向量解题技巧doc

1、第二讲平面向量的解题技巧【考点透视】“平面向量” 是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考， 题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主透析高考试题，知命题热点为：1向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积2平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义3两非零向量平行、垂直的充要条件4图形平移、线段的定比分点坐标公式5由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典

2、型问题等6利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题【知识回顾 】1.实数与向量的积的运算律设 、 为实数，那么(1) 结合律： (a )=( )a;(2) 第一分配律： ( + )a= a + a;(3) 第二分配律： (a+ b )= a+ b .58. 向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律） ;(2) （ a）·b=（ a·b） = a·b= a （· b ） ;(3) （ a+b ）·

3、c= a ·c +b ·c.2.平面向量基本定理如果 e1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、 2，使得 a= 1e 1+ 2 e 2不共线的向量e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底3 向量平行的坐标表示设 a= ( x1 , y1) ,b = (x2 , y2 ) ，且 b0 ，则 ab(b0)x1 y2x2 y10.4. a 与 b 的数量积 (或内积 )a·b=| a| b |cos 5. a ·b 的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在

4、a 的方向上的投影|b |cos 的乘积6.平面向量的坐标运算(1)设 a= (x1, y1 ) ,b = ( x2, y2 ) ，则 a+b=( x1x2 , y1y2 ) .(2)设 a= (x1, y1 ) ,b = ( x2, y2 ) ，则 a-b=(x1x2 , y1y2 ) .(3) 设 A (x1, y1 ) ，B (x2 , y2 ) ,则 AB OB OA( x2 x1 , y2 y1 ) .(4) 设 a= (x, y),R ，则 a= (x, y) .(5) 设 a= (x1, y1 ) ,b = ( x2 , y2 ) ，则 a ·b= (x1x2y1 y2

5、 ) .7.两向量的夹角 公式cosx1x2y1 y2(a=(x1, y1 ) ,b = (x2 , y2 ) ).x12y12x22y228.平面两点间的距离公式dA ,B = | AB |AB AB( x2x1 )2( y2y1)2 (A (x1, y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ).9.向量的平行与垂直设 a= ( x1 , y1) ,b = (x2 , y2 ) ，且 b0 ，则A |bb = ax 1 y2x2 y1 0.a b(a0)a·b= 0x 1 x2y1 y2 0 .10. 线段的定比分公式设 P1 ( x1 , y1 ) ， P2(x2 , y2 )

6、， P( x, y) 是线段 P1P2 的分点 ,是实数，且PPPP，则12x1x2xOP1OP21y1y2OP1y11OPtOP1(1 t)OP2 （ t） .111. 三角形的重心坐标公式ABC 三个顶点的坐标分别为A(x 1,y 1 ) 、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x 3 ,y 3 ) ,则ABC 的重心的坐标是 G( x1 x2x3 , y1 y2 y3 ) .3312. 点的平移公式x'x hx x'hOP 'OP PP'.y'y ky y'k注 :图形 F 上的任意一点 P(x ， y)在平移后图形 F ' 上的对应

7、点为 P' (x' , y' ) ，且 PP ' 的坐标为 (h, k) .13. “按向量平移”的几个结论（ 1）点 P(x, y) 按向量 a= ( h, k) 平移后得到点 P' ( x h, yk) .(2)函数 yf ( x) 的图象 C 按向量 a= (h, k) 平移后得到图象 C ',则 C ' 的函数解析式为yf ( xh) k .(3)图象 C'按向量 a= (h,k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 yf ( x) ,则 C ' 的函数解析式为 yf ( xh) k .(4)曲 线 C :

8、f (x, y) 0 按 向 量 a= (h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C ' , 则 C ' 的 方 程 为f (xh, y k )0 .(5)向量 m = (x, y) 按向量 a= ( h, k) 平移后得到的向量仍然为m = ( x, y) .14. 三角形五“心”向量形式的充要条件设 O 为 ABC 所在平面上一点，角A, B,C 所对边长分别为a,b, c ，则（1）O为ABC 的外心2OB22OAOC .（2）O为ABC 的重心OAOBOC 0.（3）O为ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA.（4）O为ABC 的内心aOAbOBcOC0 .（5

