高等数学微分方程总结

1、求解流程图求解流程图一阶齐次可分离变量一阶线性nyxQyxPy Bernoulli)()( )(0)()( xydUdyxyQdxxyP全微分方程xQyP齐次 0)(yxpy非齐次 )()(xQyxpy）（或令uyxuxyxyyxfy )(),(dxxhdyyg)()(变易先求齐次通解，再常数)()()(CdxexQey dxxPdxxP 或公式或公式ny zn1 ) 1 , 0(令1.折线积分折线积分2.凑全微分凑全微分3.定积分定积分转为转为z的一阶线性的一阶线性关于关于u一阶一阶二阶线性方程0)()()(210 yxayxayxa)()()(21xfyxayxay 二阶变系数二阶二阶一阶

2、)(),(xpy yxfy 令令)(),(xypy yyfy 令令二阶常系数齐次 0 qyypy非齐次 )(xfqyypy 解的结构解的结构0 2qprry特征方程：代数解法，*2211yycycyxrxrececyrr212121 . 1)( . 221211xcceyrrxr)sincos( . 3212, 1xcxceyirx高阶次连续积分nxfyn )()(方程Eulertnnnnnnexxfyyyxyx 令令 )(ppp1)1(11)(高阶常系数线性微分方程01) 1(1)( ypypypynnnn0111 nnnnprprpr 代数特征方程代数特征方程P338P348 1. 一阶一

3、阶标准标准类型方程求解类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2. 一阶一阶非标准非标准类型方程求解类型方程求解 (1) 变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量代换代换因变量因变量代换代换某组合式某组合式(2) 积分因子法积分因子法 选积分因子选积分因子, 解全微分方程解全微分方程四个标准类型四个标准类型: 可分离变量方程可分离变量方程, 齐次方程齐次方程, 线性方程线性方程, 全微分方程全微分方程 ; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解;)2(22yyxyx;21)3(2y

4、xy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy3311、一阶标准类型方程两边同除以方程两边同除以 x 即为齐次方程即为齐次方程 , ,0时xyyxyx22)2(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令令 y = u x ,化为分化为分离变量方程离变量方程.221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解用线性方程通解公式求解 .化为化为32232336)4(yyxyxxy方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式化为微分形式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程故这是一个全

5、微分方程 .xyu 令xQyxyP6)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令令 u = x y , 得得(2) 将方程改写为将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(伯努利方程伯努利方程) 2 yz令(分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为二、非标准类型：令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22xyyxxy(齐次方程齐次方程)ytytty23dd22令 t = x 1 ,

6、则则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解可分离变量方程求解化方程为化方程为0d)31(d)3()4(22yyxxyxy变方程为变方程为yxxydd2两边乘积分因子两边乘积分因子2 y0)dd(3dd2yxxyyyxx用凑微分法得通解用凑微分法得通解:Cyxyx321120)dd(32yxxyy设设F(x)f (x) g(x), 其中函数其中函数 f(x), g(x) 在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求求F(x) 所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出求出F(x) 的表达式的表达式 .解解:

7、(1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf(2) 由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee221. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(dd

8、pxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次积分求解逐次积分求解 )(xfqyypy , 0 qyypy 常系数情形常系数情形齐次齐次非齐次非齐次代数法代数法二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤: :(1) (1) 写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2) (2) 求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根; 02 qprr(3) (3) 根据特征方程的两个根的不同情况根据特征方程的两个根的不同情况, ,按照下列按照下列规则写出微分方程的通解规则写出微分方程的通解；与与21rr21rr ，特征方程的两个根特

9、征方程的两个根微分方程的通解微分方程的通解21rr，两个不相等的实根两个不相等的实根21rr 两个相等的实根两个相等的实根 ir 2, 1一对共轭复根一对共轭复根xrxreCeCy2121 xrexCCy1)(21 )sincos(21xCxCeyx 求解二阶常系数线性方程求解二阶常系数线性方程*2211*yycycyYy )(xfqyypy 通解通解齐次通解齐次通解非齐特解非齐特解难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法. 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k .i1,i0是单根是单根不是根不是根 k)(xfqyypy 可以是复数）可以是复数） (),(

10、)()1(xPexfmx );(*xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(*xxRxxRexymmxk (3). (3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形. .P353 题题2 求以求以xxeCeCy221为通解的微分方程为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为,2,121rr故特征方程为故特征方程为,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程为因此微分方程为023 yyyP353 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解, 01)6(

11、2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令, )(ypy 则方程变为则方程变为,01dd2 pyppyyypppd1d2即xyyy2sin52)7( ,212, 1ir齐次方程通解齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos*代入方程可得代入方程可得174171,BA思思 考考若若 (7) 中非齐次项改为中非齐次项改为,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxBxAy2sin2cos*故D原方程通解为原方程通解为xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xCxCeyx特解设法有何变化特解设法有何变化 ?02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令),(xpy 则方程变为则方程变为2ddpaxp积分得积分得,11Cxap利用利用100 xxyp11C得再解再解,11ddxaxy并利用并利用,00 xy定常数.2C思考思考若问题改为求解若问题改为求解0321 yy,00 xy1