2012届高考考前60天冲刺--导数专练（理数）

1、2012届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】导数专练1、已知函数其中。（1）当时，判断的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数若总有成立，求实数m 2. 已知函数，R (I)讨论函数的单调性； ()当时，恒成立，求的取值范围3.已知函数（I）当时，求函数的单调区间；（II）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？4.已知三次函数的导函数，为实数。m（）若曲线在点（，）处切线的斜率为12，求的值；（）若在区间-1，1上的最小值最大值分别为-21，且，求函数的解析式。5.已知函数，（为自然对数的底

2、数）（）求函数的递增区间；（）当时，过点作曲线的两条切线，设两切点为，求证为定值，并求出该定值。6.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：7.已知函数（）当时，求的单调区间；（）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围8.已知函数()求函数的单调区间;()是否存在实数,使不等式对恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明理由.9设函数() 当时，求函数的极值；（）当时，讨论函数的单调性.（）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围. 10. 设函数() 当时，求函数的极值；（）当时，讨论函数的单调性.（）若对任意及任意，恒有 成立

3、，求实数的取值范围.11.已知函数（）若函数在，处取得极值，求，的值；（）若，函数在上是单调函数，求的取值范围12.设（1）若函数在区间内单调递减，求的取值范围；（2）若函数处取得极小值是，求的值，并说明在区间内函数的单调性14.已知三次函数的导函数，为实数。m（）若曲线在点（，）处切线的斜率为12，求的值；（）若在区间-1，1上的最小值最大值分别为-21，且，求函数的解析式。15.已知函数f(x)=xax + (a1)，() 若，讨论函数的单调性；（II）已知a =1，若数列an的前n项和为，证明：16.已知在与处都取得极值。（I）求，的值；（）若对时，恒成立，求实数的取值范围。17.已知函

4、数f (x)x3ax2bx， a , bR() 曲线C：yf (x) 经过点P (1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y2x1，求a，b的值；() 已知f (x)在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0ab218.已知函数f(x)=x-ax+(a-1)，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。19已知，其中是自然常数，（）当时, 研究的单调性与极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）在（）的条件下，求证： ；（）是否存在实数，使的最小值是3？若存在，求出的值；若不存在，说明理由20.设函数，已知 ，且（aR，且a0），函数（bR，c为正整数）有

5、两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。（1）试求a、b的值；（2）若时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。22.已知函数f(x)x2bsinx2(bR)，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围23.已知在与处都取得极值。 () 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；()若恰有两解，求实数的取值范围25.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当

6、时，（）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；（）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，26.已知函数（x）=,a是正常数。（1）若f(x)= （x）+lnx,且a=,求函数f(x)的单调递增区间；（2）若g(x)=lnx+（x）,且对任意的x,x（0,2，且xx，都有-1，求a的取值范围27.已知函数（1）求的单调区间；（2）设，若在上不单调且仅在处取得最大值，求的取值范围27. 已知函数是常数，且当和时，函数取得极值（）求函数的解析式；（）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围28. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线的方

7、程;(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.若直线的斜率为1,求的长;是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.29.已知函数处取得极值2。（1）求函数的表达式；（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？ （3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点P，求直线的斜率的取值范围。30.已知动圆G过点F(，0)，且与直线l：x相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E.曲线E上的两个动点A(x1，y1)和B(x2，y2).(1)求曲线E的方程；(2)已知·9(O为坐标原点)，探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说

8、明理由.(3)已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x1x2且x1x24.求ABC面积的最大值.31.已知函数(a为实常数).(1)若，求证：函数在(1，+)上是增函数； (2)求函数在1，e上的最小值及相应的值；(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.32.设，其中为正实数.(1)当时，求的极值点； (2)若为上的单调函数，求的取值范围. 答 案1、已知函数其中。（1）当时，判断的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数若总有成立，求实数m的取值范围。答案：解析：由，当 时，在（）上单调递增。（2）由已知得，其定义域为（），因为在其定义域内为增函数，所以

9、即而，当且仅当x=1时，等号成立，所以（3）当a=2时，由得，或，当时， 所以在（0，1）上，而“成立”等价于“（0，1）上的最大值不小于上的最大值”。又2. 已知函数，R (I)讨论函数的单调性； ()当时，恒成立，求的取值范围 解： () 若时，()2分由得，又解得， 所以函数的单调递增区间为 4分()依题意得,即， ， ， 6分设， ， 令，解得 当时，在单调递增；8分当时，在单调递减； 10分=， 即3.已知函数（I）当时，求函数的单调区间；（II）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？ （I）当时， 2分 令时，解得，所

10、以在（0，1）上单调递增； 4分 令时，解得，所以在（1，+）上单调递减 6分（II）因为函数的图象在点（2，）处的切线的倾斜角为45o， 所以 所以， 8分 ， ， 10分 因为任意的，函数在区间上总存在极值， 所以只需 12分 解得 14分4.已知三次函数的导函数，为实数。m（）若曲线在点（，）处切线的斜率为12，求的值；（）若在区间-1，1上的最小值最大值分别为-21，且，求函数的解析式。解析：（）由导数的几何意义=12 1分 2分 3分（） ， 5分由 得， -1，1， 当-1，0）时，递增；当（0，1时，递减。8分 在区间-1，1上的最大值为 ， =1 10分 ， 是函数的最小值，

