07刚体的基本运动分享资料

1、第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.1第7章 刚体的基本运动 第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.2刚体的平行移动刚体的平行移动 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度 轮系的传动比轮系的传动比 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度 习题与思考题习题与思考题本章内容本章内容第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.37.1 刚体的平行移动刚体的平行移动 在工程实际中，我们经常遇到某些物体的运动。例如：在直线轨道上行驶在工程实际中，我们经常遇到某些物体的运动。例如：在直线轨道上行驶的列车车厢的运动的列车车厢的运动(

2、如图如图7.1所示所示)；筛沙机中的筛子的运动；筛沙机中的筛子的运动(如图如图7.2所示所示)；桥式；桥式起重机的行车的运动起重机的行车的运动(如图如图7.3所示所示)等等。刚体运动时，若其上任一直线始终保等等。刚体运动时，若其上任一直线始终保持与初始位置平行。这种运动称为刚体的平行移动，简称平动。上述这些构件持与初始位置平行。这种运动称为刚体的平行移动，简称平动。上述这些构件的运动都具有这种共同特征，因些都是平动。刚体平动时，其上任一点的轨迹的运动都具有这种共同特征，因些都是平动。刚体平动时，其上任一点的轨迹是直线，称为直线平动；其上任一点的轨迹是曲线时，称为曲线平动。是直线，称为直线平动；

3、其上任一点的轨迹是曲线时，称为曲线平动。 在刚体上任选两点在刚体上任选两点A、B。从任一固定点。从任一固定点O向向A、B两点作矢径两点作矢径 、 ，如，如图图7.4所示。所示。 ArBr图7.1 车厢的运动 图7.2 筛子的运动 图7.3 行车的运动 图7.4 刚体AB的矢径 第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.47.1 刚体的平行移动刚体的平行移动 可得可得 将上式对时间将上式对时间 t 求导数，并注意到求导数，并注意到BA为常矢，得为常矢，得 再将上式对时间再将上式对时间 t 求导数得求导数得 由此可见，刚体作平动时，由此可见，刚体作平动时，“刚体内所有各点的运动轨迹的形状完全相同

4、。刚体内所有各点的运动轨迹的形状完全相同。在同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度在同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度”。因此只要确定出刚。因此只要确定出刚体内任一点的运动，就知道整个刚体的运动。所以，刚体平动的问题，可归结体内任一点的运动，就知道整个刚体的运动。所以，刚体平动的问题，可归结为点的运动问题来处理。上一章对点的运动已作了研究。为点的运动问题来处理。上一章对点的运动已作了研究。 ABrrABABaa第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.57.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体运动时，其上或其延伸部分有一条直线保持不动，这种运动称为刚体运动时，其上或其延

5、伸部分有一条直线保持不动，这种运动称为刚体的定轴转动，简称为转动。固定不动的直线称为转轴。刚体的这种运刚体的定轴转动，简称为转动。固定不动的直线称为转轴。刚体的这种运动形式，工程实际中大量存在。如轮系传动装置中的各种旋转机械，水轮动形式，工程实际中大量存在。如轮系传动装置中的各种旋转机械，水轮机和发电机的转子等。有时转轴不在刚体的内部，而在抽象的扩展的部分机和发电机的转子等。有时转轴不在刚体的内部，而在抽象的扩展的部分上。刚体绕定轴转动时，刚体内不在转轴上的其他各点均作圆周运动。圆上。刚体绕定轴转动时，刚体内不在转轴上的其他各点均作圆周运动。圆周平面与转轴垂直，圆心就在转轴上。周平面与转轴垂直

6、，圆心就在转轴上。 一、转动方程一、转动方程 设有一刚体可绕设有一刚体可绕z轴转动，为确定其位置。过轴转动，为确定其位置。过z轴作一定平面轴作一定平面S0，过，过z轴作轴作一动平面一动平面S，如图，如图7.5所示。开始时，两平面重合，随着时间的延续，两平面打所示。开始时，两平面重合，随着时间的延续，两平面打开一角度开一角度。知。知即知道刚体的位置，即知道刚体的位置，称为转角称为转角(位置角位置角)，以弧度，以弧度(rad)表示，表示，是时间是时间t的单值连续函数。用公式表示为：的单值连续函数。用公式表示为： 上式称为刚体的转动方程。上式称为刚体的转动方程。为代数量，正负符号规定如下：从为代数量

