数系的扩充与复数的引入

1、§1数系的扩充与复数的引入11数的概念的扩展12复数的有关概念1了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程2理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念(重点)3掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件(易混点)4理解复数的几何表示(难点)基础·初探教材整理1复数的有关概念及分类阅读教材P73部分，完成下列问题1复数的有关概念(1)复数定义：形如abi的数叫作复数，其中a，bR，i叫作虚数单位a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi.(2)复数集定义：复数的全体组成的集合叫作复数集表示：通常用大写字母C表示2复数

2、的分类及包含关系(1)复数abi，a，bR.(2)集合表示：图4­1­1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则zabi为虚数()(2)若a为实数，则za一定不是虚数()(3)bi是纯虚数()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()【答案】(1)×(2)(3)×(4)教材整理2复数的有关概念阅读教材P74“1.2复数的有关概念”以下至P75“练习”以上部分，完成下列问题1两个复数相等abicdi当且仅当ac，且bd.2复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)复平面内的点Z(a，b)；(2)复

3、数zabi(a，bR)复平面向量(a，b)3复数的模设复数zabi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|.如果(xy)ix1，则实数x，y的值分别为()Ax1，y1Bx0，y1Cx1，y0Dx0，y0【解析】(xy)ix1，x1，y1.【答案】A质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型复数的概念与分类(1)若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x的值是()A1B1C±1D1或2(2)已知复数za(a21)i是实数，则

4、实数a的值为_(3)当实数m为何值时，复数z(m22m)i为：实数？虚数？纯虚数？【精彩点拨】依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解【自主解答】(1)(x21)(x23x2)i是纯虚数，由x210，得x±1，又由x23x20，得x2且x1，x1.(2)z是实数，a210，a±1.【答案】(1)B(2)±1(3)当即m2时，复数z是实数当m22m0，且m0，即m0且m2时，复数z是虚数当即m3时，复数z是纯虚数利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解要特别注意复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且

5、b0.再练一题1复数za2b2(a|a|)i(a，bR)为纯虚数的充要条件是()A|a|b|Ba<0且abCa>0且abDa>0且a±b【解析】要使复数z为纯虚数，则a>0，a±b.故选D.【答案】D复数相等(1)下列命题：若abi0，则ab0；xyi22ixy2；若yR，且(y21)(y1)i0，则y1.其中正确命题的个数为()A0B1 C2D3(2)已知x，yR，(x2y1)(x3y4)i105i，求x，y.【精彩点拨】根据复数相等的充要条件求解【自主解答】(1)命题中未明确a，b，x，y是否为实数，从而a，x不一定为复数的实部，b，y不一定是复

6、数的虚部，故命题错误；命题中，yR，从而y21，(y1)是实数，根据复数相等的条件得y1，故正确【答案】B(2)因为x，yR，所以(x2y1)，(x3y4)是实数，所以由复数相等的条件得解得所以x3，y4.1复数z1abi，z2cdi，其中a，b，c，dR，则z1z2ac且bd.2复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法转化过程主要依据复数相等的充要条件基本思路是：(1)等式两边整理为abi(a，bR)的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；(3)解方程组，求出相应的参数再练一题2(1)若(xy)(2x3)i(3xy)(x2y)i(其中x，y

7、为实数)，则x_，y_.(2)已知(2x8y)(x6y)i1413i，则xy_.【解析】(1)由复数相等的意义得所以(2)由复数相等的意义，得解得所以xy2.【答案】(1)11(2)2探究共研型复数的几何意义探究1若向量对应的复数是54i，向量2对应的复数是54i，如何求12对应的复数？【提示】因为向量对应的复数是54i，向量2对应的复数是54i，所以1(5，4)，2(5,4)，所以12(5，4)(5,4)(0,0)，所以12对应的复数是0.探究2若复数(a1)(a1)i(aR)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？【提示】a满足即1a1.(1)已知复数z的实部为1，且|z|2，则

8、复数z的虚部是()A B.iC±iD±(2)求复数z168i及z2i的模，并比较它们模的大小【精彩点拨】(1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解(2)用求模的公式直接计算【自主解答】(1)设复数z的虚部为b，|z|2，实部为1，1b24，b±，选D.【答案】D(2)因为z168i，z2i，所以|z1|10，|z2|.因为10>，所以|z1|>|z2|.1复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可以根据点的位置判断复数实部、虚部的取值2计算复数的模时，应先

9、找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算3两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小再练一题3(1)复数43i与25i分别表示向量与，则向量表示的复数是_(2)已知复数z3ai，且|z|<4，求实数a的取值范围【解析】(1)因为复数43i与25i分别表示向量与，所以(4,3)，(2，5)，又(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量表示的复数是68i.【答案】68i(2)z3ai(aR)，|z| ，由已知得<4，a2<7，a(， )构建·体系1给出下列三个命题：若zC，则z20；2i1的虚部是2i；2i的实部是0.其中真命题的个数为()A0 B1C2D3【解

10、析】复数的平方不一定大于0，故错误；2i1的虚部为2，故错误；2i的实部是0，正确，故选B.【答案】B2已知复数z3i，则复数的模|z|等于()A5B8C6D【解析】|z|.【答案】D3下列命题正确的是_(填序号)若x，yC，则xyi12i的充要条件是x1，y2；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集的补集是虚数集【解析】由于x，y都是复数，故xyi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故是假命题当a0时，ai0为实数，故为假命题由复数集的分类知，正确，是真命题【答案】4复数zx2(3x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是_【解析】复数z在复平面内对应的点在第四象限，解得x3.【答案】(3，)5已知复数z(m23m2)(m2m6)i，则当实数m为何值时，复数z 【导学号