安徽省安庆市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题

1、 1 2019 年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理科）命题：安庆市高考命题研究课题组本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.第I卷（选择题共 50 分）、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A. -1 -iB.1 -iC.1 +iD.1+i2.已知集合A二-1,123,B=xRx-x 11, 则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为 JA. -1,1B.3C.2,3D.1,2,3第 2 题图3.已知等差数列中，a3乜-a5+a6二：8，则S7zA.8B.21C.

2、28D.354.在演讲比赛决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎*T叶图如图所示，但其中在 处数据丢失.按照规则，甲、乙5 7 N各去掉一个最高分和一个最低分，用x和y分别表示甲、2 5 A 5工乙两位选手获得的平均分，则1 上A.x yB.x：y第 4 题图C.X = yD.x和y之间的大小关系无法确定1.已知i为虚数单位，复数i,z为其共轭复数，则z2-2z等于 2 第 5 题图ABCDE的体积为248A. 2B.-C. D.-3334E5.右图是棱长为 2 的正方体的表面展开图，则多面体6.在极坐标系中，圆C：=2、,2si n(v)上到直线丨：COST- 2 距离为 1 的点的个数为

3、-3 若.F1PF2，则e等于3的个数为小值为(非选择题满分 100 分)11. 如果(1 x x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为系数为_ .12. 在ABC中，a,b,c分别为角 代B,C的对边，若a2-c2=3b，且Sn于13.在如图所示的程序框图中，若输出的n =6,则输入的T的 最大值为二、填空题(本大题 5 个小题，每小题5 分，共 25 分)7.A. 1B. 2C. 3D. 4已知离心率为e的双曲线和离心率为-的椭圆有相同的焦点2Fi、F2,P是两曲线的一个公共点，8.A.V25B.-2D.3数列抵共有 5 叽其中6=0,as =2，且ai：1 -ai=1

4、,i =1,2,3,4，则满足条件的不同数列9.A. 3B. 4C. 5D. 6已知点A(2,1)、B(1,3)，直线axby +1=0(a,b R4)与线段AB相交，则(aif +b2的最、10A.-5B.2.5C.5D.10.设1： ：x： ： ：ln xlnX?的大小关系是A.ln xC.In x In x-x xB.ln x In xIn x2x22lnx2/ xln x-xD.ln x2:xIn xV0，则展开式中含x4项的B =8cs ASn C,则边b等6.在极坐标系中，圆C：=2、,2si n(v)上到直线丨：COST- 2 距离为 1 的点的个数为-4 _ .1-5 1y =

5、 f (x)图像向下平移 个单位，再向2左平移一个单位得函数y =g(x)的图像，试写出3y=g(x)的解析式并作出它在-一，上的图像.6 617.(本题满分 12 分)某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，投中一球得 2 分，在B点投中一球得 3 分.其规则是：按先篮.教师甲在A和B点投中的概率分别是 丄和丄，且在A、2314.已知函数f(x)m x有三个零点，则实数m的取值范围为_15.如图，设二三(0,二), 且 5 .当.xoy =：-时，定义平 面坐标系xoy为二-仿射坐标系，在 二;-仿射坐标系中,任意 一点P的斜坐标这样定义： ， 佥分别为与x轴、y轴正 向相同的单位

6、向量， 若OP = xe ye2，则记为OP = (x,y)， 那么在以下的结论中，正确的有.第 12 题图(填上所有正确结论的序号)1设a =(m,n)、b =(s,t)，若a = b，则m=s,n=t；2设a= (m,n)，则a = Jm2+ n2；3设a = (m,n)、b =(s,t)，若a/b，贝U mt一ns= 0；4设a = (m, n)、b=(s,t)，若a_b，则ms n t = 0；2二5设a =(1,2)、b = (2,1)，若a与b的夹角一，U-33第 15 题图三、解答题：(本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)16.(本题满分 1

7、2 分)已知向量厂71H71m =(sin( x ),- .3cos(x ),n = (sin(x ),cos(x )，函数f(x)4444JT(I)求函数y = f (x)的图像的对称中心坐标;(n)将函数第 16 题图A、B两个定点B两点投中与否相互独立1-6 (I)若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X 的分布列和数学期望；(n)若教师乙与甲在A、B 点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率18.(本题满分 12 分) 7 a已知函数f(x)二X ln x, (a，R).x(i)若f(x)有最值，求实数a的取值范围；(n)当a _2时，若存在x2(x -x2)，使得曲线y二f(x

