《二次根式》知识点总结,题型分类,复习专用

1、二次根式题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如小（Q河的式子叫二次根式，其中。叫被开方数，只有当lI是一个非负数时，&才有意义.【典型例题】【例1】下列各式1)Jl,2)底,3)Jx2十2,4)西,5)J(I)2,6)TT,7)Ja22a十1,5-3其中是二次根式的是（填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、Tab、710C、Ja+1D-成2、在JM、JE、J1*X2、J3中是二次根式的个数有fl=:二次阪或宥意受1【例2】若式子亍一有意义，则x的取值范围是.x-3举一反三：1、使代数式区W有意义的X的取值范围是（）x-4A、x>3B

2、、x>3C、x>4D、x>3且x乒42、使代数式J-x2+2x-1有意义的x的取值范围是3、如果代数式厂奋十节有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n)的位置在().、mnA、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限酿三：顺【例3】若y=7x5+5-x+2009，则x+y=举一反三:A.-1B.1C.2D.31、若JxT-5-x=(x+y)2，则xy的值为(2、若x、y都是实数，且y=2x-3+七'3-2x+4,求xy的值3、当a取什么值时，代数式J2a*1+1取值最小,并求出这个最小值。若2+J17的整数部分为x,小数部分为y,求的值.已知a是J5整数部分，b是J

3、5的小数部分,1,求a+的值。b2若7-*3的整数部分是a，小数部分是b,则3a-b=。知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：ja(aZ0)是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2.(va)2=aa>0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a=('.a)2(a一0)3.a2廿打)注意：(1)字母不一定是正数.(2) 能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3) 可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.2a(a_0)24.公式T

4、a=|a|=*与(石)=aa芝0)的区力U与联系-a(a:0)(1) 'W2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.(2) 函)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.(3) 7a2和(石)2的运算结果都是非负的.【典型例题】M-o二次根式的双藏摭免性t一2,心八4a2+Jb3+(c4)=0,Q卜+._【例4】若'''则a2+c-举一反三：1、若*'m_3+(n+1)2=0，贝Um+n的值为2、已知x,y为实数，且Jx-1+3(y22=0，贝Uxy的值为()A.3B.-3C.1D.-13、已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+J

5、y25y+6=0,则第三边长为2005a-b+1与Ja+2b+4互为相反数，则（a一b）二：二次根我的惨威2（公式（揭）2=a（a芝0）的运用）【例5】化简:a-1+(Ja-3)2-，一的结果为（A、42aC、2a4举一反三:2在实数范围内分解因式：x一3=42；m-4m4=x4-9=,x2-2、2x2=(公式Ma2=a"a(a芝0)a(a<0)的应用）【例6】已知x<2,则化简以4x+4的结果是A、x2B、C、一x2D、2x根式（-3）2的值是（）A.-3B.3或-3C.32、已知a<0,那么2a2a可化简为（）3aA.3、若2<a<3，贝UJ(2-a

6、)-J(a-3)等于(A.52aB.1-2aC.2a一5D.2aT的结果是（4、若a-3v0,则化简Va一6a+9+4一a(A)1(B)1(C)2a7(D)72a5、化简J4x24x+1(J2x3)得()(A)2(B)Yx+4(C)-2(D)4x4.a2-2a126、当avl目a莉时，化简a-a=7、已知a<0,化简求值：SaT2-SaT2【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|ab+J(a+b)2的结果等于()*AbaoA.-2bB.2bC.-2aD.2aa举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：a1+J(a_2)2=.1012【例8】化简1-x-Jx

7、28x+16的结果是2x-5，则x的取值范围是()(A)x为任意实数(B)1<x<4(C)x>1(D)x<1举一反三：若代数式J(2-a)2+J(a-4)2的值是常数2,则a的取值范围是()A.a>4B.a<2c.2<a<4D.a=2或a=4【例9】如果a+Ja22a+1=1,那么a的取值范围是()A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a<1举一反三：1、如果a+Ja2_6a十9=3成立，那么实数a的取值范围是()A.a三0B.a£3;C.a_3;D.a_32、若J(x3)2+x3=0，贝Ux的取值范围是()(A)x3(B)x

