学生版2020海淀区九年级期末数学备考训练新定义

1、2021海淀区九年级期末数学备考练习新定义.解做题(共50小题)1 .在平面直角坐标系xOy中,点A(0,a)和点B(b,0),给出如下定义：以AB为边,根据逆时针方向排列A,B,C,D四个顶点,作正方形ABCD,那么称正方形ABCD为点A,B的逆序正方形.例如,当a=-4,b=3时,点A,B的逆序正方形如图1所示.(1)图1中点C的坐标为;(2)改变图1中的点A的位置,其余条件不变,那么点C的坐标不变(填“横或“纵),它的值为;(3)正方形ABCD为点A,B的逆序正方形.判断：结论“点C落在x轴上,那么点D落在第一象限内.(填“正确或“错误),假设结论正确,请说明理由；假设结论错误,请在图2

2、中画出一个反例；.T的圆心为T(t,0),半径为1.假设a=4,b>0,且点C恰好落在OT±,直接写出t的取值范围2 .对于OC与.C上的一点A,假设平面内的点P满足：射线AP与.C交于点Q(点Q可以与点P重合),且1W/W2,那么点P称为点A关于.C的“生长点.点O为坐QA标原点,.的半径为1,点A(-1,0).(1)假设点P是点A关于.的“生长点,且点P在x轴上,请写出一个符合条件的点P的坐标;(2)假设点B是点A关于.的“生长点,且满足tan/BAO=5,求点B的纵坐标t的取值范围；(3)直线y=加x+b与x轴交于点M,与y轴交于点N,假设线段MN上存在点A关于.O的“生

3、长点,直接写出b的取值范围是.3 .在平面直角坐标系xOy中,定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线,C(a,b)为其特征点.设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点(点A在点B的左侧).(1)当点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(1,3)时,特征点C的坐标为;(2)假设抛物线y=ax2+bx如下图,请在所给图中标出点A、点B的位置；(3)设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D,其特征直线交y轴于点E,点F的坐标为(1,0),DE/CF.假设特征点C为直线y=-4x上一点,求点D及点C的坐标；假设tan/ODE<2,那么b的取值范围是.4 .在平面直角

4、坐标系xOy中,设点P(xi,y),Q(x2,y2)是图形W上的任意两点.定义图形W的测度面积：假设|xi-x2|的最大值为m,|y1-y2|的最大值为n,那么S=mn为图形W的测度面积.例如,假设图形W是半径为1的.O,当P,Q分别是.与x轴的交点时,如图1,|xi-x2|取得最大值,且最大值m=2;当P,Q分别是.O与y轴的交点时,如图2,|y1-y2|取得最大值,且最大值n=2.那么图形W的测度面积S=mn=4(1)假设图形W是等腰直角三角形ABO,OA=OB=1.如图3,当点A,B在坐标轴上时,它的测度面积S=;如图4,当ABx轴时,它的测度面积S=;(2)假设图形W是一个边长1的正方

5、形ABCD,那么此图形的测度面积S的最大值为(3)假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD,求它的测度面积S的取值范围.5 .在ABC中,D,E分别是ABC两边的中点,如果DE上的所有点都在ABC的内部或边上,那么称工宿为ABC的中内弧.例如,图1中而是ABC的一条中内弧.(1)如图2,在RtAABC中,AB=AC=2&,D,E分别是AB,AC的中点,画出ABC的最长的中内弧DE,并直接写出此时DE的长;(2)在平面直角坐标系中,点A(0,2),B(0,0),C(4t,0)(t>0),在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.假设t=,求4ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的

6、纵坐标的取值范围；2假设在ABC中存在一条中内弧DE,使得DE所在圆的圆心P在ABC的内部或边上,直接写出t的取值范围.6 .对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义：P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离“,记作d(M,N).点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).(1)求d(点O,AABC);(2)记函数y=kx(-1<x<1,kw0)的图象为图形G.假设d(G,AABC)=1,直接写出k的取值范围；(3)OT的圆心为T(t,0),半径为1.假设d(OT,AABC)=1,直接写

7、出t的取值范第3页(共15页)ffl.7 .在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下的定义：假设在图形M上存在一点Q,使得P、Q两点间的距离小于或等于1,那么称P为图形M的关联点.1当.O的半径为2时,在点Pi工,0,P2L,县,P3H,0中,.的关联点是2222点P在直线y=-x上,假设P为.O的关联点,求点P的横坐标的取值范围.（2） OC的圆心在x轴上,半径为2,直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B.假设线段AB上的所有点都是OC的关联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.8 .在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为xi,yi,点Q的坐标为x2,y2,且xiwx2,yiwy2

