函数的单调性与凹凸性的判别法

1、Nove. 7 Fri. Review1. 局部Taylor展开式：余项。余项。称为称为其中其中阶导数，则有：阶导数，则有：处有处有在在若函数若函数PeanoxxxxoxRxRxxnxfxxxfxxxfxfxfnxxfnnnnn)()()()()(!)()(! 2)()()()()(0000)(2000000 2. 带Lagrange余项的Taylor公式：时时，有有：特特别别地地，当当00 x公公式式。余余项项的的带带MaclaurinPeanoxoxnfxfxffxfnnn)(!)0(! 2)0()0()0()()(2 )()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxn

2、xfxxxfxxxfxfxfnnn )()()!1()()(010)1(之之间间与与介介于于其其中中xxxxnfxRnnn 带Lagrange余项的Maclaurin公式：)10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxfNove. 4 Fri. 4 函数单调性与凸性的判别法v函数单调性判别法v函数的凸性及其判别法一. 函数单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf。内内单单调调递递增增或或单单调调递递减减在在则则称称或或，都都有有，内内有有定定义义，在在设设函函数数),()()()()()(),

3、(),()(21212121baxfxfxfxfxfxxbaxxbaxfy abBA定义定理1。下下降降在在；上上升升在在，则则，且且设设0)(,)().20)(,)().1),()(,)( xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf，由，由上升，上升，在在),(,)(.10baxbaxf 证明：),(, 0)()(baxxxxfxxf （极限的保号性）（极限的保号性）得得0)()(lim0 xxfxxfx. 0)( xf定定理理上上用用，在在Lagrangexxbaxx,),(,2121 ),(),)()()(211212xxxxfxfxf 上是上升的。上是上升的。，在，在则则,)()(2

4、1baxfxf 0)(1)(,)(.200 xfxfbaxf知，知，上升的，由上升的，由是是上是下降的，则上是下降的，则在在若若；即即0)( xf上上升升。在在知知，由由，则则反反之之若若,)(10)(0)(0baxfxfxf 下下降降。在在所所以以,)(baxf。的任意子区间内恒为的任意子区间内恒为不在不在；或或上严格单调上升或下降上严格单调上升或下降在在0),()().20)(0)().1,)(baxfxfxfbaxf 定理2成立。成立。知，知，上严格上升，由上严格上升，由在在设设011 .,)(thbaxf证明：则则，有有假假设设, 0)(),(),( xfba Cxf )(，与条件矛盾

5、。，与条件矛盾。不是严格单调上升函数不是严格单调上升函数这表明这表明)(xf严严格格上上升升。明明内内上上升升。现现用用反反证证法法证证在在知知由由),()(,10baxf，但但且且，不不严严格格上上升升，那那么么假假设设 ,),()(baxf)()( ff 是上升函数，所以是上升函数，所以因为因为)(xf xfxf),()(. 0)( xf。矛矛盾盾！上上恒恒为为的的子子区区间间在在说说明明0),(),()( baxf 严格上升。严格上升。)(xf；等等号号成成立立当当且且仅仅当当，时时，有有证证明明当当0)1ln(11. 1 xxxxxx例不等号成立。不等号成立。与与须证须证时，显然等号成

6、立。只时，显然等号成立。只当当0010 xxx证明：函数函数先证右端不等式。考虑先证右端不等式。考虑0)0()1ln()( fxxxf，xxxxf 1111)(于于是是有有：上上严严格格单单调调上上升升，在在，时时，), 0(0)(0 xfxfx).1ln(),0()(xxfxf 即即下下降降，也也有有：内内严严格格单单调调在在，时时当当)0 , 1()(0)(,01 xfxfx11, 00 xxx时时，现现证证明明左左端端不不等等式式：当当，同样有：，同样有：时，时，当当0101 xxx)1ln(11ln)11ln(1xxxxxx 011 xx)11ln(1xxxx ).1ln(),0()(

