函数的概念及基本性质

1、 定义定义 设设x,y为两个变量为两个变量, ,D为非空实数集，若对任意的为非空实数集，若对任意的xD，变变量量y均按照一定的法则均按照一定的法则f 有惟一的值与之对应，则称有惟一的值与之对应，则称y是是x的函数，的函数，记作记作y= =f( (x).).其中其中x称为自变量，称为自变量，x的取值范围称为函数的定义的取值范围称为函数的定义域，常记为域，常记为Df . .y称为因变量，与称为因变量，与x对应的对应的y值称为函数值，函值称为函数值，函数值的集合数值的集合 f( (x) ) xDf 称为函数的值域，常记为称为函数的值域，常记为Zf. .注注( (1)1)函数两要素：定义域、对应法则函

2、数两要素：定义域、对应法则. .(2)(2)函数表示法：表格法、图形法、公式法函数表示法：表格法、图形法、公式法. .(3)(3)单值函数，多值函数单值函数，多值函数. . 解解 要使要使 有意义，显然要满足：有意义，显然要满足：)(xf.045, 0sin, 032 xxxx .51),(,3xkkxx为为整整数数即即 所以定义域为：所以定义域为： ).3 , 0() 0 , 10, 31 xxxDf例例1 1 求函数求函数 的定义域的定义域. .245sin)3lg()(xxxxxf ( (4)4)函数定义域的确定函数定义域的确定. . (i) (i)由算式表示的函数，定义域是自变量所能取

3、的使算式由算式表示的函数，定义域是自变量所能取的使算式 有意义的一切实数组成的集合有意义的一切实数组成的集合. .(ii)(ii)有实际意义的函数，根据实际意义确定有实际意义的函数，根据实际意义确定. .(5)(5)分段函数是一个函数分段函数是一个函数. .例例2 2 判断下列函数是否相同，并说明理由，画图表示判断下列函数是否相同，并说明理由，画图表示. .| xy （1） 与与 ; （2） 与与 .2xy 2lgxy xylg2 解解（1 1）相同）相同. .它们的对应法则与定义域均相同它们的对应法则与定义域均相同. .（2 2）不相同）不相同. .它们的定义域不同它们的定义域不同. .第一

4、个函数的定义域为第一个函数的定义域为 , , 而第二个函数的定义域为而第二个函数的定义域为 .0 x0 x 例例3 3 符号函数符号函数 . 01, 00, 01sgnxxxxy当当当当当当1-1xyo例例4 4 取整函数取整函数 y=x, , x为任意实数为任意实数,x表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数. . 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 -xyo, 13 , 053xy 例如例如 的定义域的定义域 , ),( D值域值域Rf=Z,图形如右图图形如右图称其为阶梯曲线称其为阶梯曲线.例例5 5 设函数设函数 满足方程满足方程 , ,求求.32)(2xxxf )(xfxxf

5、xf1)1()(2 ).(xf解解 先将先将 换为换为 ; ;再求出再求出f( (x) )表达式表达式. .x1x,1)1()(2xxfxf ,)()1(2xxfxf (1)(1)(2)(2)联立联立(1)(2),(1)(2),得得定义定义 设有函数设有函数y=f(x), ,Df和和Zf 分别为定义域和值域分别为定义域和值域, ,若存在映射若存在映射f-1-1: : Zf Df ，则称，则称f-1-1为为y=f(x)的反函数，记作的反函数，记作x= = f-1-1( (x).). 注注(1) (1) y=f(x)和和x= f-1(x)的定义域与值域正好相反的定义域与值域正好相反.(2)(2)反

6、函数的存在性反函数的存在性. .(3)(3)习惯上反函数用习惯上反函数用 表示表示. .)(1xfy (4)(4)函数函数y= =f( (x) )与与y= =f-1-1( (x) )的图形关于直线的图形关于直线y=x对称对称, ,如下图所示如下图所示. . 1x2x3x4x4y1y2y3yfDfZ1ff)( xfy 函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函数数例例6 6 设函数设函数 , 0, 01)(2xxxxxfy(1)求求 的表达式、定义域、值域；的表达式、定义域、值域；(2)画出画出 与与 的图形的图形. .)(1xfy )(xfy )(1xfy 解解 (1);0;11