8、,假设p,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,那么称该矩形为点P,Q的“相关矩形,如图为点P,Q的“相关矩形示意图.i点A的坐标为i,0,假设点B的坐标为3,i,求点A,B的“相关矩形的面积；点C在直线x=3上,假设点A,C的“相关矩形为正方形,求直线AC的表达式；（2） OO的半径为花,点M的坐标为m,3,假设在.上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形为正方形,求m的取值范围.琢S-4-111>o12345工9.在平面直角坐标系xOy中,OC的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于.C的反称点的定义如下：假设在射线CP上存在一点P',满足CP+CP

9、9;=2r,那么称P'为点P关于OC的反称点,如图为点P及其关于OC的反称点P'的示意图.特别地,当点P'与圆心C重合时,规定CP'=0.i当.O的半径为i时.分别判断点M2,i,N,0,Ti,夷关于.O的反称点是否存在？假设存在,求其坐标；点P在直线y=-x+2上,假设点P关于.O的反称点P'存在,且点P'不在x轴上,第4页共15页求点P的横坐标的取值范围;(2)OC的圆心在x轴上,半径为1,直线y=立x+2.与x轴、y轴分别交于点A,3B,假设线段AB上存在点P,使得点P关于.C的反称点P'在.C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.1

10、0.对某一个函数给出如下定义：假设存在实数M>0,对于任意的函数值V,都满足-MWy<M,那么称这个函数是有界函数,在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,如图中的函数是有界函数,其边界值是1.(1)分别判断函数y=(x>0)和y=x+1(-4VxW2)是不是有界函数？假设是有界函数,求其边界值；(2)假设函数y=-x+1(a<x<b,b>a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围；(3)将函数y=x2(-1WxWm,m>0)的图象向下平移m个单位,得到的函数的边界值是t,当m在什么范围时,满足<t<1?1

11、1 .对于平面直角坐标系xOy中的点P和.C,给出如下的定义：假设OC上存在两个点A、B,使得/APB=60°,那么称P为.C的关联点.点D(,/),E(0,-2),F(2行,0).(1)当.O的半径为1时,在点D、E、F中,.的关联点是第5页(共15页)过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使/GFO=30°,假设直线l上的点P(m,n)是.O的关联点,求m的取值范围；(2)假设线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.%12 .在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点Pi(xi,yi)与P2(x2,如的“非常距离,给出如下定义：假设|xi-X2|>

12、;yi-y2|,那么点P1与点P2的“非常距离为Xi-X2|；假设|xi-x2|vyi-y21,那么点Pi与点P2的“非常距离"为|yi-y2|.例如：点Pi(i,2),点P2(3,5),由于|i-3|v|2-5,所以点Pi与点P2的“非常距离为|2-5|=3,也就是图i中线段PiQ与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线PiQ与垂直于x轴的直线P2Q交点).(i)点A,0),B为y轴上的一个动点,2假设点A与点B的“非常距离为2,写出一个满足条件的点B的坐标；直接写出点A与点B的“非常距离的最小值；一,一,只,(2)C是直线y=x+3上的一个动点,4如图2,点D的坐标是(0

13、,i),求点C与点D的“非常距离的最小值及相应的点C的坐标；如图3,E是以原点O为圆心,i为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离的最小值及相应的点E与点C的坐标.13 .如图1,假设抛物线Li的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线Li上(点A与点B不重合)我们把这样的两抛物线Li、L2互称为“友好抛物线,可见一条抛物线的“友好抛物线可以有很多条.(1)如图2,抛物线L3：y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好抛物线L4的解析式,并指出L3与14中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;

14、(3)假设抛物y=ai(x-m)2+n的任意一条“友好抛物线的解析式为2.y=a2(xh)+k,请写出ai与a2的关系式,并说明理由.14 .对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P,给出如下定义：点A是线段MN上一个动点,过点A作线段MN的垂线I,点P是垂线l上的另外一个动点.如果以点P为旋转中央,将垂线I沿逆时针方向旋转60.后与线段MN有公共点,我们就称点P是线段MN的“关联点.如图,M(1,2),N(4,2).(1)在点Pi(1,3),P2(4,0),P3(3,2)中,线段MN的“关联点有;(2)如果点P在直线y=x+1上,且点P是线段MN的“关联点,求点P的横坐标x的取值范围；(3

15、)如果点P在以O(1,-1)为圆心,r为半径的OO±,且点P是线段MN的“关联点,直接写出.半径r的取值范围.15 .在平面直角坐标系xOy中,对于P、Q两点给出如下定义：假设点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q至iJx、y轴的距离中的最大值,那么称P、Q两点为“等距点,如图中的P、Q两点即为“等距点(1)点A的坐标为(-3,1)在点E(0,3)、F(3,-3)、G(2,-5)中,点A的“等距点是;假设点B在直线y=x+6上,且A、B两点为“等距点,那么点B的坐标为;(2)直线l：y=kx-3(k>0)与x轴交于点C,与y轴交于点D.假设T1(T,ti)、T2(4,是直线l上