8、<3(C)x芝3(D)x3【例10】化简二次根式aj2的结果是()(A)七；一a2(B)a2(C)Ja2(D)va211、把二次根式aj_化简，正确的结果是()-aA.-aB.-aC.-aD.-a2、把根号外的因式移到根号内：当b>0时，/】=；(a-1)、；一知识点二：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：(1)最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号.2、同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。典型例题【例11

9、】在根式1)Ja2十b2;2)J§3)Jx2xy;4)J27abc，最简二次根式是()A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1、蒲鬲,>/30,J21，40b2,，3,J17(a2+b2)中的最简二次根式是2、卜列根式中，不是最简二次根式的是（B.V3c.rd.423、卜列根式不是最简二次根式的是（）A.a21B.、2x12bC.44、卜列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是?为什么?3ab2尸寸.a-b(ab)(5)'5(6)8xy5、把下列各式化为最简二次根式:12,45a2b【例12】下列根式中能与*3是合并的是

10、（B.27C.25举一反三:1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（A、3和'.佰B、C、D、Ja十1和Ja12、在二次根式：死;V23;苫,斯中，能与西合并的二次根式3、如果最简二次根式w'3a-8与瑚17-2a能够合并为一个二次根式，则a=知识点四：二次根式计算一一分母有理化【知识要点】分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。1. 有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用ja，ja=a来确定，如：与ja,Ja+b与Ja+b,a-b与Ja-b等分别互为有理化因式

11、。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a+Jb与a-Jb,ja+而与焰-Vb,a、,xb.y与a、,x-b.y分别互为有理化因式。2. 分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例13】把下列各式分母有理化(1)-4.3(2)3.7(3)【例14】把下列各式分母有理化(4)2ab2【例15】把下列各式分母有理化:22-15、35-.3333、2-2.3举一反三22x-3xyy1、已知X=2-电,y=2+£，求下列各式的值：(1)(2)2.32-；3x-y2、把下

12、列各式分母有理化:(1)(a,b)a.b.a2a-22)va+*va-2b-a2b2(3)biab/、结：一般常见的互为有理化因式有如下几类:赢+点与点.知识点五：二次根式计算一一二次根式的乘除【知识要点】1.积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。xb=店/b(aa0,b>0)2. 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。Ta石=Tab.(a>0,b>0)3. 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根3. 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术

13、平方根。注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.【典型例题】【例16】化简.916、1681<5215(4)J9x2y2(xN0,y0)(5)J1x局2后【例17】计算（1）-y/l2ax3y/3a(3)(4)(7)(8)【例18】化简:(x-0,y0)(x-0,y0)【例19】计算:,12【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（A、x2b、xMOc、Wx<2d、无解知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式

14、）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】【例20】计算（1）V32-1J75+2J0.5-3-（2）10*2十挡J20一|二F-°227、534V57(3)J32-十丁75-3*/-+48532；(4).63-、.27，：28-'、48，T47I23247【例21】(1)3E+、=可.x-y,4x4ya-ba-一ba.ba-b(3)Ij27a3a2J3+3aJe/08a(4)aj1+依国bJ13'、a3

15、4a2b(5)J81a3-5a7a+3J4a5(6)y/x+1-+I-+2知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值【知识要点-1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题_1、jJab5驾七户2、宁（212+ji-3而）3、i-vxy(-434、（m+、-）73-7无2、3知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法当a>0,bA0时，如果a>b，贝U4a>4b；如果a<b，贝U石<Jb。2.22.2一-2、平万法当a0,b0时，如果a>b，则a>b；如果a<b，则a<b。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当