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1、13.1.2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算http:/ 前前 热热 身身(学生用书学生用书P63) 41.与平面向量一样与平面向量一样,实数实数与空间向量与空间向量a的乘积的乘积a仍然是一个仍然是一个_,称为称为_.当当0时时,a与与a方向方向_;当当0时时,a与与a方向方向_;当当=0时时,a是一个是一个_.a的长度是的长度是a的长度的的长度的_倍倍.向量向量向量的数乘运算向量的数乘运算相同相同相反相反0|52.数乘运算律数乘运算律:分配律分配律:_;_.结合律结合律:(a)=_.3.空间向量共线的充要条件是空间向量共线的充要条件是:对空间任意两个向量对空间任意两个向量a、b(b0)

2、,ab的充要条件是的充要条件是_.4.空间任意两个向量都空间任意两个向量都_.平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量叫做叫做_.(a+b)=a+b(+)a=a+a()aa=b共面共面共面向量共面向量61.正确应用共线向量及共线向量定理正确应用共线向量及共线向量定理(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说当我们说a、b共线时共线时,表示表示a、b两条有向线段所在直线既可能是同一直两条有向线段所在直线既可能是同一直线线,也可能是平行直线也可能是平行直线;当我们说当我们说ab时时,也具有同样的意义也具有同样的意义.(2)用共线向量定理证明两直

3、线平行是常用方法用共线向量定理证明两直线平行是常用方法,但是要注意但是要注意,向量平行与直线平行是有区别的向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括共线的情直线平行不包括共线的情况况.如果应用共线向量定理判断如果应用共线向量定理判断a、b所在的直线平行所在的直线平行,还需还需说明说明a(或或b)上有一点不在上有一点不在b(或或a)上上.7 3,(1)()ABC,.:O,.ABBCABACOBtOAt OC 用共线向量定理证明三点共线也是常用方法之一在利用该定理证明 或判断 三点 、 、 共线时 只需证明存在实数使或即可同时也可证明 对空间任意点有82.共面向量定理的理解共面向量定理的理解(1

4、)空间一点空间一点P位于平面位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实内的充分必要条件是存在有序实数对数对(x,y),使使 满足这个关系式的点满足这个关系式的点P都在都在平面平面MAB内内;反之反之,平面平面MAB内的任一点内的任一点P都满足这个关系式都满足这个关系式.这个充要条件常用以证明四点共面这个充要条件常用以证明四点共面.,MPxMAyMB9 (2)共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式,说明任意说明任意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来,它既是判它既是判断三个向量是否共面的依据断三个向量是否共

5、面的依据,又是已知共面条件的另一种形又是已知共面条件的另一种形式式,可以借此已知共面条件转化为向量式可以借此已知共面条件转化为向量式,以方便向量运算以方便向量运算.另另外外,在许多情况下在许多情况下,可以用可以用“若存在有序实数组若存在有序实数组(x,y,z)使得对于使得对于空间任意一点空间任意一点O,有有 且且x+y+z=1成立成立,则则P、A、B、C四点共面作为判定空间上四个点共面的依据四点共面作为判定空间上四个点共面的依据.,OPxOAyOBzOC 10题型一题型一 空间向量的概念空间向量的概念例例1:给出以下命题给出以下命题:用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量用分别在两条

6、异面直线上的两条有向线段表示两个向量,则这两个向量一定不共面则这两个向量一定不共面;已知空间四边形已知空间四边形ABCD,则由四条线段则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量分别确定的四个向量之和为零向量;若三个向量共面若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面则这三个向量的起点和终点一定共面.xyOPAB;,OPxOAyOB 若存在实数 、 使得则 、 、 、 四点共面11其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_.解析解析:在空间在空间,用有向线段表示的向量仍然是自由向量用有向线段表示的向量仍然是自由向量,而任意而任意两个向量总是共面向量两个向量总是共面向量,

7、故命题故命题错误错误;空间四边形的四条边空间四边形的四条边确定的四条线段中每条线段都可以确定两个方向相反的向量确定的四条线段中每条线段都可以确定两个方向相反的向量,当它们不是首尾相接时当它们不是首尾相接时,这四个向量的和就不是零向量这四个向量的和就不是零向量,故命故命题题错误错误;命题命题就是空间共面向量定理就是空间共面向量定理,所以是正确的所以是正确的;命题命题也是错误的也是错误的,向量的共面与点的共面是不同的两个概念向量的共面与点的共面是不同的两个概念,若若其中两个向量是平行向量其中两个向量是平行向量,12第三个向量与其中一个向量有相同的起点第三个向量与其中一个向量有相同的起点,则这三个向