8、)在与x =x2处的切线互相平行，求证：x1x28.19.(本题满分 13 分)如图，E是以AB为直径的半圆0上异于A、B的点，矩 形ABCD所在的平面垂直于半圆0所在的平面，且AB =2AD =2a.(I)求证：EA _ EC;(n)若异面直线AE和DC所成的角为一，求平面DCE6与平面AEB所成的锐二面角的余弦值.20.(本题满分 13 分)(I)求椭圆E形状最圆时的方程；(n)若椭圆E最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上21.(本题满分 13 分)(i)若-2，数列an单调递增，求实数a的取值范围；(n)若a = 2，试写出an-2对任意nN”成立的充要条件，并

9、证明你的结论已知椭圆E的方程为2 2盘tan，其中：(02).已知数列：an满足ai二a,an 1=2an，(a，R)an第 19 题图 8 2019 年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）题号12345678910答案ADCBDBCBBA2.解析：B =x Rx : 1，则AI B = -1，阴影部分表示的集合为1,2,3，选D.3.解析：由a3a a5a6=8得a?a8，所以印a?= 8，S77佝a?)2=28，选 C.4.解析：设图中甲、乙丢失的数

10、据分别为a，b，则x“罟，8 =a=9， x=8 U W80百曲，选 B.555.解析：多面体ABCDE为四棱锥，利用割补法可得其 体积V =44 = 8，选D.332 26.解析：直线的方程为x=2，圆的方程为（x-1），（y-1）=2，圆心到直线的距离为 1，故圆C上有 2 个点到I距离为 1 ,选 B.7.解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a,，焦距为2c,PF,= m,PF2= n，且、n不妨设m n,由m n= 2耳,m - n = 2a2得m= aa2,n =印 -a2又 -F1PF2：322222-4c m n _ mn=印3a2,2 2业企=42 2c c13,6

11、即2=4，解得e =(尹e 2,选 C.8.解析：设bia,a,i =1,2,3, 4，则b等于 1 或-1,1.解析:z22z(1 i)22(1 i)-1 -i-21 -i=_1 i，选 A. 9 由a5- (a5-a4)(a4-a3)(a3-a2)(a2 -ai)-b4b3b2bl,-10 由a -c=3b联立解得：b = 4.513.解析：当输出的n =6时，S =12 L 2茅3设输入的知 0(i =1,2,3,4)共有 3 个 1, 1 个-1.这种组合共有C：=4个，选”2ab+1 09.解析：由已知有，作出可行域,令d = . a -12 b2，则d的最小值为点(1,0)到直线.

12、J10a 3b 1=0的距离，此时dmin5第 9 题图所以a -12- b2的最小值为-，选 B.510.解析：令f (x) = x In x(1：x : 2)，贝U f (x) = 1x1 X 1所以函数y = f (x)(1：x：2)为增函数，f(x) f(1)=1 0,二x In x 0=lnx -I x72In x口ln x又xln x 2ln x-xln x (2 -x)ln x x2x2In x-x(本大题共 5 小题，每小题55 分，共 25 分.把答案填在题中横线上)2、二、填空题11.解析：(1 x x2)(x - a)5的展开式所有项的系数和为(1 1 12)(1 - a

13、)5= 0,(1 x x2)(x -a)5= (1 x x2)(x -1)5=(x3-1)(x-1)4(x-1)4-(x-1)4,其展开式中含x4项的系数为c3(-1)3-C4(-1)0- -5.12.解析：由sin B =8cosAsinC及正、余弦定理知：b =8c2 2 2b c a2整理得a2bc3b2c2,4T值为T,T =T-3(1 2 L5) =T-45,且S _T,解得T。叮08.T最大值为108.-11 14. 解析：函数f (x)有三个零点等价于方程 -=m x有且仅有三个x+211实根.T-=mx = = x(x+2),作函数y = x (x + 2)的图像，x+2m1如

