北京一模数学试题汇编数列

1、数列1. （西城·理·题 3）（西城·文·题 3）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a2a46 ，则 S5 等于（）A 10B12C 15D 30【解析】 C；a2a4 62a3 ，于是 a3 3， S55a3 15 2. （海淀·文·题 4）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 S3S21 ，则数列 an 的公差是（）A 132B 1C 2D 32【解析】 C；S3a1 a2a33a13d ， S2a1 a22a1d ； S3S2a1da1dd ，因此 d2 32223. （宣武·理·

2、题 5）（宣武·文·题 5）若 an 为等差数列， Sn 是其前 n 项和，且 S1122，则 tan a6 的值为（）3A 3B 3C 3D33【解析】 B ；由 a1 a11 a2a10a5 a7 2a6，可得 S1111a6 ， a62 34. （海淀·理·题 6）已知等差数列 1 ,a , b ，等比数列3 , a 2 , b 5 ，则该等差数列的公差为（）A3或 3B3或 1C 3D 3【解析】 C；2a1b2a4 a23 b 5 ，解得ab0b7b50因此该等差数列的公差为3 5. （东城·理·题 7）已知数列 an 的通

3、项公式 anlog3n(nN* ) ，设其前 n 项和为 Sn ，则使 Sn4 成立的最小自然数n 等n1于（）A 83B 82C 81D80【解析】 C；Snlog3 1 log 3 2log3 2log3 3log 3 nlog 3 (n 1)log 3 (n 1)4 ，解得 n 34180 6. （丰台·理·题 8）已知整数以按如下规律排成一列：1,1、1,2、2,1、1,3 、2,2，3,1 ，1,4 ， 2,3，3,2，4 , 1 ， ，则第 60 个数对是（）A 10 ,1B 2 ,10C 5,7D 7,5【解析】 C；654321O123456根据题中规律，有

4、1,1 为第1项， 1,2 为第 2项， 1,3为第 4项， 1,11为第 56 项，因此第 60项为 5,77. （海淀·理·题 8）已知数列A: a1 , a2 , an0 a1a2an , n 3 具有性质 P ：对任意 i , j 1 i j n ，a jai与 a jai 两数中至少有一个是该数列中的一项现给出以下四个命题： 数列 0, 1, 3具有性质 P； 数列 0, 2, 4, 6具有性质 P； 若数列 A 具有性质 P ，则 a1 0 ； 若数列 a1 , a2, a30 a1a2a3具有性质 P ，则 a1a3 2a2 其中真命题有（）A 4个B 3个C

5、 2个D 1个【解析】 B ； 134，1 32 都不在数列中， 数列 0, 1, 3不具有性质 P ； 容易验证数列 0 , 2,4,6具有性质 P； 取 ijn ，则 a jai0 在数列中，而数列中最小的数a1 0，因此 a1 0； 由对 的分析可知，a10由于 a2a10 ， a3 a2a3 不在数列中，因此a3 a2 必然在数列中又 a3a2 ，故 a3a20a1 ，于是 a3a2 a2 ，等式 a1 a32a2 成立8. （丰台·文·题 10）设等比数列 an 的公比为 q1，前 n项和为 Sn ，则S4a42【解析】 15 ；S4231 q q2q3a1 1

6、q q qa43315a1qq9.（东城·文·题11）设 an 是等比数列，若a1 1, a48 ，则 q，数列 an 的前 6 项的和 S6【解析】 2,63；a4a1 q3q 2 ； S61 (1 26)63 1210. （石景山·文·题 12）等差数列 aa35a 1，此数列的通项公式为，设S a 的前 n 项和，则Sn 中，6n 是数列n8 等于【解析】 an2n11，16；设公差为d ， a6a33d 即 1 53d d2 ， a1a3 2d9 ， an a1 2( n1) 2n11 ，S88911816 11. （石景山·文

7、3;题14）（石景山·理·题14）在数列 an22p ，（ n 2, nN ， p 为常数），则称 an为“等方差数列” 下列是对“等中，若 anan1方差数列”的判断：若 an 是等方差数列，则an2是等差数列； ( 1)n 是等方差数列；若 an 是等方差数列，则akn（ k N ， k 为常数）也是等方差数列；若an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确命题序号为（将所有正确的命题序号填在横线上）【解析】 ；由定义可知，an 2 是公差为p 的等差数列，正确；1n222若 anan 1akn2ak( n 1) 2设 an 公差为式相减可得 012. （