7、，正负符号规定如下：从z轴的正端轴的正端往负端看，从固定面起逆时针转向，往负端看，从固定面起逆时针转向，取正值；顺时针转向，取正值；顺时针转向，取负值。取负值。 ( )f t(7.1) 第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.67.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 图7.5 刚体转动 二、角速度二、角速度 刚体转动的快慢用角速度来度量：刚体转动的快慢用角速度来度量： 平均角速度平均角速度 (2) 瞬时角速度瞬时角速度 单位为，式单位为，式(7.2)表明：表明：“转角转角对时间对时间t的一阶导数，称为刚的一阶导数，称为刚体的角速度体的角速度”。为代数量，当为代数量，当d0时，时，0；当；当d

8、0时，时，0。工程上。工程上常给出转速常给出转速n(单位为单位为r/min)，换算：，换算： *t00dlim*limdtttt2(rad/s)60n式中式中n的单位为的单位为r/min。第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.77.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 三、角加速度三、角加速度 角速度的变化快慢用角加速度来度量：角速度的变化快慢用角加速度来度量：平均角加速度平均角加速度 瞬时角加速度瞬时角加速度 (7.4) 式中式中a 的单位为弧度的单位为弧度/秒秒2 (rad/s2)。(1)式式(7.4)表明：表明：“刚体的角速度刚体的角速度对时间对时间t的一阶导数，或转角的一阶导数，或转

9、角对时对时间间t的二阶导数，等于刚体的角加速度的二阶导数，等于刚体的角加速度”。也是代数量。习惯上：也是代数量。习惯上：与与同号为加速转动，异号为减速转动。同号为加速转动，异号为减速转动。 *t0limt 220dd*limddtttt 四、匀速转动和匀变速转动的情况四、匀速转动和匀变速转动的情况 第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.87.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 (1) 匀速转动匀速转动 a=0 =常量常量 =0+t (7.5) 机器中的转动部件或构件，一般在正常工作情况下都应该是匀速转动。机器中的转动部件或构件，一般在正常工作情况下都应该是匀速转动。(2) 匀变速转动匀变速

10、转动 a=常量常量 (7.6) (7.7) 式中的式中的和和0分别为分别为t =0时的角速度和转角，由上面的公式可以看出：刚时的角速度和转角，由上面的公式可以看出：刚体匀变速转动时，刚体的转角体匀变速转动时，刚体的转角，角速度，角速度和角加速度和角加速度与时间与时间t的关系，和点的关系，和点在匀变速运动中的弧坐标在匀变速运动中的弧坐标s，速度，速度v及切向加速度与时间及切向加速度与时间t的关系相似。同样将的关系相似。同样将式式(7.6)与式与式(7.7)消去时间消去时间t，得，得 20012tt22002 (7.8) 第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.97.3 转动刚体内各点的速度和

11、加速度转动刚体内各点的速度和加速度 工程上经常需要知道转动刚体的运动与刚体上一点的运动关系。即刚体整工程上经常需要知道转动刚体的运动与刚体上一点的运动关系。即刚体整体的运动和体内一点的运动关系。如：齿轮的转速和圆周上一点的速度的关系体的运动和体内一点的运动关系。如：齿轮的转速和圆周上一点的速度的关系等。现在来讨论这个问题。等。现在来讨论这个问题。 设刚体绕设刚体绕z轴变速转动轴变速转动,在刚体上任取一点在刚体上任取一点M来考察。来考察。M点到转动轴的距离点到转动轴的距离为为，M点的轨迹是半径为点的轨迹是半径为的一个圆，如图的一个圆，如图7.6所示。所示。 图7.6 刚体绕z轴转动第第7章章 刚

