异面直线所成的角求法

1、B异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处 理，利用补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1在空间四边形ABCD中，AD = BC = 2, E, F分别为AB、CD的中点，EF= .3，求AD、 BC所成角的大小.解：设BD的中点G,连接FG,丘在厶EFG中 EF= .3 FG = EG= 1/ EGF= 120°二 AD 与 BC 成 60°的角。2. 正 ABC的边长为a, S为厶ABC所在平面外的一点，S

2、A= SB= SC= a, E，F分别是SC 和AB的中点.求异面直线SA和EF所成角.答案：45°3. S是正三角形 ABC所在平面外的一点，如图 SA= SB= SC,且.ASB = BSC= CSA=-,M、N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN / SM/ QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ,设SC= &,在厶BQN中BN = -a NQ = SM = a BQ = a2 2 2 COS/QNB =BN 2 NQ2BQ2 _ .一 102BN NQ 54. 如图，在直三棱柱 ABC A1

3、B1C1中，/ BCA = 90°, M、N分别是A1B1和A1C1的中点, 若BC = CA = CC1, 求 BM与AN所成的角.解：连接MN，作NG / BM交BC于G,连接AG , 易证/ GNA就是BM与AN所成的角.cos/ GNA =6 5 -5302、6 i510设：BC = CA = CC1 = 2,贝U AG = AN = ”5 , GN = BM = .6 ,5. 如图，在正方体 ABCD AiBiGDi中，E、F分别是BBi、CD的中点.求AE与DiF所成的角证明：取AB中点G,连结AiG, FG, 因为F是CD的中点，所以GF£AD ,又 AiDi

4、£AD，所以 GF£AiDi,故四边形GFDiAi是平行四边形，AiG/ DiF0设AiG与AE相交于H，则/ AiHA是AE与DiF所成的角因为 E 是 BBi 的中点，所以 RtAAiAGABE, / GAiA= / GAH,从而/ AiHA=90 ,即直线AE与DiF所成的角为直角6. 如图i 28的正方体中，E是A 啲中点(1) 图中哪些棱所在的直线与直线 BA'成异面直线？(2) 求直线BA'和CC所成的角的大小；(3) 求直线AE和CC所成的角的正切值；求直线AE和BA所成的角的余弦值解：(i) A一平面BC，又点B和直线CC都在平面BC内，且B

5、 - CC直线BA与CC是异面直线 同理，正方体i2条棱中的C D' DD、DC、AD、B ' C 所在的直线都和直线BA成异面直线(2) t CC / BB'，二BA和BB'所成的锐角就是BA和CC所成的角/ A BB =451 BA和CC所成的角是45°t AA / BB' / CC，故AE和AA所成的锐角/ A AE是 AE和CC 所成的角在RgAA £中，曲A ' AE=篇=2，所以AE和CC所成角的正切值是扌/ /取B ' C勺中点F,连EF、BF,则有EF = A B = AB,/ ABFE是平行四边形，从

6、而 BF = AE,即BF / AE且BF=AE. BF与BA所成的锐角/ A ' B!就是AE和BA所成的角（图 1-29）设正方体各棱长为2,连A F利用勾股定理求出 A BF的各边长分别为 A' B 2血,A 匕BF =，由余弦定理得：cos/ A A BR (2 2)2(-5)2十5)2 二22*2 江丁557. 长方体ABCD AiBiCiDi中，若AB=BC=3 , AAi=4,求异面直线BiD与BCi所成角的大 小。解法一：如图，过Bi点作BiE/ BCi交CB的延长线于E点。则/DBiE或其补角就是异面直线 DBi与BCi所成角，连结DE交AB于M , DE=2

7、DM=3 .5 ,cos / DBiE=741707.34/Z DBiE= arc cos 170解法二：如图，在平面DiDBBi中过B点作BE / DBi交DiBi的延长线于E,则/CiBE就 是异面直线DBi与BCi所成的角，连结CiE，在 BiCiE中，Z CiBiE=i35°, CiE=3亦，cos / CiBE=7i74，/Z CiBE= arc cos.34i70练习：8.如图,PA_矩形 ABCD，已知 PA=AB=8，BC=i0,9. 在长方体ABCD- A 1B1C1D1中，若棱B Bi=BC=1 , AB= - 3，求D B和AC所成角的余弦AB中位线平移法：构造

8、三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为 平面问题，解三角形求之。解法一：如图连结BiC交BCi于0,过0点作OE/ DBi,贝U/BOE为所求的异面直线DBi图解法二：女口图，连DB、AC交于 O点，过O点作OE / DBi,过E点作EF / CiB，贝OEF/73或其补角就是两异面直线所成的角，过 O点作OM / DC，连结MF、OF。则OF="，2cos / OEFr- 7"4，二异面直线 BiD 与 BCi 所成的角为 arc cos 4。170i70解法三：如图，连结DiB交DBi于O,连结DiA，贝U四边形ABCiDi为平行四边形。在平 行