8、石景山·文·题n 1 20( n 2, nN*) 为常数，故n是等方差数列，正确；11p( n 2, nN*) ，则22akn2akn22ak( n 1)2kp 为常数，对；aknakn 112akn k 1d ，则 pan2an 12(anan 1 )( anan 1 )d (anan 1 ) ，结合 p d (an 1an ) ，两d (an 1an1 )2d2d0 ，故 an 是常数列，对18）在数列 an 中， a13 ， an2an 1n2(n 2 且 nN * ) 求 a2 ， a3 的值；证明：数列 ann 是等比数列，并求 an 的通项公式；求数列 an 的

9、前 n 项和 Sn 【解析】 a13 ， an2an1n2(n 2且 nN*) ， a22a12 26，a32a23213ann(2 an 1n 2) n 2an 12n 2，an 1(n 1)an 1n 1an 12n 1数列an14 ，公比为2 的等比数列n 是首项为 a1 ann 4 2n 12n 1 ，即 an2 n 1n ， an 的通项公式为 an2n 1n (nN*) an 的通项公式为 an2 n 1n (nN*) ， Sn234n 1n)(2222)(12322(1 2n ) n (n 1)2n 2n2n 8 (n N* ) 122213. （石景山·理·

10、题 18）在数列 an 中， a13 ， anan 12n1 (n 2 且 nN* ) 求 a2 ， a3 的值；证明：数列 ann 是等比数列，并求 an 的通项公式；求数列 an 的前 n 项和 Sn 【解析】 a13 ， anan 12n1 (n 2, nN*) ， a2a14 1 6 ， a3a2611证明：ann(an 12n 1) nan 1n 1，an 1( n 1)an 1n1an 11n 1数列 an是首项为a114，公比为1 的等比数列n ann 1n 1n ，n 4 ( 1)，即 an4(1) an 的通项公式为 an4(1)n1n (nN*) an 的通项公式为 an4

11、(1)n1n(nN*) ，所以，nn4 ( 1)k 1n4 ( 1)k 1 nSnakk kk 1k1k1k 141(1)nn(n 1)2 1(1)n1(n2n)n2n 42( 1)n 1(1)22214. （西城·文·题 19）设数列 an 为等比数列，数列 bn 满足 bn na1 (n 1)a2 2an 1 an ， n N ，已知 b1 m ， b2 3m ， 2其中 m0 求数列 an 的首项和公比；当 m 1时，求 bn ；设 Sn 为数列 an 的前 n项和，若对于任意的正整数n ，都有 Sn1, 3，求实数 m 的取值范围【解析】 由已知 b1a1 ，所以

12、a1m ；b22a1a2 ，所以 2a1a23m ，解得 a2m ；22所以数列 an 的公比 q1 ；21n 1 当 m1时， an，2bnna1( n1)a22an1an ， ，1 bnna2(n 1)a32anan 1 ， ，2 得3bnn a2a3anan 1 ，2n111n32211所以bnnn1，2132122n22n6n2( 2)1nbn1399291nm1n22m Sn11，132121n1 2m 3因为10 ，所以由 Sn1, 3 得n ，2n1131122nn3,1 ，注意到，当 n 为奇数时，111,3；当 n 为偶数时， 1122241n所以1最大值为 3，最小值为 3

13、 224对于任意的正整数n 都有1n 2m3n，1311122所以 4 2m 2 ，解得 2 m 3 ，33即所求实数m 的取值范围是 m | 2 m 3 15. （丰台·文·题 20）设集合 W 由满足下列两个条件的数列 an 构成： an an 2an 1;2存在实数 M ，使 an M （ n 为正整数）在只有 5 项的有限数列 an ， bn 中，其中 a11， a22 ， a3 3 ， a4 4 ， a5 5，b1 1， b24 ， b3 5， b4 4 ， b51 ；试判断数列 an ， bn 是否为集合 W 的元素；设 cn 是等差数列，Sn 是其前 n 项和

14、， c3 4 ， Sn18证明数列 Sn W ；并写出 M 的取值范围；设数列 d n W ，且对满足条件的常数 M ，存在正整数 k ，使 d k M 求证： dk 1d k 2 d k3 【解析】 对于数列 a ，当 n 1时， a1 a32a2，显然不满足集合 W 的条件，n2故 an 不是集合 W 中的元素，对于数列 bn ，当 n1 ,2,3,4,5 时，不仅有 b1 b33 b2， b2b44 b3 ， b322显然满足集合 W 的条件 ，故 bn 是集合 W 中的元素cn是等差数列，Sn 是其前 n 项和，b33b4 ，而且有 bn 5 ，2c3 4， S318 设其公差为 d