12、体的基本运动刚体的基本运动7.107.3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度 一、一、M点的运动方程点的运动方程 若以若以MO为计算起点，则当刚体转动为计算起点，则当刚体转动角时，由图角时，由图7.6(b)可知：可知：上式为用自然法表示的上式为用自然法表示的M点的运动方程。点的运动方程。 ( )sf t(7.9) 二、二、M点的速度点的速度 M点速度的代数值为：点速度的代数值为： 由式由式(7.10)可知：某点速度的大小为可知：某点速度的大小为.，即速度与半径成正比；方向，即速度与半径成正比；方向沿轨迹的切线，即方向垂直于半径，指向与沿轨迹的切线，即方向垂直于半径，指向与

13、转向一致。速度分布如图转向一致。速度分布如图7.7(a)所示。所示。 ddddsvtt (7.10) 第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.117.3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度 图7.7 M点的速度与全加速度分布 三、三、M点的加速度点的加速度 M点的切向加速度点的切向加速度(在任一瞬时在任一瞬时)的大小为的大小为ddddvatt(7.11) 第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.127.3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度 由式由式(7.11)可知：切向加速度的大小为可知：切向加速度的大小为，即与半径，即与半径成正比。方向沿

14、轨迹成正比。方向沿轨迹切向，即垂直于半径，指向与切向，即垂直于半径，指向与转向一致。转向一致。M点的法向加速度点的法向加速度an的大小为：的大小为：由式由式(7.12)可知，法向加速度的大小为可知，法向加速度的大小为 ，即与半径成正比，方向指向点，即与半径成正比，方向指向点O，即曲率中心。，即曲率中心。 M点的全加速度点的全加速度。大小：大小： 方向：方向： 22nva (7.12) 2 2222naaa 22tannaa 。 为全加速度与半径的夹角。为全加速度与半径的夹角。全加速度的分布如图全加速度的分布如图7.7(b)所示。所示。第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.137.3 转动

15、刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度 【例【例7.1】 如图如图7.8所示，滚子传送带，已知滚子的直径所示，滚子传送带，已知滚子的直径d =20cm匀速转动，转匀速转动，转速速n =50r/min。求：。求：(1)钢板运动的速度和加速度；钢板运动的速度和加速度；(2) 滚子上与钢板接触点的滚子上与钢板接触点的加速度。加速度。 解：(1) 求钢板运动的速度和加速度：2505.24rad/s6030n0钢板的速度为 2005.24524mm/s2R钢板的加速度为 0aR(2) 求滚子上与钢板接触点的加速度： na a2221005.242.74m/sR图7.8 滚子传送带 第第7章

16、章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.147.3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度 【例【例7.2】 汽轮机叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上汽轮机叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点距轴心点距轴心O的距离为的距离为=400mm，在某瞬时的全加速度，在某瞬时的全加速度=40m/s2，与转轴半径的夹角，与转轴半径的夹角 ，如，如图图7.9所示。当所示。当t=0时，时， =0。求叶轮的转动方程及。求叶轮的转动方程及t = 4s时时M点的速度和法向点的速度和法向加速度。加速度。030图7.9 转动的叶轮 解：(1) 求叶轮的转动方程： 2sin40 sin3020m/s aa22

17、050rad/s0.4a为常量。所以，叶轮作匀变速转动，且 与 的转向相同。由题意知，t =0时， =0， =0，由式(7.7)得叶轮的转动方程为： 0022125 (rad)2tt(2) 求t =4s时，M点的速度和法向加速度 504200rad/st0.420080m/sv2220.420016000(m/s )na第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.157.4 轮系的传动比轮系的传动比 在工程实际中，通常利用几个转动刚体的传动来改变机械的转速。最常在工程实际中，通常利用几个转动刚体的传动来改变机械的转速。最常见的有摩擦轮系、齿轮系及皮带轮等，如变速箱就是由齿轮系组成的。现在见的有

18、摩擦轮系、齿轮系及皮带轮等，如变速箱就是由齿轮系组成的。现在以齿轮的传动和皮带轮的传动说明如下：以齿轮的传动和皮带轮的传动说明如下： 下面以如图下面以如图7.10(a)所示的一对圆柱齿轮传动外啮合，如图所示的一对圆柱齿轮传动外啮合，如图7.10(b)所示的所示的一对圆柱齿轮传动内啮合为例。一对圆柱齿轮传动内啮合为例。 图7.10 圆柱齿轮传动 第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.167.4 轮系的传动比轮系的传动比 设：设：I齿轮、齿轮、II齿轮分别绕固定轴齿轮分别绕固定轴O1和和O2转动。以和转动。以和Z1表示表示I齿轮的角齿轮的角速度、角加速度、啮合半径和齿数；以速度、角加速度、啮

