复合梯形公式与复合辛普森公式对比

1、SHANGHAIJIAOTONGUNIVERSITY题目名称：复合梯形公式与复合辛普森公式比照学生姓名:学生学号：班级：学院系：_错误!未定义书签错误!未定义书签错误!未定义书签错误!未定义书签目录1. 概述2. 问题提出3. 算法推导4. 算法框图复合梯形公式算法流程图错误!未定义书签复合辛普森公式算法流程图错误!未定义书签5. MATLAB程序错误!未定义书签6. 结论与展望错误!未定义书签图表目录图4-1复合梯形公式算法流程图错误!未定义书签图4-2复合辛普森公式算法流程图错误!未定义书签图6-1MATLAB计算结果错误!未定义书签表2-1函数计算结果表错误!未定义书签1 .概述梯形求积

2、公式和辛普森求积公式分别是牛顿-科斯特公式中n=1和n=2时的情形.其中梯形求积公式可表示为其公式左端是以a,b区间上积分,右端为b-a为高、端点函数值为上下底的梯形的面积值,故通称为梯形公式,具有1次代数精确度.类似的,辛普森求积公式可以表示为该公式一般在立体几何中用来求拟柱体的体积,由于偶数n阶牛顿-科特斯求积公式至少具有n+1次代数精确度,所以辛普森公式实际上具有3次代数精确度.由于牛顿-科斯特公式在n?8时不具有稳定性,故不可能通过提升阶的方法来提升求积精度.为了提升精度通常可把积分区间分成假设干子区间通常是等分,再在每个子区间上用低阶求积公式.这种方法称为复合求积法.本文主要讨论复合

3、梯形公式和复合辛普森公式在同一数学问题中的应用.首先给出了复合梯形公式和复合辛普森公式的推导过程以及其余项的表达形式,然后用流程图的形式介绍算法思路,再运用MATLA踹写代码计算结果,最后对结果进行比照讨论.希望通过两个算法在同一个算例中的应用比照,更好的理解和掌握复合梯形公式和复合辛普森公式的适用范围和适用条件.并且能够熟悉MATLA编程求解问题的流程,掌握编程化的思想方法.同时对两种方法的计算结果比照分析,讨论两种求积方法的计算精度.2 .问题提由对于函数F6一节,给出的函数表如下,试用复合梯形公式和复合辛普森公,risiixx,式计算积分I=J0dx.o表2-1函数计算结果表xf(x)0

4、11/81/43/81/25/83/47/813 .算法推导复合梯形公式根据梯形公式,将区间山b,划分为n等份,分点卜h=1a+kh,h=,k-0,Ljit,在每个子区间|*Kk+i(k=0,1,n-1)上采用梯形公式,那么得:那么Tn为复合梯形公式.另外,复合梯形公式的余项可表示为ba2Rn(f)b-ahf()12复合辛普森公式根据辛普森公式将区间4b划分为n等份,在每个子区间加也+J&=0,L1-D上采用辛普森公式.假设记1M-+1/2=a-hul那么得该公式即为复合辛普森公式.复合辛普森公式的余项可表示为bah4Rn(f)(-)4f()18024 .算法框图复合梯形公式算法流程图输出积分

5、值Tn结束图4-1复合梯形公式算法流程图复合辛普森公式算法流程图开始输入区间断点a,b及等分数n图4-2复合辛普森公式算法流程图5 .MATLAEBM程序炮合梯形公式及复合辛普森积分公式clearall;formatlong;a=0;b=1;n=8;h=(b-a)/n;%步长fori=1:n+1x(i)=a+(i-1)*h;ifisnan(sin(x(i)/x(i)symst;tmp=limit(sin(t)./t,t,x(i);%当被积函数在某点值不存在时,求其极限y(i)=eval(tmp);elsey(i)=sin(x(i)/x(i);%被积函数求节点的值endend%g合梯形公式及复合

6、辛普森积分公式s1=0;fork=2:ns1=s1+y(k);endT8=h/2*(y(1)+2*s1+y(n+1)蛆合辛普森积分公式s2=0;s3=0;fork=2:2:ns2=s2+y(k);endfork=3:2:n-1s3=s3+y(k);endh1=2*h;%注：此时步长是原来的2倍S4=h1/6*(y(1)+4*s2+2*s3+y(n+1)fprintf(梯形积分公式：n辛普森公式积分：%n,T8,S4)6 .结论与展望图6-1MATLAB计算结果运行MATLABi序,得到复合梯形求积公式的积分值为,复合辛普森求积公式的积分值为(四舍五入后保存6位小数).而实际的积分准确值保存到6

7、位小数的结果为.通过上述结果比照可以得出,虽然复合梯形公式将区间分成了8等分而复合辛普森公式将区间分成了4等分,但两种计算方法实际都需要使用9个点上的函数值,计算量根本也相同,然而最终精度差异却很大.在保存6位小数的前提下,复合辛普森法计算结果与精确解完全一致,而复合梯形公式的计算结果却只有前两位数字与精确解相同,误差相比照拟大._5.S1JLX下面利用余项公式来估计两种算法的误差.首先需要求f(x)一丁的高阶导数.由于所以有fk(x)于是sinxf(x)x10cos(xt)dt,；9(cosxt)dt0dx0tkcos(xtt)dt,maxfk(x)cos(xt)tkdt1tk出0从而复合梯

8、形公式的误差h2R8立maxf(x)-(1)2112830.434103而复合辛普森公式的误差R(f)1,12880(z)450.271106.从而,比照两者可得,复合辛普森公式在计算该问题时的精度远高于复合梯形公通过以上分析,本文所得结论如下:1.2.3.复合梯形公式和复合辛普森公式都可以用来作为数值积分估算的替代公式.在计算量根本相同的前提下,复合辛普森公式计算结果的计算精度要比复合梯形公式计算精度高的多.本算例也验证了辛普森公式作为偶数阶牛顿-柯特斯公式的更为精确的代数精度.关于如何开展下一步研究,提出以下设想：1 .对多个算例进行分析,保证计算量根本相同的情况下去比拟计算精度,验证复合辛普森公式具有更高精度的结论.2 .对多个算例进行MATLA叫程分析,在要求相同计算精度的前提下去比拟计算量的大小,从而分析复合梯形公式与复合辛普森公式的优劣.参考文献1穆耶赛尔艾合买提,阿布都热西提阿布都外力.改良复合梯形求积公式J.首都师范大学学报自然科学版,2021,06:1-4.2刘智颖,王向公,任威龙,龙耀萍.辛