同济大学高等数学第七版110闭区间上连续函数的性质

1、第十节一、最值定理一、最值定理 二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理闭区间上连续函数的性质 一、最大值与最小值一、最大值与最小值举例举例 ：最大值与最小值：最大值与最小值： 对于在区间对于在区间I I上有定义的函数上有定义的函数f f( (x x) )，如果有如果有x 0 I，使得对于任一，使得对于任一x x I I都有都有f(x) f(x 0) (f(x) f(x 0)，则称则称f(x 0)是函数是函数f(x)在区间在区间I上的最大值（最小值）上的最大值（最小值）函数函数f(x)=1+sin x在区间在区间0，2p上有最大值上有最大值2和最小值和最小值086420246801222.

2、85361e-0061sin( )x6.27681-6.28319x012函数函数f(x)=sgn x 在区间在区间(- ，+ )内有最大值内有最大值 1和最小值和最小值-1一、最大值与最小值一、最大值与最小值最大值与最小值：最大值与最小值： 对于在区间对于在区间I I上有定义的函数上有定义的函数f f( (x x) )，如果有如果有x 0 I，使得对于任一，使得对于任一x x I I都有都有f(x) f(x 0) (f(x) f(x 0)，则称则称f(x 0)是函数是函数f(x)在区间在区间I上的最大值（最小值）上的最大值（最小值）举例举例 ：一、最大值与最小值一、最大值与最小值最大值与最小

3、值：最大值与最小值： 对于在区间对于在区间I I上有定义的函数上有定义的函数f f( (x x) )，如果有如果有x 0 I，使得对于任一，使得对于任一x x I I都有都有f(x) f(x 0) (f(x) f(x 0)，则称则称f(x 0)是函数是函数f(x)在区间在区间I上的最大值（最小值）上的最大值（最小值） 在开区间在开区间(0，+ )内，内，sgn x的最大值和最小值都是的最大值和最小值都是1举例举例 ： 但函数但函数f(x)=x在开区间在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值内既无最大值又无最小值xyOy=xab一、最大值与最小值一、最大值与最小值最大值与最小值：最大值与最小值：

4、 对于在区间对于在区间I I上有定义的函数上有定义的函数f f( (x x) )，如果有如果有x 0 I，使得对于任一，使得对于任一x x I I都有都有f(x) f(x 0) (f(x) f(x 0)，则称则称f(x 0)是函数是函数f(x)在区间在区间I上的最大值（最小值）上的最大值（最小值）举例举例 ：注注1 ： 定理定理1说明，如果函数说明，如果函数f(x)在闭区间在闭区间a，b上连续，上连续，那么至少有一点那么至少有一点x1 a，b，使，使f(x1)是是f(x)在在a，b上的最上的最大值，又至少有一点大值，又至少有一点x2 a，b，使，使f(x2)是是f(x)在在a，b上上的最小值的

5、最小值abxyf(x1)xx1Of(x2)x2y=f(x) 定理定理1 （最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值函数在该区间上一定有最大值 和最小值和最小值注注2 2：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值最小值 在开区间在开区间(a，b) 考察函数考察函数y=x 函数函数f(x)=x在开区间在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值内既无最大值又无最小值xyOy=xab 定理定理1 （最大值和最

6、小值定理）（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值函数在该区间上一定有最大值 和最小值和最小值注注2 2：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值最小值 定理定理1 （最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值函数在该区间上一定有最大值 和最小值和最小值 在闭区间在闭区间0，2 考察函数考察函数yx2112O 函数函数 y=f(x)在开区间在开区间0，2内既无最

7、大值又无最小值内既无最大值又无最小值 yf(x) .21 , 3, 1 , 1, 10 , 1xxxxx 证明证明 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a，b上连续由定理上连续由定理1，函数函数f(x)在区间在区间a，b上有最大值上有最大值M 和最小值和最小值m ，使任一，使任一x a，b满足满足 m f(x) M上式表明，上式表明，f(x)在在a，b上有上界上有上界M和下界和下界m ，因此函数，因此函数f(x)在在a，b上有界上有界 定理定理1（有界性定理）（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界该区间上有界 定理定理1 （最大值和最小值定理）（最大值和

8、最小值定理）在闭区间上连续的函在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值数在该区间上一定有最大值 和最小值和最小值二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理注注: 1. 如果如果x0使使f(x0)=0 则则x0称为函数称为函数f(x)的的零点零点 .),(0)(. 2内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在方方程程baxf 几何解释几何解释定理定理2( 2(零点定理零点定理) ),)(上上连连续续在在闭闭区区间间设设baxf),(af且且,)(异号异号bf则至少存在一点则至少存在一点),(ba 使得使得, 0)( f).,(ba 二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理定理定理2( 2(

9、零点定理零点定理) ),)(上上连连续续在在闭闭区区间间设设baxf),(af且且,)(异号异号bf则至少存在一点则至少存在一点),(ba 使得使得, 0)( f).,(ba 例例1 证明方程证明方程x3-4x2+1=0在区间在区间(0 1)内至少有一个根内至少有一个根 证明证明 设设 f(x)=x3-4x2+1 则则 f(x) C0 1 并且并且 f(0)=10 f(1)=-20 根据根据零点定理零点定理 在在(0 1)内至少内至少 x 使得使得 f(x)=0 即即 x 3-4x 2+1=0 这说明方程这说明方程x3-4x2+1=0在区间在区间(0 1)内至少有一个根是内至少有一个根是x 1

10、2定理定理3( 3(介值定理介值定理) ),)(Cf ).,(ba 设函数设函数 f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a) f(b) 那么那么 对于对于f(a)与与f(b)之间的之间的任意一个数任意一个数C 在开区间在开区间(a b)内至少有一点内至少有一点x 使得使得几何意义几何意义:xyO)(xfy 1 ABCba2 3 1P2P3P连续曲线弧连续曲线弧y=f(x)与水平直与水平直线线y=C至少有一个交点至少有一个交点13定理定理3( 3(介值定理介值定理) ),)(Cf ).,(ba 证证Cafa )()( 且且Cbfb )()( , 0)()( ba 使使),(ba ,

11、 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf 零点定理零点定理设函数设函数 f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a) f(b) 那么那么 对于对于f(a)与与f(b)之间的之间的任意一个数任意一个数C 在开区间在开区间(a b)内至少有一点内至少有一点x 使得使得设设 (x)=f(x)-C 则则 (x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 14几何意义几何意义:之间的任何值之间的任何值( (不会有任何遗漏不会有任何遗漏).).Mm推论推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值与最小值xyO)(xfy ba1 C2 3 1P2P3P2x1xMm15例例.)1 , 0(0183至至少少有有一一根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx证证, 18)(3 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 06)1( f由由零点定理零点定