即：即：1

19、1）若原体系为几何可变体系，则增加或者去掉一个二元）若原体系为几何可变体系，则增加或者去掉一个二元体后，体系仍为几何可变体系；体后，体系仍为几何可变体系；2 2）若原体系为几何不变体系，则增加或者去掉一个二元）若原体系为几何不变体系，则增加或者去掉一个二元体后，体系仍为几何不变体系。体后，体系仍为几何不变体系。二元体是由两根链杆所组成。二元体是由两根链杆所组成。去掉二元体去掉二元体增加二元体增加二元体 上述三个组成规则中，都提出了一些限制条件。上述三个组成规则中，都提出了一些限制条件。如果不能满足这些条件，将会出现下面所述的情况。如果不能满足这些条件，将会出现下面所述的情况。 四四. .可变体

20、系可变体系1 1）两刚片用）两刚片用交于一点的三根链杆交于一点的三根链杆相联。相联。2 2）两刚片用）两刚片用平行平行但不等长但不等长的三根链杆的三根链杆相联。相联。3 3）两刚片用）两刚片用平行平行且等长且等长的三根链杆的三根链杆相联。相联。1 1、两刚片：、两刚片：1 1、瞬变体系：、瞬变体系：原为原为几何可变几何可变，但，但经过微小位移后经过微小位移后转化为几何不变转化为几何不变体系体系，这种体系称为瞬变体系。，这种体系称为瞬变体系。瞬瞬变变 体体系系瞬变体系也是瞬变体系也是一种几何可变一种几何可变体系！体系！两刚片发生相对运动后，两刚片发生相对运动后，此三根链杆仍互相平行，此三根链杆仍

21、互相平行，故运动将继续发生，此故运动将继续发生，此体系是几何可变体系。体系是几何可变体系。 2 2、常变体系：、常变体系：如果一个几何可变体系可以发生如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。大位移，则称为常变体系。常常变变 体体系系 三个刚片用位于同一直线上的三个铰两两相联。三个刚片用位于同一直线上的三个铰两两相联。 铰铰 C 可绕两个圆弧的公切线发生一微小移动。可绕两个圆弧的公切线发生一微小移动。微小移动后，三个铰就不再位于一直线上，运动也微小移动后，三个铰就不再位于一直线上，运动也就不再继续，故此体系是一个瞬变体系。就不再继续，故此体系是一个瞬变体系。 瞬变体系瞬变体系2 2、

22、三刚片：、三刚片：因为变形是微小的，故 为一无穷小量，所以2sin0NPFF问题：瞬变体系发生微小变形后，能否作为结构？问题：瞬变体系发生微小变形后，能否作为结构？ 由于瞬变体系能产生很大的内力，故瞬变体系不能由于瞬变体系能产生很大的内力，故瞬变体系不能作为结构使用。作为结构使用。只有几何不变体系才能作为结构使用！只有几何不变体系才能作为结构使用！2sinPNFF2sinPNFF 讨论：虚铰在无穷远处的情形讨论：虚铰在无穷远处的情形相互平行的线的交点可相互平行的线的交点可视为在无穷远处视为在无穷远处 1 1、一个虚铰在无穷远处、一个虚铰在无穷远处2 2、两个虚铰在无穷远处、两个虚铰在无穷远处3

23、 3、三个虚铰在无穷远处、三个虚铰在无穷远处（数学上可证明三个铰共（数学上可证明三个铰共线）线） 五、几点说明五、几点说明按上述法则所组成的体系，从保证其几何不变按上述法则所组成的体系，从保证其几何不变性来说，它具备了最低限度的约束数目，称其为性来说，它具备了最低限度的约束数目，称其为几何不变几何不变无多余约束无多余约束体系体系。如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数目少，目少，则该体系是几何可变的。则该体系是几何可变的。 如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数目多，则该体系是目多，则该体系是几何不变几何不变有

24、多余约束有多余约束的体系。的体系。2.4 2.4 几何组成分析举例几何组成分析举例1 1、几何组成分析定义：、几何组成分析定义：3 3、关键在于找刚片：、关键在于找刚片：一根杆（包括直杆、折杆或一根杆（包括直杆、折杆或曲杆）、地基、地球或体系中已经肯定为几何不变曲杆）、地基、地球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。的某个部分都可看作一个平面刚片。2 2、依据：、依据：二元体法则、两刚片法则、三刚片法则。二元体法则、两刚片法则、三刚片法则。判断杆件体系是几何不变体系还是几何可变体系。判断杆件体系是几何不变体系还是几何可变体系。= = =例例1: 1: 对图示体系作几何组成分