9、四边形ABCiDi中过点O作EF / BCi交AB、DiCi于E、F,则/ DOF或其补角就是异 面直线 DBi与 BCi所成的角。在 ADF中DF= 3迈,cos / DOF= 4 ,2i707 34 / DOF= arc cos i70课堂练习i0.在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线 AE和BD所成角的余弦值。补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结 D2B，则DBi/ D2B ,/ C1BD2或其补角就是异面直线 DBi与BCi所成的角，连C1D2, 则厶

10、C1D2C2为RtA，cos / CiBD2= 7空，二异面直线 DBi与BCi所成的角是170a/34arc cos 170课堂练习：11. 求异面直线AiCi与BDi所成的角的余弦值。在长方体ABCD-A 1B1C1D1的面BCi上补上一个同样大小的长 方体，将AiCi平移到BE，则/ DiBE或其补角就是异面直 线AiCi与 BDi所成的角，在 BDiE 中， BD1=3 DE= 25二、利用模型求异面直线所成的角模型1引理：已知平面a的一条斜线a与平面a所成的角为9i,平面a内的一条直线b与 斜线a所成的角为0,与它的射影a'所成的角为 伍。求证：cosB = cos B co

11、s。在平面：的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB,垂足为0、B+ 连接OB,贝U OB丄b.Ao 在直角 AOP中，cos =.APAB 在直角 ABC中，cose =A0AB 在直角 ABP 中，cos“=AB.APa6ABB=AB=COS.AC APAC所以 COSCOSl =AP所以 COS 3 COS2 = COS V证明：设PA是a的斜线，OA是PA在a上的射影，OB/b，如图所示。则/ PAO=0i,Z PAB=0,/ OAB羽 2, 过点O在平面a内作OB丄AB，垂足为B,连结PB。可知 PB丄 AB。所以 cos d= OA， cos 0=B，cos (2

12、= -ABPAPAOA所以 COS 0 = COS COS。利用这个模型来求两条异面直线 a和b所成的角，即引理中的角 00 需：过a的一个平面a,以及该平面的一条斜线b以及b在a内的射影。12. 如图，MA丄平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且 MA=AB=a，试求异面直线 MB与 AC所成的角。解：由图可知，直线 MB在平面ABCD内的射影为AB ,直线MB与平面ABCD所成的角为45°直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°所以直线AC与直MB所成的角为0,满足1COS 0 =COS45 °- COS45所以直线AC与MB所成的角为60A在底面ABC

13、上的射影为BC的中213. 已知三棱柱ABC - ABG的侧棱与底面边长都相等,点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(D(A)辽(B)込44解：设BC的中点为D，连结AD, AD，易知- AAB即为异面直线AB与C®所成的角,由三角余弦定理，易知co,二远AAD COS DA经詈专故选D14. 如图，在立体图形 P-ABCD中，底面 ABCD是一个直角梯形，/ BAD=90 , AD/BC , AB=BC=a , AD=2a, 且 PA丄底面 ABCD , PD与底面成30°角，AE丄PD于D。求异面直线CAE与CD所成的角的大小。解：过E作AD的平行线EF交AD于

14、F,由PA丄底面ABCD可知， 直线AE在平面ABCD内的射影为 AF ,直线AE与平面ABCD所 成的角为/ DAE，其大小为60°学习-好资料射影AF与直线CD所成的角为/ CDA，其大小为45°所以直线与直线所成的角B满足cos 0 =cos60c呼,所以其大小为a模型2 定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为小则有a AD3 + BC3-ABa-DCacos&=所以有：2AC - ED15. 长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB=AA i=2cm, AD=1cm，求异面直线 AiCi 与 BDi 所成的 角。解：连结由定理得:BCi、Ai

15、B在四面体为，易求得2xjtx3二、向量法求异面直线所成的角i6.如图，在正方体ABCD-A iBiCiDi中，E、F分别是相邻两侧面 BCCiBi及CDDiCi的中心。 求AiE和BiF所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点 上。作法：连结BiE，取BiE中点G及AiBi中点H，iHGERiS连结GH，有GH/AiE。过F作CD的平行线RS,学习-好资料分别交CC1、DD1于点R、S,连结SH,连结GS。由 B1H/C1D1/FS, B1H=FS，可得 B1F/SH。在厶GHS中，设正方体边长为a。6GH='a （作直线 G

16、Q/BC交BB1于点Q，4连QH，可知 GQH为直角三角形），HS=a （连A1S，可知 HA1S为直角三角形），GS=a （作直线GP交BC于点P,连241PD,可知四边形GPDS为直角梯形）。二Cos/ GHS=61所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为-。6解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，B1F所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BBi为z轴，设BC长度为2。尿 则点Ai的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点Bi的坐标为（0

17、，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；所以向量EA1的坐标为（-1, 2，1），向量BF的坐标为（2，1，-1）， 所以这两个向量的夹角B满足A EA1 b1f（-1） 7+2“ +仆（-1）1cos=-。I EA1 | | B1F | .（-1）2 （2）2 （1）2 飞2 （1）2 （-1）26所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为1617. 已知空间四边形 ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ,M、N分别为BC和AD的中点,设AM和CN所成的角为a,求cos a的值。（平移法也可） 解：由已知得，空间向量 AB , AC , AD不共面， 且两两之间的夹角均为60