9、）O为ABC 的 A 的旁心aOAbOBcOC .【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1) 理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念.(2) 掌握向量的加法和减法 .(3) 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 ,掌握向量垂直的条件 .(6) 掌握平面两点间的距离公式 .例 1（ 2007年北京卷理）已知O是ABC 所在平面内一点， D为BC 边中点，且2OA OBOC0 ，那么（

10、） AO OD AO2OD AO3OD 2AO OD命题意图 : 本题考查能够结合图形进行向量计算的能力例 2 （ 2006 年安徽卷）在ABCD 中， ABa, ADb, AN3NC ，M 为 BC 的中点，则MN _. （用 a、b表示）命题意图 :本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积 .例 3 （ 2006 年广东卷）如图1 所示， D 是 ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD ()（A） BC1 BA（B ）BC1 BA22（C） BC1 BA（D） BC1 BA22命题意图 :本题主要考查向量的加法和减法运算能力.例 4 ( 2006年重庆卷 )与向量 a = 7,1

11、, b1,7的夹解相等，且模为1 的向量是()2222(A) 4,3(B)4,3或4, 355555 5（C） 2 2,1（D） 232 ,1或 22,133333命题意图 :本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.例 5 （2006 年天津卷） 设向量 a 与 b 的夹角为，且 a(3,3) ，2ba (1,1)，则 cos_ 命题意图 :本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题 .例 6.（ 2006 年湖北卷）已知向量a3,1 ， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且a b3，则b = （）（A）3,1（B） 1,

12、3（C） 1,33（D） 1,0222244命题意图 :本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力 .例 7.设平面向量 a1、 a2、3 的和 a1a2 a30 .如果向量 b1、2、 b3，满足 ii ，且 ai 顺时abb2 a针旋转 30o 后与 bi 同向，其中 i 1,2,3，则（）（ A） b1b2b30（B ） b1b2b3 0（ C） b b b 0（ D ） b b b 0123123命题意图 : 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.2. 平面向量与三角函数 , 解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换

13、、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2) 解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.例 8 （ 2007 年陕西卷理17. ）设函数f(x)= a-b ,其中向量a=(m, cos2 x),b=(1+sin2 x,1), x R,且函数 y=f (x)的图象经过点,2 ，4（）求实数m 的值；（）求函数f( x)的最小值及此时x 的值的集合 .例 2 （ 2007 年陕西卷文17 ）设函数f ( x)

14、a、 b . 其中向量 a(m, cos x), b(1sin x,1), xR, 且 f ()2 .2（）求实数m 的值 ; （）求函数f (x) 的最小值 .例 9 （ 2007 年湖北卷理16 ）已知 ABC 的面积为 3，且满足 0 AB AC 6，设 AB 和 AC 的夹角为（ I）求的取值范围；（ II）求函数 f ( ) 2sin 2 3 cos2 的最大4例 10 （ 2007 年广东卷理）已知 ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4) 、 B(0,0) 、 (c,0)（ 1 ）若 c=5 ，求 sin A 的值；（ 2 ）若 A 为钝角，求 c 的取值范围；例 11（

15、2007 年山东卷文 17）在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，tanC 37 （ 1）求 cosC ；（ 2）若 CB CA5b9 ，求 c ，且 a2例 12.（ 2006 年湖北卷） 设函数 fx a bc，其中向量 asin x, cosx ,b sin x, 3cosx ,ccos x,sin x , x R .（）求函数f x 的最大值和最小正周期；（）将函数 y f x 的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的 d .命题意图 : 本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、 三角函数的性质及图像的基本知识，

