复合函数总结复习

1、课次教学方案(教案)课题复合函数教学目标掌握复合函数的复合过程,定义域,值域,单调性与奇偶性的求法一、复合函数的构成设ug(x)是A到B的函数,yf(u)是B'到C'上的函数,且BB',当u取遍B中的元素时,y取遍C,那么yf(g(x)就是A到C上的函数.此函数称为由外函数yf(x)和内函数ug(x)复合而成的复合函数.说明：复合函数的定义域,就是复合函数yf(g(x)中x的取值范围.x称为直接变量,u称为中间变量,u的取值范围即为g(x)的值域.f(g(x)与g(f(x)表示不同的复合函数.例1.设函数f(x)2x3,g(x)3x5,求f(g(x),g(f(x).假设

2、f(x)的定义域为M,那么复合函数f(g(x)中,g(x)M.注意：g(x)的值域MM.解复合函数题的关键之一是写出复合过程例1:指出以下函数的复合过程.(1) y=,2x2(2)y=sin3x(3)y=3cosvx2解：(1)y=Sx2是由y=,u,u=2x2复合而成的.(2) y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的.(3) y=3cosV1+2x由y=3cosu,u=,r,r=x2复合而成的.例2:复合函数的定义域问题假设函数f(x)的定义域是0,1,求f(12x)的定义域；假设f(2x1)的定义域是-1,1,求函数f(x)的定义域;f(x3)定义域是4,5,求f(2x3)定义

3、域.要点1：解决复合函数问题,一般先将复合函数分解,即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的.解答：(1)函数f(12x)是由A到B上的函数u12x与B到C上的函数yf(u)复合而成的函数.函数f(x)的定义域是0,1,.B=0,1,即函数u12x的值域为0,1.012x1,12x0,即0x1,2函数f(12x)的定义域0,1.2函数f(2x1)是由A到B上的函数u2x1与B到C上的函数yf(u)复合而成的函数.f(2x1)的定义域是-1,1,.A=-1,1,即-1x1,32x11,即u2x1的值域是-3,1,yf(x)的定义域是-3,1.要点2:假设f(x)的定义域为A,那么fg(x)的定义域

4、就是不等式g(x)A的x的集合；假设fg(x)的定义域为A,那么f(x)的定义域就是函数g(x)(xA)的值域.函数f(x3)是由A到B上的函数ux3与B到C上的函数yf(u)复合而成的函数.f(x3)的定义域是-4,5),.A=-4,5)即4x5,1x38即ux3的值域B=-1,8)又f(2x3)是由A'到B'上的函数u'2x3与B到C上的函数yf(u)复合而成的函数,而BB',从而u'2x3的值域B'1,8)12x38/.22x11,.11,1x2f(2x3)的定义域是1,口).2练习：1,f(x)的定义域为0,1,求f(2x-1)的定义域.

5、2,f(2x-1)的定义域为0,1,求f(x)的定义域.3,f(x+3)的定义域为1,2,求f(2x-5)的定义域.说明： f(x)的定义域为(a,b),求f(g(x)的定义域的方法：f(x)的定义域为(a,b),求f(g(x)的定义域.实际上是中间变量的u的取值范围,即u(a,b),g(x)(a,b).通过解不等式ag(x)b求得x的范围,即为f(g(x)的定义域. f(g(x)的定义域为(a,b),求f(x)的定义域的方法：假设f(g(x)的定义域为(a,b),求f(x)的定义域.实际上是复合函数f(g(x)直接变量x的取值范围,即x(a,b).先利用axb求得g(x)的范围,那么g(x)

6、的范围即是f(x)的定义域,即使函数f(x)的解析式形式所要求定义域真包含g(x)的值域,也应以g(x)的值域做为所求f(x)的定义域,由于要保证所求外含数f(x)与条件下所要求的外含数是同一函数,否那么所求外含数f(x)将失去解决问题的有效性.2.求有关复合函数的解析式,例6.f(x)x21,求f(x1);f(x1)(x1)21,求f(x).例7.f(x1)x1,求f(x)；xf(x-)x24,求f(x1).xx要点3:f(x)求复合函数fg(x)的解析式,直接把f(x)中的x换成g(x)即可.fg(x)求f(x)的常用方法有：配凑法和换元法.配凑法就是在fg(x)中把关于变量x的表达式先凑

7、成g(x)整体的表达式,再直接把g(x)换成x而得f(x).换元法就是先设g(x)t,从中解出x(即用t表示x),再把x(关于t的式子)直接代入fg(x)中消去x得到f(t),最后把f(t)中的t直接换成x即得f(x),这种代换遵循了同一函数的原那么.例8.f(x)是一次函数,满足3f(x1)2f(x1)2x17,求f(x);3f(x)2f(-)4x,求f(x).x要点4:(1)当函数的类型求函数的解析式时,一般用待定系数法.假设抽象的函数表达式,那么常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式.f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他1未知量,如f(x)、f(1)等,必须

