坐标系与参数方程真题与解析

1、坐标系与参数方程真题与解析A级根底局部1. 2021江苏卷在极坐标系中,直线l的方程为psing0=2,由线C的方程为P=4cos0,求直线l被曲线C截得的弦长.2. 2021全国卷H在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos0,y=4sin08为参数,直线l的参数方程为t为参数.x=1+tcos%y=2+tsin%1求C和l的直角坐标方程;2假设曲线C截直线l所得线段的中点坐标为1,2,求l的斜率.3.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.直线l的参x=y/3t,数方程为厂(t为参数),曲线C的极坐标方程为p=y=1+3t

2、4sin0+3.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)假设直线l与曲线C交于M,N两点,求MON的面积.4. (2021佛山检测)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方x=m+2t,程为亚t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为尹=4.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设P为曲线C上的点,PQH,垂足为Q,假设|PQ|的最小值为2,求m的值.5. (2021全国卷H)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线Ci的极坐标方程为pcos0=4.(1)M为曲线Ci上的动点,点P在线段

3、OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；设点A的极坐标为2,3,点B在曲线C2上,求4OAB面积的最大值.6. (2021全国卷I)在直角坐标系xOy中,曲线Ci的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为J+2pcos0-3=0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)假设C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.B级水平提升7.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为p=2sin0+2acos9a>x=-2+系,0;直线l的参数方程为厂t为参数.直线l与曲线

4、C2尸2t分别交于M,N两点.1写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；假设点P的极坐标为2,兀|PM|+|PN|=5M2,求a的值.8.2021珠海检测在平面直角坐标系xOy中,曲线Ci的参数方x=t,程为y=4Pt为参数,以原点0为极点,X轴的正半轴为极轴建立2极坐标系,曲线C2的极坐标万程为p=但曲叶8s§1求Ci的普通方程和C2的直角坐标方程；11,假设Ci与C2交于P,Q两点,求=的值.KOPKoQ答案局部A级根底通关1 .解：由于曲线C的极坐标方程为p=4cos0,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.由于直线l的极坐标方程为psin(旨一0)=2,那么直线l过

5、A(4,0),倾斜角为,所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,那么/oab=6.如图,连接OB.由于OA为直径,从而/OBA=J,所以AB=4cos6=23.因此,直线l被曲线C截得的弦长为273.x2V22 .解：(i)曲线c的直角坐标万程为7+=1.当cos0时,l的直角坐标方程为y=tan%x+2tan%,当cosa=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2o)t2+4(2cosa+sin%)t8=0.®由于曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为力,t2,那么t1+t2=0

6、.又由得t1+t2=4(2cosa+sina)田一-2,故2cosa+sin%=0,于1+3cosa是直线l的斜率k=tan%=-2.人,x=,3t,3 .解：(1)由L消去参数t得5x+y=4,y=1+3t,所以直线l的普通方程为3x+y4=0.由p=4sin0+3=2sin0+213cos0,得p2=2psin0+2y3pcos0,即x2+y2=2,3x+2y.所以曲线C的直角坐标方程是圆(x-3)2+(y-1)2=4.(2)由于原点O到直线l的距离d=2.直线l过圆C的圆心“3,1),所以|MN|=2r=4,所以MON的面积-1S=2|MN|Xd=4.4.解：(1)由于曲线C的极坐标方程

7、为41+sin2O'那么p2+p2sin20=4,将j=x2+y2,(：sin0=y代入上式并化简得x2y27+2=15x2y2所以曲线C的直角坐标方程为1.,x=m+2t,广由消去参数t得xJ2y=m,y=42t,所以直线l的普通方程为(2)设P(2cos0,2sin0)x2ym=0.,由点到直线的距离公式得厂12cose2sin0m|242cos0+4-m|PQ|=雨=#由题意知m*0,当m>0时,|PQ|min=13m|=2,彳mm=23-2/2;当m<0时,|PQ|min=2逢-m|=2,得m=-2-3-22,所以m=2、j3+2,2或m=-2V3-2<2.5

8、.解：1设P的极坐标为p,060,M的极坐标为p,®pi>0.4由题设知|OP|=p,|OM=-.cos由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程为尸4cos9(p>0).因此C2的直角坐标方程为(x2)2+y2=4(x？0).设点B的极坐标为(阳,)(pb>0).由题设知|OA|=2,田=4cos%于是OAB的面积-1.,-5S=2|OA|但sin/AOB=4cosa-sina3=2sin2a32w2+/3.当a=一益时,S取得最大值2+3.所以OAB面积的最大值为2+3.6 .解：(1)由x=pcos0,y=psin.得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.

9、(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0),半径为2的圆.由题设知,Ci是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为1i,y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于1i与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且1i与C2有两个公共点.i+2l_2k2+2当li与C2只有一个公共点时,A到li所在直线白距离为2,所-14,、解得k=.或k=0.3经检验,当k=0时,li与C2没有公共点;当k=3时,li与C2只有一个公共点,12与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所

10、以?詈L=2故k=0或k=*4k2+13经检验,当k=0时,li与C2没有公共点;4当k=4时,l2与C2没有公共点.34综上,所求Ci的方程为y=-7|x|+2.3B级水平提升7 .解：(i)由p=2sin0+2acos0(a>0),得p2=2psin0+2pcos9(a>0),所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y+2ax,即(xa)2+(yi)2=a2+i.由直线l的参数方程得直线l的普通方程为y=x+2.2x=-2+2t,(2)将直线l的参数方程也y=2t.代入x2+y2=2y+2ax,化简得t2(32+2a)t+4a+4=0.=(3V2+V2a)24(4a+4)>

11、;0,解得a*i.ti+t2=32+2a,tit2=4a+4.又由于a>0,所以ti>0,t2>0.由于点P的直角坐标为一2,0,且在直线l上,所以|PM|+|PN|=|ti|+|t2|=3R2+5a=52解得a=2,此时满足a>0,且a#1,故a=2.xti8.解：1由-2.为参数,消去参数3得x2=y,y=4t24那么Ci的普通方程为x2=4y.t2由P=一:一丁4导mpsin0+poos0=2,msin0+cos0#x=poos0,y=psin8代入,得my+x2=0,即C2的直角坐标方程为x+my-2=0.,x=t,、,/、一一,-y-2由"2t为参数,可得y=4tx?0,y=4t2x1一.故4t的几何意乂是抛物线x2=4y上的点原点除外