19、合半径和齿数；以 和和z2表示表示II齿轮的角齿轮的角速度、角加速度、啮合半径和齿数。两齿轮节圆的切点速度、角加速度、啮合半径和齿数。两齿轮节圆的切点 之间没之间没有相对滑动。有相对滑动。 即即 且速度和加速度的方向也相同，如图且速度和加速度的方向也相同，如图7.10所示。所示。由由得得 或或 222r、 、12MM和1212vvaa(7.14) 11 122 211 122 2,vr vr ar ar1122rr1122rr11222211rzrz(7.15) 第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.177.4 轮系的传动比轮系的传动比 相互啮合的两个齿轮之半径与齿数成正比。由式相互啮合

20、的两个齿轮之半径与齿数成正比。由式(7.15)可知：可知：“处于啮合处于啮合中的两个定齿轮的角速度和角加速度与两定齿轮的齿数成反比，与两啮合圆的中的两个定齿轮的角速度和角加速度与两定齿轮的齿数成反比，与两啮合圆的半径成反比半径成反比”。设：设：I轮为主动轮，轮为主动轮，II轮为从动轮，则轮为从动轮，则 称为传动比，用称为传动比，用 来表示，即来表示，即 1212i1122122211rzirz 式中正号表示主、从动轮转向相同，如内啮合；负号表示主、从动轮式中正号表示主、从动轮转向相同，如内啮合；负号表示主、从动轮转向相反，如外啮合。式转向相反，如外啮合。式(7.16)也适用于圆锥齿轮传动，链轮

21、，带轮传动。也适用于圆锥齿轮传动，链轮，带轮传动。第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.187.4 轮系的传动比轮系的传动比 【例【例7.3】 如图如图7.11所示。所示。 ，轮，轮I由静止开始转动，其由静止开始转动，其角加速度角加速度 。设带与带轮间无滑动，问经过多少秒后。设带与带轮间无滑动，问经过多少秒后II轮转速轮转速为为300r/min？ 12750mm300mmrr，210.4 rad/s图7.11 带轮传动示意 解：由题意知： ， (常数)。所以II轮作匀加速转动，其， ，1 12 2rr1 122rr20022t所以 22 221 1210 s60n rtr第第7章章 刚体

22、的基本运动刚体的基本运动7.19或 将n4代入前式中，得 7.4 轮系的传动比轮系的传动比 【例【例7.4】 如图如图7.12所示为一带式输送机。已知：自动轮的转速所示为一带式输送机。已知：自动轮的转速n1=1200，齿数，齿数Z1=24；齿轮；齿轮III和和IV用链条传动，齿数各为用链条传动，齿数各为Z3=15，Z4=45。轮。轮V的直径的直径D等于等于46cm，如希望输送带的速度约为，如希望输送带的速度约为 ，试求轮，试求轮II应有的齿数应有的齿数Z2。 2.4m/s 图7.12 带式输送机传动 解：由图示的传动关系有因此得 或写成 1221nznz3443nznz124413nz znz

23、 z1 31244z znznz454222 30nDDDv460vnD1 1 224120024 153.144696.3604560240n z zDzzv 因齿轮的齿数必须为整数，所以可选取Z2=96。这时输送带的速度为2.41m/s，满足每秒约为2.4m/s的要求。 因为输送带的速度和轮V轮缘上点的速度大小相等，而轮V的转速等于轮IV的转速，于是得：第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.207.5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度 由前几节所述，我们得出的转动刚体的角速度和角加速度以及转动刚体上由前几节所述，我们得出的转动刚体的角速度和角加速度以及转动刚体上任