18、°由向量的加法可以得到11AM= （ AB + AC ）, NC = AD+AC22所以向量AM与向量NC的夹角O （即角a或者a的补角）AM 'NC满足cos O，其中| AM | | NC |.1 一 一 1 一 AM =2 ( AB + AC) (一严AC )1 11 -=( AB AD + AB AC + ( AD )AC + AC AC )2 22学习-好资料12/111八12=_ a (+1) = _ a ;2424-2 1|AM | =( AB+AC )1| NC |2= ( AD + AC )218.已知空间四边形 ABCDFD=1: 2，EF= . 7，求A

19、B和CD所成的角的大小。解：取AC上点G,使AG : GC=1: 2。连结EG、FG，可知 EG/AB，FG/CD，3EG=2AB，3FG=CD。21由向量的知识可知EF =EG+GF = BA + -CD，33(AB + AC ) =1 (1+1+1)41 iiAD + AC ) = +1 -2 422 3a =42_ 3a =4a。所以 cos a =| cos i I。中，AB=CD=3 , E、F分别是BC、AD上的点，且BE: EC=AF:设向量BA和CD的夹角为i则由 | EF |2= ( 2BA +CD )33得cos9=，所以AB和CD所成的角为60°。22 一 i

20、(三 BA+丄 CD ) =4+i+4cosB =73 319.(思考题)如图，已知平行六面体 ABCDAiBiCiDi中，底面ABCD是边长为a的正方 形，侧棱AAi长为b,且AAi与AB、AD的夹角都是120°.求：(i)ACi的长；(2)直线BDi与AC所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用解：(1) I AG I2 =AG AG =(AAr AC)(AA1 AC) =(AAi AB AD)(AAi AB AD)斗 AA |2 | AB |2 | AD |2 2AA AB 2AA AD 2AB AD 由已知得:|AA1 |2=b2,|AB|2=|A

21、D|2=a2:：AA , AB =： AA , AD =120,： AB, AD =90 1 1.AA AB =b acos120ab, AA, AD =b acos120 ab, AB AD = 0,2 22 2 2 2 2.| ACi | -2ab -2ab,. | ACi |= 2a b -2ab.(2)依题意得,| AC |=-运a, AC =AB - ADBDi = AD BA AA, AD - AB.AC BD, =(AB AD)(AA, AD -AB)2 2=AB AAi AD AAi AB AD AD-AB-AB AD 二-ab|BDi |2 =BDi BD(AA, AD -A

22、B)(AA, AD _AB)-bI BDi IIACI 4a2 2b2弓 AA |2 | AD |2 | AB |2 2AAi AD -2AB AD -2AA AB 二 2a2 b2 | BDi |F2a2 b2 cos ： BD, AC 二 BD1 AC学习-好资料 BDi与AC所成角的余弦值为 b.；4a2b2判断是非：(1)(3)(8)(10)正确，其余错；选择：1(C) ； 2(D) ； 3(D) ； 4(D) 杆5. (2)相交，(5)平行，其余异面；(6): (D)，取 AB 中 点M， CCi中点N，连BiE和BiF; (7)答案：(A)，延长BiA至M使AMh AQ,连MA 取

23、 AB中点 N. 8(D) ； 9(E) ； 10(D) ； 11(C)；三. 4，取AD中点E,则/ MEN = 90°3四. _Z，取 AC 中点 F,连 EF、BF，求得 BE= -1 AD = 5，BF = 1 AC = 3.2 ；5 2 2五. 口，分别取AC、B1C1的中点P、Q,则PMQN是矩形，设CCMQ = a，则MP = - a；六. 丄，取 AC 中点 F,连 EF、BF，则 EF= 4，BE = BF = 3.6异面直线所成的角-作业班级：姓名：学号：一、判断是非(下列命题中，正确的打“乂”错误的打“X”)(I) 梯形的四个顶点在同一平面内；对边相等的四边形是

24、平行四边形；(3)平行于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一直线的两直线平行；(5)两条直线确定一个平面；(6)经过三点可以确定一个平面；(7)无公共点的两直线异面；(8)两异面直线无公共点；(9)两异面直线可以同时平行于一直线；(10)两异面直线可以同时垂直于一直线；(II) 不同在一个已知平面内的两直线异面；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面二、选择题1. 没有公共点的两条直线的位置关系是()(A)平行(B)异面(C)平行或异面(D)不能确定2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是 ()(A)异面(B)平行(C)平行或异面(D)平行或异面或相交3. 两条异面直线指的是()(A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C)分别位于两个不同平面的两条直线(D)不同在任一平面内的两条直线4. a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是()学习-好资料(A)异面(B)异面或平行(C)异面或相交5.说出正方体中各对线段的位置关系：(1) AB 和 CCi；(2)AiC 和 BDi；(3)AiA 和 CBi； AiCi 和 CBi； AiBi 和 DC ；(6)BDi 和 DC.(D)相交、平行或异面A+J B*-'6.在棱长为i的正方体ABCD AiBiCiDi中，M和N分别为AiBi和BBi的