7、02yxxyxyxxyx 得得时时，由由当当得得时时，由由当当 . 0, 1,1)(1xxxxxf故故).,(), 1(0 ,( 值值域域为为定定义义域域为为(2)图形为图形为-2-112x-3-2-1123y12 xyxy 1xyxy1 1. .函数的单调性函数的单调性x)(xfy )(1xf)(2xfyoI1x2x)(xfy )(1xf)(2xfxyoI1x2x 设函数设函数f( (x) )的定义域为的定义域为D，区间，区间I D, ,如果对于区间如果对于区间I上任上任意两点意两点x1及及x2，当，当x1x2时，恒有时，恒有f( (x1)f( (x2),),则称函数在区见则称函数在区见I

8、I上是单调增加（或单调减少）的（如下图所上是单调增加（或单调减少）的（如下图所示）示）. . 2 2. .函数的奇偶性函数的奇偶性. )( )()(),()()()(,)(如如下下图图所所示示数数或或奇奇函函为为偶偶函函数数则则称称或或有有如如果果对对于于任任意意关关于于原原点点对对称称的的定定义义域域设设函函数数xfxfxfxfxfDxDxf 偶函数偶函数yx)(xfy ox-x奇函数奇函数yxox-x)(xfy A A* *A A.0)().()(),()(), 0()(, 0,)0( 2121212121）内内是是单单调调增增函函数数，在在（因因此此，即即内内单单调调递递减减，所所以以在

9、在又又因因为为时时当当及及取取两两点点任任内内，在在 xfxfxfxfxfxfxxxxxx 例例7 7 已知已知是偶函数是偶函数,且在且在内单调递减，内单调递减，在在内是单调增函数还是单调减函数，内是单调增函数还是单调减函数，试判断试判断并证明你的判断并证明你的判断. .)(xf）（ , 0)(xf）（0 , 因为因为 是偶函数，所以是偶函数，所以. )()(xfxf )(xf解解 ),0- ()( 在在xf内是单调增函数内是单调增函数. .3 3. .函数的周期性函数的周期性通常说周期函数的周期是指最小正通常说周期函数的周期是指最小正周期周期. .)(,)(.)()(,)(,)(的的周周期期

10、称称为为为为周周期期函函数数则则称称成成立立且且有有对对于于任任意意使使得得如如果果存存在在一一个个正正数数的的定定义义域域为为设设函函数数xflxfxflxfDlxDxlDxf 2l 2l23l 23l例例8 8 设函数设函数f(x)是以是以T为周期的周期函数，证明为周期的周期函数，证明是以是以为周期的周期函数为周期的周期函数. .由此求函数由此求函数的周期的周期. ., 所以所以)0)( aaxfaT)3sin( xy ),()(xfTxf ).()(axfTaxf 又因为又因为)()(TaxfaTxaf ).()(axfaTxaf )(axfaT故故是以是以为周期的周期函数为周期的周期函数.xysin 2因为因为是以是以为周期的周期函数，由已证结论得为周期的周期函数，由已证结论得)3sin( xy .32 证证 因为因为)(xf是以是以T为周期的周期函数，所以为周期的周期函数，所以的周期为的周期为. 设函数设函数 f (x)在区间在区间I上上有定义，如果存在常数有定义，如果存在常数M，使得对任，使得对任意的意的 x I ，恒有，恒有4.4.函数的有界性函数的有界性MxyoM (1 (1) ) |f (x)|0），则称函数），则称函数 f (x) 在在I I上有界上有界( (如下如下图所示图所示););否则称函数否则称函数 f (x) 在在 I 上无界上