数学分析第13章

1、.第十三章函数列与函数项级数第十三章函数列与函数项级数1 一致收敛性 2一致收敛函数列与函数项级数的性质. 1 一致收敛性n一、一、函数列及其一致收敛性函数列及其一致收敛性n二、二、函数项级数及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性n三、三、函数项级数的一致收敛性判别函数项级数的一致收敛性判别法法.设设)1(,21nfff是一列定义在同一数集是一列定义在同一数集 E 上的函数，称为定义在上的函数，称为定义在 E 上的函数列，简记为上的函数列，简记为 fn 或或 fn , n = 1, 2, . . . 设设 x0 E , 将将 x0 代入上述函数列，可得数列代入上述函数列，可得数列.),(,),

2、(),(00201xfxfxfn一、函数列及其一致收敛性一、函数列及其一致收敛性若此数列收敛，则称若此数列收敛，则称 x0 为函数列为函数列 (1) 的收敛点，若此的收敛点，若此数列发散，则称函数列数列发散，则称函数列 (1) 在在 x0 发散发散.使函数列使函数列 (1) 收敛的全体收敛点构成的集合，称为函数收敛的全体收敛点构成的集合，称为函数列列 (1) 的收敛域的收敛域若函数列若函数列 (1) 在数集在数集 DE 上每一点都收敛，则称函数上每一点都收敛，则称函数列列 (1) 在数集在数集 D 上收敛上收敛记极限函数为记极限函数为 f , 则有则有Dxxfxfnn , )()(lim此极限

3、的此极限的 N 的定义是：对任何的定义是：对任何 xD , 任给的任给的 0 ,存在存在 N 0 , 使得当使得当 n N 时，总有时，总有 | fn(x) f (x) | 0 , 存在存在 N 0 , 使得当使得当 n N 时，时，对任何对任何 xD , 都有都有 | fn(x) f (x) | 0 , 取取 N = 1/ , 当当 n N 时，时，对任何对任何 x( , +) , 都有都有|0sin| nnxn1 N1 , 所以函数列所以函数列sinnnx在在 ( , +) 上一致收敛于上一致收敛于 0 . 函数列函数列 fn 在在 D 上不一致收敛于上不一致收敛于 f 的定义：的定义：若

4、存在若存在0 0 , 对任何对任何 N 0 , 都存在都存在 n0 N ，且存在且存在 x0D , 使得使得 | fn0(x0) f (x0) | 0则称则称 fn 在在 D 上不一致收敛于上不一致收敛于 f .例例 证明函数列证明函数列 xn 在在 ( 0, 1 ) 上不一致收敛于上不一致收敛于 0 证证取取,210 对任何正整数对任何正整数 N ，当当 n N 时，时，取取nnnx10)1( , )1, 0( 则有则有|0)( |0 nx1 nn.21 所以所以 xn 在在 ( 0, 1 ) 上不一致收敛于上不一致收敛于 0 . 定理定理 13.1 (函数列一致收敛的柯西准则函数列一致收敛

5、的柯西准则)函数列函数列 fn 在在 D 上一致收敛于上一致收敛于 f 的充要条件是：的充要条件是：对任给的对任给的 0 , 存在存在 N 0 , 使得当使得当 n, m N 时，时，对任何对任何 xD , 都有都有 | fn(x) fm (x) | 0 , 存在存在 N 0 , 使得当使得当 m n N 时，时，对任何对任何 xD , 都有都有 | Sm(x) Sn (x) | 或或.| )()()(|21 xuxuxumnn.| )(|1 mnkkxu. 推论推论 函数项级数函数项级数un(x) 在在 D 上一致收敛的必要上一致收敛的必要条件是：函数列条件是：函数列 un(x) 在在 D

6、上一致收敛于零上一致收敛于零 设函数项级数设函数项级数un(x) 在在 D 上的和函数为上的和函数为 S(x), 称称 Rn(x) = S(x) Sn (x)为函数项级数为函数项级数un(x) 的余项的余项 定理定理 13.4 函数项级数函数项级数un(x) 在在 D 上一致收敛于上一致收敛于 S(x) 的充要条件是的充要条件是.0| )()(|suplim xSxSnDxn.例例 4 函数项级数函数项级数,102 nnnxxxx的收敛域为的收敛域为 (-1, 1)，其和函数为，其和函数为.11)(xxS 级数在级数在 -a , a ( a 0, 使得对使得对任何任何 xI ， |vn(x)|M , n = 1, 2, . . . 则函数项级数则函数项级数un(x)vn(x) 在数集在数集 I 上一致收敛上一致收敛.定理定理 13.7 （狄利克雷判别法）（狄利克雷判别法） 设设 un(x) 的部分和函数列的部分和函数列, 2, 1)()(1 nxuxUnkkn在在 I 上一致有界；上一致有界； 对每一个对每一个 xI ， Un(x) 是单调的；是单调的