14、图所示，由图像可知m应满足：01，故m .1.m一一I 2215. 解析：显然正确；a = m += tm +n +2mneo吳 ,-J，所以错误；由a/b得b =aG，:-R),所以s = m,t = n，所以mt - ns = 0，故正r r uiru LT确；Ta b =(mq + ne2) (su +te2) = ms + nt+(mt+ ns)cosaHms + nt，所以错误；根据夹角公式a b = a b cos ，又ar r ir ir a b =45e1qu irir ir兀ir ir1得4 +5e e2=(5 +4 e2)cos ，故e1e2= -，即卩cos。=3223，

15、正确所以正确的是、三、解答题(本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.(本题满分 12 分)nJI)cos(x - )1. 3二1(1 sin 2x)cos2x =sin(2x)2232.解析：(i)f (x) = m n=sin2(x) -、3 cos(x42-二1由于sin(2x)=0得：2xkjk Z，所以x k二332JI,k Z.6所以f(x)的图像的对称中心坐标为 (】k兀+工丄)飞22 6 2JI(n)g(x)=sin(2x)，列表:3JI2x+ 30兀2313兀22兀JIJI317兀5兀x6123126gf(x)010-10T,T =T-

16、3(1 2 L5) =T-45,且S _T,解得T。叮08.T最大值为108.-12 13X17.(本题满分 12 分)(I)根据题意知X 的可能取值为 0,2,3,4,5,7121 1P(X =0) =P(A B A) =(1)(1)=3611111P(X =2) =P(A BAA B A) -(1) (1):23231111P(X =3) = P(A B A) = (1-一)一(1厂2 3212 1 1 1 1P(X M) =P(A B A) (1)232611111P(X =5) =P(A BAA B A)(1)223 61111P(X =7) =P(A B A)=23212EX=012

17、13 12PJ 1.丄(11)1(丄)361263663 126631261212描点、连线得函数12分解答：设教师甲在A点投中”的事件为A,教师甲在B点投中”的事件为B.所以 X 的分布列是:X023457111111P63126612(H)教师甲胜乙包括：甲得2 分、3 分、4 分、5 分、7 分五种情形.这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率P为:12 14 5719一144一4818.(本题满分 12 分)由厶=1 4a知，11当a时，f(x)_0,f (X)在(0,=)上递增，无最值；4122当a -0时，x，x-a=0的两根均非正，因此，f (x)在(0,：)上递增，无最值;

18、42 21-.打-4a(, ：)上递增；此时，f(x)有最小值；2所以，实数a的范围为a 0.7分(n)证明：依题意：1 -a21=1 -a21=：a,X1X1X2X2X1X2由于x10, x20，且为=x2，则有% X2 cC /丄、/ 为+X2 2a -2(x1x2) (X1立)2二 x1x28.219.(本题满分 13 分)解答：(I)：平面ABCD垂直于圆O所在的平面，两平面的交线为AB,BC5平面ABCD,BCABBC垂直于圆O所在的平面.又EA在圆O所在的平面内，二BC EA.TAEB是直角，BE _ EA , EA_平面EBC , EA _ EC.(n)如图，以点O为坐标原点，A

19、B所在的直线为y轴，过点O与BC平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由异面直线解析：(I)2x xa2，XX (0,二)12分当a 0时，x2，x-a=0有一正根x二-_4a，f (x)在(0,1-_ )上递减，在x1x2212分15X.5分2（n）设交点P（心y），过交点P的直线丨与椭圆x21相切.2（1）当斜率不存在或等于零时，易得P点的坐标为P（_1,_；2）.6分AE和DC所成的角为-,AB/DC知.BAE6 6JI . BOE ,3第 19 题图由题 设可知D趴(二a,?a,a),2 2CEaa,2u-a）.设平面DCE的一个法向量为p =（x0,y0, Z）uuu由DEuurCEu、3“o得zo=yxo,y。，取x=2，得z= （2,0,、3）.又平面AEB的一个法向量为；=（0,0,1）,cos：p,；二于.平面yDCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值上空713分（其他解法可参考给分）20.（本题满分 13 分） 16 当斜率存在且非零时，则 冷泣士1设斜率为k,则直线I:y = k（x - x） y, 与椭圆方程联立消y，得：（2 k2）x22k（y0-kx）x （y-kx0）0. 由相切，厶二2k（y。-kx0）2-4（2 k2）（ k/ - y。）2- 2 = 0,化简整理得（1 - x2）k22x0y0ky2 =0.