8、量一则这三个向量一定是共面向量定是共面向量,但这三个向量的起点与终点却可以不共面但这三个向量的起点与终点却可以不共面.:,.0ABBCCDDA 误区警示 本例中的判断极易认为是正确的 其实题目中并没有明确四条线确定的向量 每条线段可以表示两个相反向量13变式训练变式训练1:下列说法正确的是下列说法正确的是( )A.以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体11,1(B.C.,PABD.,A2B)CDAB AA ADABAAADOPPAPBABCD 设平行六面体的三条棱是、则这一平行六面体有一条对角线所对应的向量是若成立 则 点一定是线段的中点在空间

9、中 若向量与是共面向量 则 、 、 、四点共面答案答案:B14题型二题型二 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算1111112:,ABCDA B C D,a,b,c1,2,2.AMMC ANNDABa ADb AAcMN 例如图所示 在平行六面体中设试用表示15:,a,b,c.MN 分析 先结合向量的加减法将用其他向量表示 再考虑将所涉及的向量用表示11111.11.,.23111().2,3332.3:,AN,ABCD,MNANAMACABADAMMCAMACAMABADabANNDANADADADAA 解 如图所示 连结则在中又又112,().3ANADAA 161111121212().

10、333331211111().3333333ANAAANAAADAAAAADcbMNANAMcbababc 1711:,.,.a,b,c.MNANAMANAMMNMNMAAAAN 规律技巧 用已知向量表示未知向量 要结合有关图形借助向量线性运算的三角形法则、平行四边形法则将要表示的向量逐步向已知向量靠近在本题中 先将用和表示 再将和用已知向量来表示本题也可以先将本题也可以先将表示为182:ABCD,MBC,GBCD,(1);(2).,abc:ABa ACb ADcDMAG 变式训练已知空间四边形中向量若为的中点为重心 试用 、 、 表示向量 :.1AM,ADM,11()().22.DMDAAM

11、AMABACabDAADc 解 如图所示连结在中由线段中点的向量表示知由相反向量的概念知19 2AG,ADG,11()(2 ).22211(2 )().3,33DMDAAMabcabcAGADDGcDMcabcabc 所以连结得由三角形重心的性质 得20题型三题型三 共线问题共线问题3:,ABCDABEF,MNACBF.?CEMN 例如下图所示、都是平行四边形 且不共面、 分别是、的中点判断与是否共线21:x,.,CEMNCExMNCEMNCEMN 分析 要判断与是否共线由共线向量定理就是是否存在实数 使若存在 则与共线 否则与不共线11.2: MNACBF,ABCDA211,2211122B

12、EF,2MNMAAFFNCAAFFBMNMCCEEBBNCACEAFFBCAAFFBCA 解、 分别是、的中点 而四边形、都是平行四边形又1.22.2().2./,CEAFFBCECAAFFBMAAFFNCEMNCE MNCEMN 即与共线22规律技巧规律技巧:(1)判定两向量共线就是找判定两向量共线就是找x使使a=xb,要充分运用空要充分运用空间向量运算法则结合空间图形间向量运算法则结合空间图形,化简得出化简得出a=xb,从而得出从而得出ab.(2)要证明空间图形中的两直线平行可以先证明两直线所在的要证明空间图形中的两直线平行可以先证明两直线所在的向量平行向量平行,然后观察图形找出在一直线上

13、有一点不在另一直然后观察图形找出在一直线上有一点不在另一直线上线上,则两直线平行则两直线平行.23变式训练变式训练3:射线射线AB、AC、AD不共面不共面,连接连接BC、CD、DB,取取AB、BC、CD、DA的中点的中点E、F、G、H,如图如图,试判断四边形试判断四边形EFGH的形状的形状,并用向量证明并用向量证明.24:EFGH.:EFG,EH/FGEHFG.EFGH111,222111,222.EHEAAHBAADBD FGFCCGBCCDBDEHFG 解 四边形是平行四边形证明如下点不在上且四边形是平行四边形25题型四题型四 共面问题共面问题例例4:如右图如右图,两个全等的正两个全等的正

