圆周运动典型例题及答案详解

1、“匀速圆周运动”的典型例题【例11如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动.A、B、C三轮的半径大小的关系是Ra=Rc=2Rb.当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？例2一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动.在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么A.木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心B.木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心C.因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同D.因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块

2、的运动方向相反E.因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同.A的质量为2m,B、C各为m.A、B离转轴均为r,C为2r.则A.若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大B.若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小C.当转台转速增加时，C最先发生滑动D.当转台转速继续增加时，A比B先滑动例4如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B,相距Lo=0.1m.长L=1m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球.小球的初始位置在AB连线上A的一侧.把细线拉直，给

3、小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动.由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上.若细线能承受的最大张力Tm=7N,则从开始运动到细线断裂历时多长?【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性.通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义.对本题，还应该熟练学握数列求和方法.如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到细线完全绕在A、B两钉子上，共需多少时间？例5如图（a）所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球,圆锥顶角为29,当圆锥和球一起以角速度匀速转动时，球压紧锥面.此时纯的张力是多少？若要小球离开锥面

4、，则小球的角速度至少为多少？图【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立xoy直角坐标，然后沿x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程，其中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。【例6杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？【例7】如下图所示，自行车和人的总质量为M,在一水平地面运动.若自行车以速度v转过半径为R的弯道.（1）求自行车的倾角应多大？（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？【例8用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线

5、，拴一质量m=2kg的小球A,L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的Oi,O2处，已知OiO2=5m如下图(g=10m-s-2)(1)当竖直杆以的角速度匀速转动时，02A线刚好伸直且不受拉力.求此时角速度丁1.(2)当OiA线所受力为100N时，求此时的角速度2.【说明】向心力是一种效果力，在本题中02A受力与否决定于物体A做圆周运动时角速度的临界值.在这种题目中找好临界值是关键.例9一辆实验小车可沿水平地面(图中纸面)上的长直轨道匀速向右运动，有一台发出细光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离MN为d=10m,如图所示。转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s,光束

6、转动方向如图箭头所示。当光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上，如果再经过t=2.5s光束又射到小车上，则小车的速度为多少？(结果保留二位数字)n转，一颗子弹沿圆筒的水平B点穿出，假设子弹穿壁时速A、B两点间的孤长为L,写出例10图所示为测量子弹速度的装置，一根水平转轴的端部焊接一个半径为R的薄壁圆筒(图为其横截面)，转轴的转速是每分钟直径由A点射入圆筒，在圆筒转过不到半圆时从度大小不变，并在飞行中保持水平方向，测量出子弹速度的表达式。说明解题过程中，物理过程示意图，是常用的方法，它可以使抽象的物理过程具体形象化，便于从图中找出各物理量之间关系，以帮助建立物理方程，最后求出答

7、案典型例题答案【例11【分析】皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，也就是说，用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等.根据这个特点，结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解.【解】由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设VB=VC=V.由v=R得两轮角速度大小的关系B：c=Rc：Rb=2：1.因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即CDA=CDB,所以A、B、C三轮角速度之比9A.3B.(DC=2.2.1.因A轮边缘的线速度va=aRa=2bRb=2vb,所以A、B、C三轮边缘线速度之比VA：VB：VC=2：1：1.根据向心加速度公式a=W

8、2R,所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比3：3：a=ODiR.：®：COJR鸟QVJ%,AvDLL例2【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力向心力.以木块为研究对象进行受力分析：在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平衡状态.在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动.所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中心【答】B.【说明】常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反，木块随圆盘一起匀速转动

9、时，时时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动趋势方向相反，似乎应该选D.这是一种极普遍的错误认识，其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系.通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势，是指以地球为参照系而言的.而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反，应该是指相互接触的两个相关物体来说的，即是对盘面参照系.也就是说，对站在盘上跟盘一起转动的观察者，木块时刻有沿半径向外滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心【例3】【分析】A、B、C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为.根据向心加速度的公式an=w2r,已知rA=rB<

10、;rc,所以三物体向心加速度的大小关系为a=aB<ac.A错.三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f=Fn=mw2r,所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为fA=mA2rA=2m2r,fB=mB2rB=m2r,fc=mc2rc=m2-2r=2m2r.即物体B所受静摩擦力最小.B正确.由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为小，静摩擦力的最大值可认为是fm=pmg.由fm=Fn,即得不发生滑动的最大角速度为(0即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小.由于rc>rA=rB,所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动.转速继续增加