7、xxfxf 即即)1ln(1xxx 即即.)1ln(1xxxx 上上单单调调减减少少；在在证证明明，上上二二次次可可导导，且且在在设设, 0)(0)(, 0)0(, 0)(. 2axxfxffaxf 定定理理，在在上上二二次次可可导导，故故由由 Lagrangexf)(证明：，使使得得), 0(, 0 xax )()0()( fxfxf 2)()()(xxfxfxxxf 另另一一方方面面2)0()()(xfxfxfx 2)()(xfxfx xfxf)()( ).()(0)( fxfxf 可知可知，由由上上单单调调减减少少。在在即即，故故, 0)(0)(axxfxxf 上上的的最最大大值值。在在

8、求求函函数数), 0)(. 32 xexxfxxexxexf 22)(解：)2(xxex ; 0)(20 xfx时时，当当. 0)(2 xfx时时，严格下降。严格下降。上严格上升，在上严格上升，在在在因此连续函数因此连续函数), 2(2 , 0)(xf上上最最大大值值。在在为为), 0)(4)2(2 xfef注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性二. 函数的凸性及其判别法问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?ABCxyoxy 2xy xy011xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意

9、弧段位于弦的上方于弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于弦的下方于弦的下方定义1。内是凹的内是凹的在在则称函数则称函数；若有：；若有：内是凸的内是凸的在在则称函数则称函数，总有：，总有：，对任一，对任一，内有定义，若对内有定义，若对在区间在区间设函数设函数)()()()()1()1()()()()()1()1()1 , 0()(212121212121concaveIxfxfxfxxfconvexIxfxfxfxxfxxIxxIxf 若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数是凸函数或凹函数。2x)(2xfxy0 1x)(121xxxf 2x)(2xfxy0 1x)

10、(1xf)()(1211xxxfxf 凸函数凹函数)()()(12112xxxfxfxf )()()(12112xxxfxfxf 定义1)()()(12112xxxfxfxf 可可微微若若函函数数)(xf)()()(12112xxxfxfxf 凸函数凹函数。扭转点扭转点的拐点或的拐点或为为则称则称的，在另一边是凹的，的，在另一边是凹的，的一边是凸的一边是凸的某一邻域内，在的某一邻域内，在在在若若)()()(,()(0000 xfxfxxxxf定义2定理内内是是凸凸的的。在在，则则内内内内是是凹凹的的；若若在在在在，则则内内有有在在若若函函数数),()(0)(),(),()(0)(),()(ba

11、xfxfbabaxfxfbaxf 证明：的的情情况况。只只证证0)( xf公式：公式：余项的余项的处有带处有带在在，设设TaylorLagrangexbaxx121),(, 21111)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf ，则则有有令令2xx .),(21之之间间与与介介于于，其其中中xxbax 之间。之间。与与介于介于21xx ,0)( f21212112)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf .0)(! 2)(212 xxf )()()(12112xxxfxfxf 是凸的。是凸的。)(xf几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调 增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切

12、 线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。的凹凸区间及拐点；的凹凸区间及拐点；求函数求函数；，3543)2(. 2. 1 xyxyxy例求拐点的步骤：的的点点；求求出出使使0)(. 1 xf有意义；有意义；不存在的点，但函数要不存在的点，但函数要求出求出)(. 2xf . 3函数的凹凸性函数的凹凸性考察在这些点的左、右考察在这些点的左、右的的凸凸性性；讨讨论论例例32)52(3xxy 解：时时，0 x,13103xxy .129103xxxy 时时，0 x导数不存在，二阶导数也不存在。0)(21 xfx时，时，), 0(),0 ,21(),21,(,),(210 分分区区间间将将及及用用xxx