14、方形方形ABCD、ABEF,在其对角在其对角线线AE、BD上上(不含端点不含端点)分分别取点别取点M、N,使使AM=DN.求求证证:MN平面平面BCE.分析分析:可将直线与平面的平行转化成向量的共面可将直线与平面的平行转化成向量的共面,然后结合线然后结合线面平行的判定定理证明面平行的判定定理证明.26:,BCBEB,BB,CE.()()(1).AMkAEDNkDB MNMAADDNkAEBCkDBk ABBEBCk ABCBk BCkBEMN BC BE 证明 设则由已知可得、 、 共面 而平面MNBCE,MNBCE.直线在平面外平面27规律技巧规律技巧:将要证的直线与平面平行的问题转化成向量

15、共面将要证的直线与平面平行的问题转化成向量共面的问题的问题,从而使繁琐地几何证明问题巧妙地转化成向量的运从而使繁琐地几何证明问题巧妙地转化成向量的运算算,体现了向量良好的工具性体现了向量良好的工具性.28变式训练变式训练4:如右图如右图,ABCD-ABCD中中,点点E是上底面是上底面ABCD的中心的中心,求下列各式中的求下列各式中的x、y、z的值的值:(1);(2).BDxADyABzAAAExADyABzAA 29 ,11: 1x1,y(12122,z.BDBDDDBABCDDABADAABDxADyABzAAAEAAA EAAACAAA BA D 解又)1111,222211,1.22xA

16、AA BA DADABAAAExADyABzAAyz 又30技技 能能 演演 练练(学生用书学生用书P65)31 基础强化基础强化1.满足下列条件满足下列条件,能说明空间不重合的三点能说明空间不重合的三点A、B、C共线的共线的是是( ).| |A ABBCACB ABABBCC ABBCDABBC 答案答案:C322.下列命题中正确的是下列命题中正确的是( )A.若若a与与b共线共线,b与与c共线共线,则则a与与c共线共线B.向量向量a、b、c共面共面,即它们所在的直线共面即它们所在的直线共面C.零向量没有确定的方向零向量没有确定的方向D.若若ab,则存在唯一的实数则存在唯一的实数,使使a=b

17、解析解析:当当b=0时时,a与与c不一定共线不一定共线,所以所以A错错.由共面向量的定义由共面向量的定义知知,B错错.当当a与与b是非零向量时是非零向量时,D正确正确.但命题中没有非零向量但命题中没有非零向量这个条件这个条件,所以所以D错错.答案答案:C333.下列条件中使点下列条件中使点M与点与点A、B、C一定共面的是一定共面的是( ).2111.532.0.0AOMOAOBOCBOMOAOBOCC MAMBMCDOMOAOBOC 答案答案:C344.下列结论中下列结论中,正确的个数是正确的个数是( )若若a、b、c共面共面,则存在实数则存在实数x、y,使使a=xb+yc若若a、b、c不共面

18、不共面,则不存在实数则不存在实数x、y,使使a=xb+yc若若a、b、c共面共面,b、c不共线不共线,则存在实数则存在实数x、y,使使a=xb+yc若若a=xb+yc,则则a、b、c共面共面A.0 B.1C.2 D.3解析解析:正确正确,错误错误.答案答案:D355.ab,A.ABDB.ABCC.BCDD.A2 ,56 ,72CD,ABab BCab CDab 已知向量 、且则一定共线的三点是（ ）、 、 、 、 、:(7a2b)a2b( 5a6b)33a6bABD.ADCDCACDACCDABBCAB 解析、 、 三点共线答案答案:A3611111111116.ABCDA B C D,EAB

19、CD,xyx_y_.AEA AxAByAD 在长方体中为矩形的对角线的交点 则中的 、 值应为，12123711111111112111()22211112222: AEA AABBCCEA AABBCCAA AABBCCBCDA AABDCBCBCA AABBCA AABA 解析11x11,.22Dy387.向量向量a与与b不共线不共线,存在惟一一对非零实数存在惟一一对非零实数m、n,使使c=ma+nb,则则a、b、c_共面向量共面向量.(填填“是是”或或“不不是是”)是是398.O,ABCD,2x3y4z_234,_.OAx BOy COz DO 已知 是空间任一点、 、 、 四点满足任三点均不共线但四点共面 且则:2x3y4z1,2x3y423424z31.OAx BOy COz DOx OBy OCz OD 解析由四点共面的充要条件知即-140能力提升能力提升123412349.A,B,C,D,:O,k ,k ,k ,k0.k ,OAk OBk OCk OD 已知四点共面 求证 对于空间任一点存在不全为零的实数使1234,(:A,B,C,D,x,y ,k1xy,k1)()(1)0,kx,