15、， c32d c3d c3 18 d2 cnc3n 3 d2n 10 ， Snn29 n SnSn 2Sn 11 0 ， SnSn 2Sn 1 22281 ， Sn 的最大值是 S4 S5 Snn920 ，即 Sn S4 20 24 SnW ，且 M 的取值范围是20 , 证明： dn d k dk 2dk 1W ，2整理 dk 2dk 1(d k 1d k ) dk 1( dk 1M ) ， dkM ， dk 1 M ， dk 2dk 1 又 dk 1dk 3dk 2 ， d k 3 d k 2 ( dk 2dk 1 ) dk 2 ，2 dk 1dk 2dk 3 16. （丰台·理

16、·题 20）设集合 W 由满足下列两个条件的数列 an 构成： an an 2an1 ；2存在实数 M ，使 an M （ n 为正整数）在只有 5 项的有限数列 an ， bn 中，其中 a1 1 , a22 , a3 3,a4 4 , a55 ；b1 1 , b24 , b3 5 , b44 , b5 1；试判断数列 an , bn 是否为集合 W 的元素；设 cn 是各项为正的等比数列，Sn 是其前 n 项和， c31，S37 ，证 明数列 Sn44W ；并写出 M 的取值范围；设数列 d nW , 且对满足条件的M 的最小值 M 0 ，都有 dnM nn N* 求证：数列 d

17、n 单调递增【解析】 对于数列 an ，取 a1a32a2 ，显然不满足集合W 的条件， 2故 an 不是集合 W 中的元素，对于数列 bn ，当 n 1 ,2,3,4,5时，不仅有 b1 b33 b2 ， b2b44b3 ， b3 b33b4 ，而且有 bn 5 ，222显然满足集合 W 的条件 ，故 bn 是集合 W 中的元素 cn 是各项为正数的等比数列，Sn 是其前 n 项和， c317, S3,设其公比为 q0 ，44c3c3c372q2q4 ，整理得 6qq1 0 q1 ， c11 , cn1n 1 ， Sn22对于*SnSn 221n N ，有2n故 Sn 2W，且M2 ,12n

18、 12121Sn 2 ，且 Sn2 ，n 2n22 证明：（反证）若数列 dn 非单调递增，则一定存在正整数k ，使 dk d k 1 ，易证于任意的 n k ，都有 dk d k 1 ，证明如下：假设 n m( m k ) 时， dk dk 1当 n m1 时，由 dmdm 2dm1 ， dm 2 2dm 1 dm 2而 dm 1dm 2dm 1(2dm 1dm )dm dm 1 0所以 dm 1d m 2 ,所以对于任意的n k ，都有 dm dm 1 显然 d1 , d2 , dk 这 k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为dn0 ；所以 dn0 dn (nN* ) ，从而 d n0M

19、0 与这题矛盾所以假设不成立，故命题得证17. （海淀·文·题20）2an为偶数1 , n已知数列an满足： a10 ，an2， n2,3,4,n12an 1为奇数2, n2求 a3 , a4 , a5 的值；设 bna2n 11 ， n1,2,3,，求证：数列bn是等比数列，并求出其通项公式；对任意的 m 2 ， m*m项构成等差数列？若存在，写出这m项，N ，在数列 an 中是否存在连续的22并证明这2m 项构成等差数列；若不存在，说明理由【解析】 因为 a11 ，所以 a212a13， a312a15 ，22a41 2a27 ， a512a213 ；22 由题意，对于

20、任意的正整数n ， bna n 11 ，所以 bn 1a n122又 a n1(2a2n1)12( a n11) 2bn所以 bn 12bn 222又 b1a 1 11 a11 22所以 bn是首项为 2，公比为2 的等比数列，所以bnn2 存在事实上，对任意的 m 2 ， kN*，在数列 an 中，a2m , a2m1 , a2m2, a2m2m1这连续的2m 项就构成一个等差数列我们先来证明：“对任意的 n 2 ， nN *， k0 , 2n 1， kN*，有 a2n 1k2n1k ”2n ，所以 a2n 12 n2由 得 bna2n 111当 k 为奇数时， a12a n 112ak12n 1kk12222 n 222当 k 为偶数时， a2n 1k12a 2n 1k12an2k222k ,k2 p1记k12，其中 p1N k1 ,k2 p121因此要证 a2n 1 k2n1k ，只需证明 a2n 2k2n11k1，212其中 k10 , 2n 2， k1*N（这是因为若 a2n22n 11k1，则当k1k1时，则 k 一定是奇数，k22111有 a n 12an 12ak 1k2k 122222 n 221k1