11、时，物体A、B将同时发生滑动.C正确，D错.【答】B、C.【例4】【分析】小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径会逐渐变小，但小球转动的线速度大小保持不变.【解】小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，每转半圈的时间t不断减小.在第一个半圆内工=m2,“=工工Lv在第二个半圆内T)TT(LlLo)在第三个半圆内心在第口个半圆内匚mL-2LCv2v江(L-2Lq)m7-L-(n-1)LO令tn=Tm=7N,得n=8,所以经历的时间为r"IQFn,、=(nL-l+2+3+-+(n-1)Lo)(v7TtiLv3.14n(n-

12、1)/J,=_X8xi-2s.中x。,小.-w例5【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。阿斯【解】对小球进行受力分析如图（b）所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有T-sin0-N-cos0=m2ry方向上应有N-sin9+Tcos9-G=0由、式可得T=mgcos8+m2Lsin0当小球刚好离开锥面时N=0（临界条件）则有Tsin8=m2rT-cosO-G=0由（4）、（5）式可得=于yLcosf即小球的角速度至少为，匚三VLcosG例6【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需

13、要提供一个向心力。当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最高点时，水就不会流下来。【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律可知,。心=m”,此时重力G与N的合力充当了向心力,，G+N=m*由上式可知寸I,NI,当N=0时，h有最小值为晒.即若使水不掉下来，则水杯在最高点的速度e必须大于场.【例7】【分析】骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜.从图中可知，当骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向a角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的合力Q通过共同的

14、质心O,合力Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力.【解】(1)由图可知，向心力F=Mgtga,由牛顿第二定律有：mgtgCi=得Q=tg-1(2)由图可知，向心力F可看做合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的静摩擦力f和支持力N的合力，所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F,即f=Mgtga【例8】【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时，所受拉力就不同【解】(1)当02A线刚伸直而不受力时，受力如图所示F1cos8=mgFisin0=mR12由几何知识知由式Q)(2)解得%R就mR,且一一4sinoRcoseR=2.4m8=37&#

15、176;代入式1=1.77(rad/s)(2)当OiA受力为100N时，由(1)式Ficos9=100X0.8=80(N)>mg由此知02A受拉力F20则对A受力分析得F1cos0-F2sin0-mg=0F1sin0+F2cos0=mR22由式(4)(5)得CO工cos26-mgcosH+mRsin010。X0.64-20X08+W0XQ.6TJ2X2.4474(rad/s)【例9分析激光器扫描一周的时间T=60s,那么光束在t=2.5s时间内转过的角度八At.伊-x36015°激光束在竖直平面内的匀速转动，但在水平方向上光点的扫描速度是变化的，这个速度是沿经向方向速度与沿切向

16、方向速度的合速度。当小车正向N点接近时，在t内光束与MN的夹角由450变为300.d0ds随着0减小，v扫在减小若45°时，光照在小车上，此时丫扫丫车时，此后光点将照到车前但v扫Jv车不变，当丫车丫扫时，它们的距离在缩小。解在At内，光束转过角度AAte=亍X360*=15。如图，有两种可能(1)光束照射小车时，小车正在接近N点，At内光束与MN的夹角从450变为30°,小车走过Li,速度应为Li由图可知Li=d(tg45°-tg30°)由、两式并代入数值，得vi=1.7m/s(2)光束照到小车时，小车正在远离N点，At内光束与MN的夹角从450为60°,小车走过L2速度为t由图可知L2=d(tg60°-tg45°)由、两代并代入数值，得v2=2.9m/s说明光点在水平方向的扫描速度是变化的，它是沿经向速度和切向速度的合速度。很多人把它理解为切向速度的分速度，即cos日=cos弓cose=d3则扫描速度不变化，就谈不上与小车的“追赶”了，将不可能发生经过一段时间,再照射小车的问题。这一点速度的合成与分解应理解正确。另外光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上有两种情况（见分析）要考虑周全，不要丢解。【例10分析子弹穿过筒壁，子