16、的两点,且Ti、T2为“等距点,求k的值;当k=1时,半径为r的.O上存在一点M,线段CD上存在一点N,使得M、N两点为“等距点,直接写出r的取值范围.16 .在平面直角坐标系xOy中,对于两个点P,Q和图形W,如果在图形W上存在点M,N(M,N可以重合)使得PM=QN,那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点.(1)如图1,点A(0,3),B(2,3).设点O与线段AB上一点的距离为d,那么d的最小值是,最大值是;在P1(S,0),P2(1,4),P3(-3,0)这三个点中,与点O是线段AB的一对平2衡点的是(2)如图2,圆O的半径为1,点D的坐标为(5,0),假设点E(x,2)在第一象限,且点

17、D与点E是圆O的一对平衡点,求x的取值范围.(3)如图3,点H(-3,0),以点O为圆心,OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K,点C(a,b)(其中b>0)是坐标平面内一个动点,且OC=5,圆C是以点C为圆心,半径为2的圆,假设弧HK上的任意两个点都是圆C的一对平衡点,直接写出b的取值范围.17 .在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点分别为A(0,1),B(-1,0),C(0,-1),D(1,0).对于图形M,给出如下定义：P为图形M上任意一点,Q为正方形ABCD边上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最大值,那么称这个最大值为图形M的“正方距,记作d(M).(1)点E(0,4)

18、,直接写出d(点E)的值；直线y=kx+4(kw0)与x轴交于点F,当d(线段EF)取最小值时,求k的取值范围；(2) OT的圆心为T(t,3),半径为1.假设d(OT)<6,直接写出t的取值范围.18 .对于平面直角坐标系xOy中的直线l和图形M,给出如下定义：P1、P2、Pn-1、Pn是图形M上n(n>3)个不同的点,记这些点到直线l的距离分别为d1、d2、dn-1、dn,假设这n个点?t足d1+d2+dn1=dn,那么称这n个点为图形M关于直线l的一个基准点列,其中dn为该基准点列的基准距离.(1)当直线l是x轴,图形M上有三点A(-1,1)、B(1,-1)、C(0,2)时,

19、判断A、B、C是否为图形M关于直线l的一个基准点列？如果是,求出它的基准距离；如果不是,请说明理由；(2)直线l是函数y=-d5x+3的图象,图形M是圆心在y轴上,半径为1的.T,P1、P2、Pn-1、Pn是.T关于直线l的一个基准点列.假设T为原点,求该基准点列的基准距离dn的最大值；假设n的最大值等于6,直接写出圆心T的纵坐标t的取值范围.19 .在平面直角坐标系xOy中,OC的半径为r,给出如下定义：假设点P的横、纵坐标均为整数,且到圆心C的距离d<r,那么称P为.C的关联整点.第10页(共15页)(1)当.O的半径r=2时,在点D(2,-2),E(1,0),F(0,2)中,为.的

20、关联整点的是;(2)假设直线y=-x+4上存在OO的关联整点,且不超过7个,求r的取值范围；(3) OC的圆心在x轴上,半径为2,假设直线y=-x+4上存在OC的关联整点,求圆心C的横坐标t的取值范围.20.对于平面直角坐标系xOy中的动点P和图形N,给出如下定义：如果Q为图形N上一个动点,P,Q两点间距离的最大值为dmax,P,Q两点间距离的最小值为dmin,我们把dmax+dmin的值叫点P和图形N间的“和距离,记作d(P,图形N).(1)如图1,正方形ABCD的中央为点O,A(3,3).点O到线段AB的“和距离d(O,线段AB)=;设该正方形与y轴交于点E和F,点P在线段EF上,d(P,

21、正方形ABCD)=7,求点P的坐标.(2)如图2,在(1)的条件下,过C,D两点作射线CD,连接AC,点M是射线CD上的一个动点,如果6Mvd(M,线段AC)V6+3&,直接写出M点横坐标t取值范围.21.在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点Pi(xi,yi)和P2(X2,y2),称d(Pi,P2)=|xiX2|+|y1y2|为Pi、P2两点的直角距离.A)=(i)：点A(i,2),直接写出d(O,(2)：B是直线y=-Jlx+3上的一个动点.4如图i,求d(O,B)的最小值；如图2,C是以原点O为圆心,i为半径的圆上的一个动点,求d(B,C)的最小22.对于平面直角坐标系xOy中的点P和.M(半径为r),给出如下定义：假设点P关于点M的对称点为Q,且rWPQW3r,那么称点P为.M的满意点.(i)当.O的半径为2时,如图1,在点A(0,1),B(2,0),C(3,4)中,OO的满意点是;如图2,点D在直线y=,gx上,假设点D是.O的满意点,求点D的横坐标m的取值范围；(2) OT的圆心为T(0,t),半径为2,直线y=2/3x+1与x轴,y轴分别交于点E,F.假设3线段EF上的所有点都是OT的满意点,直接写出t的取值范围.23 .对于平面直角坐标系xOy中的图形P,Q,给出如下定义：M为