8、根据等式再构造出其他等式组成方程x组,通过解方程组求出f(x)o解析式的求法练习1 .代入法例1、f(x)2x1,求f(x1)2 .待定系数法例2、二次函数f(x)满足f(x3)f(1x),且f(x)0的两实根平方和为10,图像过点(0,3),求f(x)解析式3 .换元法,一一2x1.一例3、f(3x1),求f(x)解析式34x4 .配凑法(用于二次函数较多)例4、f(3x1)9x26x5,求f(x)解析式5 .消元法(构造方程组法,赋值法)例5、2f(x)f(x)x1,求f(x)解析式6 .利用函数的性质求解析式333一o例6、函数yf(x)是定义在区间3r上的偶函数,且x0,士时,f(x)

9、x2x5222求f(x)解析式(2)假设矩形ABCD顶点A,B在函数yf(x)图像上,顶点C,D在x轴上,求矩形ABCD面积的最大值例7、函数yf(x)是定义在R上的周期函数,周期T5,函数yf(x)(1x1)是奇函数,又知yf(x)在0,1上是一次函数,在1,4上是二次函数,且在x2时函数取得最小值,最小值为-5(1)证实：f(1)f(4)0(2)试求yf(x),x1,4的解析式(3)试求yf(x)在x4,9上的解析式复合函数的值域换元法：(1)求函数yx4币x；的值域分式法x1求y的值域.x2例1、(指、对数函数作内层函数)己在函数f(x)123x32x(1)求函数f(x)的值域(2)假设

10、x2,1时,函数f(x)的最小值为和最大值2xxa例2、(耐克函数)求函数f(x)(a0),x1,2的值域x【变式练习】2a求函数f(x)2x2二的值域x2121例3、(其它函数复合)求函数yx22x-4(x)的值域xx2二、复合函数的性质1、复合函数yfg(x)在区间a,b上的单调性：(同增异减)ug(x),yf(u)增减性相同时,yfg(x)为增函数,ug(x),yf(u)增减性相反时,yfg(x)为减函数.求复合函数单调区间的步骤是：(1)求函数的定义域；(2)用换元法把复合函数分解成常见函数；(3)求各常见函数的单调区间；(4)把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区问；(5)按复合函

11、数单调性的规律,求出复合函数的单调区间.例8、求以下函数的单调区间：y=(x24x+3)2例9、求复合函数ylog1(2xx2)的单调区问3例10、求y=J76xx2的单调区间和最值x22x1一,、1例11、求y=的单调区问.2例12、求y=1/(x24x+3)的单调区问.2、复合函数yfg(x)的奇偶性假设函数f(x),g(x),fg(x)的定义域都是关于原点对称的,那么由ug(x),yf(u)的奇偶性得到yfg(x)的奇偶性的规律是:函数奇偶性ug(x)奇函数奇函数偶函数偶函数yf(u)奇函数偶函数奇函数偶函数yfg(x)奇函数偶函数偶函数偶函数即当且仅当ug(x)和yf(u)都是奇函数时

12、,复合函数yfg(x)是奇函数.(与奇数偶数的乘法类似)假设f(x)=x3,g(x)=x2+1判断以下函数奇偶性：A.f(x)*g(x)B.f(g(x)C.g(f(x)课后作业：1、假设函数f(x1)定义域为(3,4,那么函数f(Vx)的定义域为33x12、函数f(x)21定义域为R,那么实数a的取值范围是axax3一,11一.3、f(x-)x2,那么f(x1)=xx4、f(x1)x23x4,那么f(x)=5、函数f(x)的图像与函数h(x)x2的图像关于点A(0,1)对称x(1)求函数f(x)的解析式(2)假设g(x)f(x)a,且g(x)在区间(0,2上的值不小于6,求实数a的取值范围x6

13、、设f(x)是定义在R上的函数,且f(x)满足f(x2)f(x),当x0,2时,f(x)2xx2,求x2,0时f(x)的解析式7、f(x)Vmx_mx1的定义域为R,那么求m的取值范围11x8、函数f(x)log2,求函数的7E义域,并讨论匕的奇偶性单倜性.x1x129、求函数y(-)x4x,x0,5)的值域.1x1x10、求函数y(-)x(-)x1在x3,2上的值域.总结：1 .复合函数的构成；设函数yf(u),ug(x),那么我们称yf(g(x)是由外函数yf(u)和内函数ug(x)复合而成的复合函数.其中x被称为直接变量,u被称为中间变量.复合函数中直接变量x的取值范围叫做复合函数的定义

14、域,中间变量u的取值范围,即是g(x)的值域,是外函数yf(u)的定义域.2 .有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式(由ag(x)b解x);求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围(由axb求g(x)的值域).已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域,必须先求出外函数的定义域.特别强调,此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域.解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法.四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有：(1)当f(x)为整式或奇次根式时,xR;当f(x)为偶次根式时,被开方数不小于0(即)0;当f(x)为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;当f(x)为指数式时,对零指数窑或负整数指数窑,底不为0(如f(x)x0,1f(x)