13、)(xf)(xf )21,( 21 )0 ,21( 0), 0( 0 不存在不存在 凹凸凸不不是是拐拐点点。拐拐点点为为)0 , 0(),23,21(3 ；，证证明明，设设bbaabababalnln)2ln()(0. 4 证明：.), 0(ln是是凸凸的的，利利用用凸凸性性上上在在有有关关，经经观观察察，不不等等式式与与函函数数 yxxy,ln)(xxxf 设设)0(1)(1ln)( xxxfxxf，则则时有：时有：是凸的，故是凸的，故在在可见可见0, 0), 0()( baxf)()()(21)2(时等号成立时等号成立babfafbaf bbaababalnln2ln2 即即.lnln2l

14、n)(bbaababa 。证证明明，的的凸凸性性；讨讨论论bababaxy )1(100).2ln).1. 51证明：.1,1120 xyxy 上上是是凹凹的的；在在), 0(ln xy：时时，由由凹凹函函数数定定义义，有有，当当设设baba 0, 020)1ln(lnln)1(baba 的指数，则：的指数，则：式两端取式两端取时，等号成立，将不等时，等号成立，将不等eba baba )1(1Hw：p151 3(2,4,5,7)，4(2,3,4,5)，7(3,4)， 8(2,4,6)，9(2)，10，11，12，1，3。0),(1)(21121 innnaaaanaaa)(2121baab 时

15、时，有有 更进一步有不等式：。超过它们的算术平均值超过它们的算术平均值个正数的几何平均值不个正数的几何平均值不nNove. 9 Wed. Reviewv函数单调性判别法。下下降降在在；上上升升在在，则则，且且设设0)(,)().20)(,)().1),()(,)( xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxfv函数凸性及其判别法。下下降降在在；上上升升在在，则则，且且设设0)(,)().20)(,)().1),()(,)( xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf。是是凹凹的的，函函数数；若若有有：是是凸凸的的，有有：，对对任任一一，若若对对)()()()()1()1()()()()()1

16、()1()1 , 0(212121212121concaveIxxfxfxfxxfconvexIxxfxfxfxxfxxIxx 若函数可微：)()()(12112xxxfxfxf )()()(12112xxxfxfxf 凸函数凹函数内内是是凸凸的的。在在，则则内内内内是是凹凹的的；若若在在在在，则则内内有有在在若若函函数数),()(0)(),(),()(0)(),()(baxfxfbabaxfxfbaxf 函数凸性判别法：求拐点的步骤：的点；的点；求出使求出使0)(. 1 xf意义；意义；不存在的点，函数要有不存在的点，函数要有求出使求出使)(. 2xf 3.考察在这些点的左、右的凹凸性。考察

17、在这些点的左、右的凹凸性。v函数的极值：极大值与极小值；处处可可导导，且且取取得得极极值值在在件件：函函数数取取得得极极值值的的必必要要条条0)()(. 100 xfxxf不是极值点。不是极值点。则严格单调，则严格单调，或或，有，有对对处有极小值；处有极小值；在在则则时，时，时，时，处有极大值；处有极大值；在在则则时，时，时，时，内可微，若内可微，若及及在在内连续内连续在在的极值可疑点，且的极值可疑点，且是是设设件：件：函数取得极值的充分条函数取得极值的充分条02100200100000000000000000000)()0(0)(0)(),(),(3)(, 0)(),(, 0)(),(2)(

18、, 0)(),(, 0)(),(1),(),(),()()(. 2xxfxfxfxxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxfxfxxxxfxxxxxxxxxxfxfx 5 函数极值、函数作图v函数的极值与求法；v渐近线；v函数作图。一. 函数的极值与求法定义：。的极大值点或极小值点的极大值点或极小值点称为称为的极大值或极小值，的极大值或极小值，为为则称则称或或，有不等式，有不等式定义，若对任何定义，若对任何内有内有的邻域的邻域在在设函数设函数)()()()()()()(),(),()(0000000000 xfxxfxfxfxfxfxfxxxxxxxfy 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值