24、一点的速度和加速度的表达式都是数量表达式，即只能表明其大小，而不能任一点的速度和加速度的表达式都是数量表达式，即只能表明其大小，而不能表明它们的方向。要得出既能表明其大小又能表明其方向的表达式，必须用矢表明它们的方向。要得出既能表明其大小又能表明其方向的表达式，必须用矢量关系来表示。量关系来表示。一、以矢量表示角速度和角加速度一、以矢量表示角速度和角加速度 绕定轴转动刚体的角速度绕定轴转动刚体的角速度可以用矢量表示。用矢量关系来表示，既能可以用矢量表示。用矢量关系来表示，既能表明大小又能表明方向。表明大小又能表明方向。的大小为的大小为 方向方向: 沿转轴按照右手螺旋规则确定，如图沿转轴按照右手

25、螺旋规则确定，如图7.13(a)所示。至于角速度矢的起所示。至于角速度矢的起点，可在轴线上任意选取，角速度矢是滑移矢量。取转轴为点，可在轴线上任意选取，角速度矢是滑移矢量。取转轴为z轴，轴，k为沿轴为沿轴的单位矢量，则的单位矢量，则ddtkddt(7.17) 第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.21同样，角加速度也可用一个沿转轴的滑移矢量表示，如图同样，角加速度也可用一个沿转轴的滑移矢量表示，如图7.13(b)所示。所示。kddt(7.18) 图7.13 角速度和角加速度 7.5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度 第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.227.

26、5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度 二、以矢积表示点的速度和加速度二、以矢积表示点的速度和加速度 设：设：M为定轴转动刚体上的任意点，其速度为为定轴转动刚体上的任意点，其速度为 v。在转轴上任选一点。在转轴上任选一点O作矢作矢量量，作矢径，作矢径 r=OM，如图，如图7.14(a)所示。所示。 那么那么 v=r (7.19)用矢量叉乘的定义就能验证上式的正确性。用矢量叉乘的定义就能验证上式的正确性。M点的线加速度点的线加速度 图7.14 以矢积表示点的速度和加速度示意 ddddttvarddddttrr r v (7.20) (7.21)(7.22) 式中式中 ar na

27、v如图如图7.14(b)所示，用矢量叉乘的定义也不难验证式所示，用矢量叉乘的定义也不难验证式(7.21)和式和式(7.22)的正确性。的正确性。第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.237.6 习题及思考题习题及思考题 1. 各点作圆周运动的刚体平动与定轴转动有什么区别？2. 本章中的一切公式可否适用于任何参考系，为什么？3. “刚体绕定轴转动时，各点的轨迹一定是圆。”说法对吗？4. 已知刚体的角速度与角加速度，如图7.15(a)、图7.15(b)所示，试画出两点的速度、切向加速度和法向加速度的方向。5. 刚体绕定轴转动，已知刚体上任意两点的速度方位，问能不能确定转轴的位置？6. 定轴转

28、动刚体上哪些点的加速度大小相等？哪些点的加速度方向相同？ 一、思考题图7.15 第4题图 第第7章章 刚体的基本运动刚体的基本运动7.247.6 习题及思考题习题及思考题 7. 定轴转动刚体上哪些点的加速度大小、方向都相同？8. 刚体绕定轴转动时，角加速度为正，表示加速转动；角加速度为负，表示减速转动。对吗？为什么？9. 刚体绕定轴转动，其上某点A到转轴的距离为R。为求出刚体上任意点在某一瞬时的速度和加速度的大小，只要知道A点的速度及该点的全加速度方向就可以了。对吗？二、习题1. 揉茶机的揉桶由三个曲柄支持，曲柄的支座A、B、C与支轴a、b、c都恰成等边三角形，如图7.17所示。三个曲柄长度相等，均长l=15cm，并以相同的转速n=45r/min分别绕其支座转动。求揉桶中心点O的速度和加速度。2. 带轮边缘上的一点A以0.5m/s的速度运动，在轮缘内另一点B以0.1m/s的速度运动，两点到轮轴的距离相差0.2m。求带轮的角速度及直径。3. 砂轮由静止开始作等加速转动，30秒后转速达到n=900r/min，求砂轮的角速度和30秒钟内转过的圈数N。4. 搅拌机构如图7.18所示，已知O1A=O1B=R，O1O2=AB，杆O1A以不变转速n转动。试分析构件ABM上M点的轨迹及其速度和加速度。第第7章章 刚体的基本运动刚体的基