专题10平面向量中的范围和最值问题

1、专题十、平面向量中的最值和范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合.考点1、向量的模的范围例1、(1)已知直角梯形ABCD中，AD/BC,£ADC=90°,ad=2,BC=1,P是腰DC上的动点，贝UPA+3PB的最小值为.2011辽宁卷理)若a,b,c均为单位向量，且ab=0,(ac)(

2、bc)0，贝Ua+bc的最大值为()A瑚1B.1C.艘D.21-1-HI-hF»F1-(2010浙江卷理)已知平面向量(a#Qa,E)满足P=1,且ot与E-ot的夹角为120。，贝Ua的取值范围是变式：已知平面向量也,6满足Z切户日1且a与P的夹角为120“，则|(1tg+t2(t|亡R)的取值范围是；小结1、模的范围或最值常见方法：通过|言|2=W2转化为实数问题；数形结合；坐标法.考点2、向量夹角的范围例2、已知OB=(2,0),OC=(2,2),CA=(也cosa,V2sin«)，贝UOA与OB夹角的取值范围是()A.R3B.俱3C.里,52D睛2小结2、夹角范围问

3、题的常见方法：公式法；数形结合法；坐标法.考点3、向量数量积的范围例3、(1)已知圆。的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，贝UPA.PB的最小值为()(A)-4.2(B)-32(C)一42.2(D)-32.2,，一>1,111,一、入、一、一一1,*如右图，在梯形ABCD中，DA=AB=BC=2CD=1.点P在阴影区域(含边界)中运动，则APBD的取值范围是.;小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：定义；模与投影之积；坐标法；a+b、2,a-b、2a-b=(-)-(-)-考点4、向量的系数问题：例4、给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120&

4、#176;.如图所示，点c在以o为圆、.，.C,、.，->->->，一，.，一.，.一心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB其中x,yR,则x+y的最大值是.小结4、向量系数问题的一般处理方法：点乘法；几何法；整体法.TT一变式：已知点G是AABC的重心，点P是AGBC内一点，若AP=AB+HAC,则兀+卜的取值范围是()A.(1,1)B.(2,1)C.(1,3)D.(1,2)232时,有下列四个命题专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题1、（2011全国新课标理）已知a,b均为单位向量，其夹角为Pi：|ab|-0,2;.p2：|ab|1-号"Pi3：|ab|

5、1=口0,-)p4:|a-b|1=口(一，二3其中真命题是（）A.Pi,P4BPl,P3CP2,P3DP2,P42、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量a和p，定义,若平面向量a、b满足a>b>0,a与b的夹角6击|。,兰且aob和ba都在集合Mn在zl中，则a。b=（）/4）12J'A1B.1C.3D.-222最小值是B.223、（2012宁波市期末）在AABC中，D为BC中点，若NA=120L尽，AC=1，则|AD|的D.W24、（2011福建卷）已知O是坐标原点，点A(-1,1)若点M（x,y）为平面区域产2上的一个动点，则OMOA的取值范围是（C.0,2A.1

6、,05、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,BCD1,2的中点，P,Q是正方体内部及面上的两个动点，则AMPQ的最大值是（6、（2011全国大纲理）设向量a,b,c满足a=b=1,A.-2ab=-12D.-4(a-c,b-c)=60°，贝Uc的最大值等于（B.73C.克D.17、如图，在直角梯形ABCg,朋土【心=庞'=1，如=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设而=却+晦e，贝u5的取值范围是（）A.U.B.i7IC.D.归.I44-8、（2012安徽卷）若平面向量a,b满足：2ab3；则ab的最小值是；9、已知向量a=（x-1,2）,b=（4,y）,若第_L8，则9x+3y的最小值为;10、（2012北京卷）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝UDECB的值为,DEDC的最大值为；11、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为1,E为AB的中点，若F为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为;12、如图，线段AB长度为2，点A,B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD,BC=1,O为坐标原点，贝UOC，OD的范