19、与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x 设设)(xf在在点点 0 x处处具具有有导导数数, ,且且在在0 x处处取取得得极极值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. . 定理定理1 1( (必要条件必要条件) ).,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf注意注意:例如例如,3xy , 00 xy.0 不不是是极极值值点点但但 x极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点).(1)如果),(0

20、0 xxx 有; 0)( xf而),(00 xxx, 有0)( xf，则)(xf在0 x处取得极大值. (2)如果),(00 xxx 有; 0)( xf而),(00 xxx 有0)( xf，则)(xf在0 x处取得极小值. (3)如果当),(00 xxx 及),(00 xxx时, )(xf 符号相同,则)(xf在0 x处无极值. 定理2(第一充分条件)xyoxyo0 x0 x ( (是极值点情形是极值点情形) )xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点

21、左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值( (不是极值点情形不是极值点情形) )例1解解.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得得驻驻点点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下例值。值。上的最大值和最小上的最大值和最小在在求求的极值；的极值；求函数求函数2/1 , 1)1(. 2)1(. 13232 xxyxxy定

22、理3（第二充分条件）不不为为极极值值。为为奇奇数数时时，为为极极大大值值；，为为极极小小值值；，为为偶偶数数时时，则则，阶阶导导数数，且且处处有有在在设设)(.2)(0)()(0)(.10)(0)()()()(0000)(00)(00)(0)1(000 xfnxfxfxfxfnxfxfxfxfnxxfnnnn 证明：的符号。的符号。考察考察)()(0 xfxf 公公式式：存存在在，有有局局部部由由Taylorxfn)(0)()()(!)()()()(000)(000nnnxxoxxnxfxxxfxfxf 相同符号。相同符号。与与充分接近时，充分接近时，与与当当nnxxnxfxfxfxx)(!)

23、()()(00)(00 )()(!)()()(000)(0nnnxxoxxnxfxfxf .)()()(0)(0同同号号与与xfxfxfn ).()()()(00 xfxfxfxf 或或不不会会总总有有为为偶偶数数，当当n. 1)()(0)(00)(xfxfxfn , 0)(0 nxx, 0)(0)( xfn)()(0)(00)(xfxfxfn 极大值极小值为奇数，为奇数，当当n. 2的左、右旁要变号，的左、右旁要变号，在在00)(xxxn 不不是是极极值值。)(0 xf 设)(xf在 0 x处具有二阶导数, 且0)(0 xf, 0)(0 xf, 那末 (1)当0)(0 xf时, 函数)(xf

24、在 0 x处取得极大值; (2)当0)(0 xf时, 函数)(xf在 0 x处取得极小值. 定理3(第二充分条件)，我我们们有有：特特别别地地，2 n例 1. 若直角三角形的一只角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形；上的极值，最值。上的极值，最值。在在求函数求函数则此极值必为极小值；则此极值必为极小值；取得极值，取得极值，在某一点在某一点试证：若函数试证：若函数满足满足对一切对一切已知函数已知函数的极值；的极值；求求2 , 012)(. 50)(1)(3)()(. 3cos2)(. 22302 xxxxfxxfyexfxxfxxxfyxeexfxxx小 结极值是函数的局部性概念:极大

25、值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为极值可疑点.函数的极值必在极值可疑点取得.判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)Hw：p160 1(双),2,3,4(2,3),6,7,9,10,12,13,15.二. 渐近线定义定义: :.)(,)(一条渐近线一条渐近线的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷点时移向无穷点时沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyLLPPxfy 1.垂直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x.)()(lim)(l

26、im000的一条垂直渐近线的一条垂直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 例如例如,)3)(2(1 xxy有垂直渐近线两条有垂直渐近线两条: :. 3, 2 xx2.水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy3.斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是那那么么为为常常数数或或如如果果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜渐近线求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不不存存在在但但存存在在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 例的的渐渐近近线线。求求的的渐渐近近线线；求