25、析。对图示体系作几何组成分析。解解: :将将 ADC 视为刚片视为刚片I，BEC 视为刚片视为刚片II，DEF 视视为刚片为刚片III，三刚片通过不共线的三个铰，三刚片通过不共线的三个铰C、D、E相相联，故联，故该体系为几何不变体系该体系为几何不变体系。方法方法1 1：若体系与基础用不完全交于一点也不完全：若体系与基础用不完全交于一点也不完全平行的三根链杆相连，去掉基础与链杆，只分析平行的三根链杆相连，去掉基础与链杆，只分析该体系部分。该体系部分。IIIIII例例2: 2: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。解解: : 将将地基视为刚片地基视为刚片I, ,AEC视为刚片视为刚

26、片II，DFB视为刚片视为刚片III，三刚片用三个铰（实铰，三刚片用三个铰（实铰A、B，虚铰，虚铰O）相连）相连, ,且且三铰不共线三铰不共线, ,故故该体系为几何不变体系该体系为几何不变体系。方法方法2 2：当体系与基础用：当体系与基础用4 4根或根或4 4根以上链杆相连时，根以上链杆相连时，需将基础视为一个刚片，利用三刚片法则或其它法需将基础视为一个刚片，利用三刚片法则或其它法则进行几何组成分析。则进行几何组成分析。地基视为刚片地基视为刚片IIIIIIIIIIIIO例例3: 3: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。解解: : 通过在铰接三角形通过在铰接三角形BDE、CFG

27、上不断添加二元体，上不断添加二元体，形成大的几何不变体系形成大的几何不变体系ABM、ACN，分别记为刚片，分别记为刚片I I、IIII，I I与与IIII通过铰通过铰A和链杆和链杆MN形成形成几何不变体系几何不变体系。方法方法3: 3: 利用二元体法则将小刚片变成大刚片利用二元体法则将小刚片变成大刚片（即在（即在几何不变体系上不断添加二元体）。几何不变体系上不断添加二元体）。例例4: 4: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。解解: : 该体系为该体系为常变体系。常变体系。方法方法4: 4: 去掉二元体去掉二元体。注：去掉二元体是体系的拆除过程，注：去掉二元体是体系的拆除过程，

28、应从体系的应从体系的最外边最外边缘缘开始拆除开始拆除。IIIIIIIIIII I例例5: 5: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。AB杆与基础通过铰杆与基础通过铰A A和链杆和链杆1 1形形成几何不变体系，记为刚片成几何不变体系，记为刚片I IBC杆与刚片杆与刚片I I通过铰通过铰B以及以及链杆链杆2 2形成几何不变体系，形成几何不变体系，记为刚片记为刚片IIIICD杆与刚片杆与刚片IIII通过铰通过铰C以及以及链杆链杆3 3形成几何不变体系。形成几何不变体系。方法方法6: 6: 从某个几何不变部分从某个几何不变部分（如基础、（如基础、一根梁、一个柱、一根梁、一个柱、一个一个

29、铰接三角形等）铰接三角形等）依次添加。依次添加。D D例例6: 6: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。解解: : 将将ABAB杆视为刚片杆视为刚片I I，在刚片，在刚片I I上分上分别增加二元体别增加二元体CAECAE、DFBDFB，形成几何不，形成几何不变体系，此时，变体系，此时，C C、D D点是固定不动的，点是固定不动的，因此没必要增加链杆因此没必要增加链杆CDCD来约束来约束C C、D D点点的运动。故的运动。故该体系为该体系为有一个多余约束有一个多余约束的的几何不变体系几何不变体系。例例7: 7: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。方法方法7:

30、7: 尽量将体系中的铰接三角形或尽量将体系中的铰接三角形或扩展的铰接三角扩展的铰接三角形形（即在铰接三角形上不断添加二元体而形成的体系）（即在铰接三角形上不断添加二元体而形成的体系）提取出来，作为分析的初始刚片。提取出来，作为分析的初始刚片。ABCABC视为刚片视为刚片I I，BDEBDE视为刚片视为刚片IIII，地基视为刚片，地基视为刚片IIIIII，I I、IIII、IIIIII之间通过铰之间通过铰B B以及链杆以及链杆A A、CFCF、EFEF、D D相连，所形成相连，所形成的三个单铰不在同一直线上，故的三个单铰不在同一直线上，故该体系为几何不变体系该体系为几何不变体系。例例8: 8: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。地基视为刚片地基视为刚片I I，ABFEABFE视为刚片视为刚片IIII，刚片，刚片I I、IIII通过链杆通过链杆A A和铰和铰E E相连，形成几何不变体系，记为刚片相连，形成几何不变体系，记为刚片IIIIII；在在IIIIII上增加二元体上增加二元体FGJFGJ，体系仍几何不变，记为刚片，体系仍几何不变，记为刚片IVIV；J JIIIIIIIIIIIIIIIVIV将将CDIHCDIH视为刚片视为刚片V V，刚片，刚片IVIV、V V通过三根链杆相联，通过三根链杆相联，因三根链杆交于因三根链杆交于D D点，故点，故该体系为瞬变体系该体系