16、考查推理和运算能力.例 13 （ 2006 年全国卷 II）已知向量a (sin ， 1) ， b (1 ， cos )， 22（）若 a b ，求 ；（）求a b 的最大值命题意图 : 本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、 三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.例 14 （ 2006年陕西卷）如图，三定点 A(2,1), B (0,1),C( 2,1); 三动点 D、 E、 M 满足yAD t AB , BEtBC , DM tDE ,t 0,1.C1A（ I）求动直线 DE 斜率的变化范围；OD- 2- 1 E1x（ II）求动点 M 的轨迹方程。-

17、1B图2命题意图 : 本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识，考查推理和运算能力.例 15 （2006 年全国卷 II）已知抛物线 x2 4y的焦点为 F，A 、B 是抛物线上的两动点， 且 AF FB （ 0 ）过 A 、 B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 （）证明 FM ·AB 为定值；（）设 ABM 的面积为 S ，写出 S f()的表达式，并求S 的最小值【专题训练与高考预测】一、选择题1已知 a(2,3), b(4, x), 且a / b,则x 的值为（）A 6B 6C 8D 8332已知 ABC 中，点 D 在

18、 BC 边上，且 CD2DB ,CD r ABsAC , 则 rs 的值是（）A 2B 4C 3D 0333把直线 x 2y0 按向量 a ( 1, 2) 平移后，所得直线与圆x2y22x4 y相5切，则实数的值为（ A ）A 39B 13C 21D394给出下列命题： a ·b =0 ，则 a =0 或 b =0.若 e 为单位向量且 a / e ，则 a =| a |·e . a · a · a =| a |3 . 若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则a 与 c 共线 . 其中正确的个数是（）A 0B 1C 2D 35. 在以下关于向量的命题

19、中，不正确的是（）A. 若向量 a=(x， y) ，向量 b=( y，x)( x、y 0) ，则 a bB. 四边形 ABCD 是菱形的充要条件是AB = DC ，且 | AB |=| AD |C. 点G 是 ABC的重心，则GA+ GB + CG =0D. ABC中，AB和 CA 的夹角等于180 °A6.若 O为平行四边形ABCD的中心，AB= 4 e1 ,= 6e 2, 则 3e 22e1 等于（）A.AOB.BOC.COD.DO7. 将函数y=x +2的图象按a=（ 6， 2 ）平移后，得到的新图象的解析式为（）A. y=x +10B. y=x 6C. y=x +6D. y=

20、x108. 已知向量m =(a,b )，向量 m n 且 |m |=|n |,则 n 的坐标为A. （ a, b）B.( a,b )C.( b,a)D.( b,a)9. 给出如下命题：命题（1 ）设e 1 、 e2 是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、 y，使a= xe1 +ye 2 成立；命题（2 ）若定义域为R 的函数f(x)恒满足 f( x) = f(x) ,则f(x)或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（）A. 命题（ 1）（ 2 ）均为假命题B. 命题（ 1）（ 2 ）均为真命题C. 命题（ 1）为真命题，命题（2 ）为假命题D. 命题（ 1）

21、为假命题，命题（2 ）为真命题10 若 |a+b|=|a-b|，则向量 a 与 b 的关系是（）A. a= 0 或 b= 0B.|a|=|b|C. a ?b=0D. 以上都不对11O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足A BAC则 P 的轨迹一定通过ABC的（）OP OA(),0,).|AB| A CA外心B 内心C 重心D垂心12 若 a 2, 3,1 , b2,0,3 , c0,2,2 , 则 a b c =（）A 4B 15C 7D 3二、填空题1已知 | AB | 3,| AC | 4, AB 与 AC 的夹角为60°，则 AB 与 AB AC 的夹角余弦为.2 已知 a （ 4,2,x ）， b (2,1,3), 且 a b ，则 x.3 向量 ( a3b )7 a5b ， a4b7 a2 b ，则 a 和 b 所夹角是4 已知 A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1),点 D 满足条件： DB AC, DC AB,AD=BC,则 D 的坐标为.5