11、= 5.已知函数，（为自然对数的底数）（）求函数的递增区间；（）当时，过点作曲线的两条切线，设两切点为，求证为定值，并求出该定值。解：（）函数的定义域是.2分当时，由，解得； 当时，由，解得；当时，由，解得，或-4分所以当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是， .6分（）因为，所以以为切点的切线的斜率为；以为切点的切线的斜率为.8分又因为切线过点，所以；.10分解得， ，. 则.由已知,从而有 所以为定值.6.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证： 解：（），故其定义域为 ， 令>0,得，令<0

12、,得故函数的单调递增区间为单调递减区间为4分（），令又，令解得当x在内变化时，变化如下表x)+0-由表知，当时函数有最大值，且最大值为 所以， 10分（）由（）知 即 7.已知函数（）当时，求的单调区间；（）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围（I）当时， 2分 由得得 的单调递增区间为，单调递减区间为.4分（II）若对任意， 使得恒成立， 则时，恒成立， 即时，恒成立6分 设，则 ， 设， 在上恒成立 在上单调递增即在上单调递增8分 ，在有零点在上单调递减，在上单调递增10分，即，8.已知函数()求函数的单调区间;()是否存在实数,使不等式对恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明

13、理由.【解】()1分 当时,函数在内是增函数, 即函数的单调增区间为2分当时,令得,且时,又时,4分所以函数递增区间为,递减区间为.5分()假设存在这样的实数,使不等式对恒成立即恒成立.令,则,且恒成立6分7分当时,则函数在上单调递减,于是 与矛盾,故舍去. 8分当时, 而当时,由函数和都单调递减.y=lnx(x>1)y=ax2-ax(a<0)xOy且由图象可知,趋向正无穷大时,趋向于负无穷大. 这与恒成立矛盾,故舍去. 10分(注:若考生给出抛物线草图以说明,如右,同样也按该步骤应得分给分)当时,等价于() 记其两根为(这是因为) 易知时,而时, (i)若时,则函数在上递减,于是

14、矛盾,舍去; 11分(ii)若时,则函数在上递增,于是恒成立.所以,即,解得12分综上可知,存在这样的实数,使不等式对恒成立13分9设函数() 当时，求函数的极值；（）当时，讨论函数的单调性.（）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围. 解：()函数的定义域为. 当时，令得. 当时，当时， 无极大值.4分（） 5分 当，即时， 在上是减函数； 当，即时，令得或 令得 当，即时，令得或 令得 7分 综上，当时，在定义域上是减函数； 当时，在和单调递减，在上单调递增； 当时，在和单调递减，在上单调递8分（）由（）知，当时，在上单调递减， 当时，有最大值，当时，有最小值. 10分而经整理得 由

15、得，所以10. 设函数() 当时，求函数的极值；（）当时，讨论函数的单调性.（）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围. 解：()函数的定义域为. 当时，令得. 当时，当时， 无极大值.4分（） 5分 当，即时， 在上是减函数； 当，即时，令得或 令得 当，即时，令得或 令得 7分 综上，当时，在定义域上是减函数； 当时，在和单调递减，在上单调递增； 当时，在和单调递减，在上单调递8分（）由（）知，当时，在上单调递减， 当时，有最大值，当时，有最小值. 10分而经整理得 由得，所以解() 可知的定义域为有 2分因为，所以故当时；当或时综上，函数在区间上单调递减，在区间和上单调增加. 6分

16、（II）由，知，所以可得 分所以 因为 11分所以 综上，不等式得证 14分11.已知函数（）若函数在，处取得极值，求，的值；（）若，函数在上是单调函数，求的取值范围21解：（）， 由 ，可得 （）函数的定义域是， 因为，所以 所以要使在上是单调函数，只要或在上恒成立10分当时，恒成立，所以在上是单调函数； 当时，令，得，此时在上不是单调函数； 当时，要使在上是单调函数，只要，即综上所述，的取值范围是 12.设（1）若函数在区间内单调递减，求的取值范围；（2）若函数处取得极小值是，求的值，并说明在区间内函数的单调性解：（1）函数在区间内单调递减，5分（2）函数在处有极值是，即，所以或9分当时，

17、在上单调递增，在上单调递减，所以为极大值，这与函数在处取得极小值是矛盾，所以当时，在上单调递减，在上单调递增，即为极小值，所以时，此时，在区间内函数的单调性是：在内减，在内增13.已知函数（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）解：（1）当时，定义域是， 令，得或 当或时，当时， 函数在上单调递增，在上单调递减 的极大值是，极小值是当时，； 当时，当仅有一个零点时，的取值范围是或（2）当时，定义域为令，在上是增函数 当时，即；当时，即；当时，即（3）（法一）根据（2）的结论，当时，即令，则有， ， 14.已知三次函数的导函数，为实数。m（

18、）若曲线在点（，）处切线的斜率为12，求的值；（）若在区间-1，1上的最小值最大值分别为-21，且，求函数的解析式。解析：（）由导数的几何意义=12 1分 2分 3分（） ， 5分由 得， -1，1， 当-1，0）时，递增；当（0，1时，递减。8分 在区间-1，1上的最大值为 ， =1 10分 ， 是函数的最小值， = 12分15.已知函数f(x)=xax + (a1)，() 若，讨论函数的单调性；（II）已知a =1，若数列an的前n项和为，证明：解() 可知的定义域为有 2分因为，所以故当时；当或时综上，函数在区间上单调递减，在区间和上单调增加. 6分（II）由，知，所以可得 分所以 因为

19、 11分所以 综上，不等式得证 14分16.已知在与处都取得极值。（I）求，的值；（）若对时，恒成立，求实数的取值范围。解：（1）在与处都取得极值，。，即-7分（2）由（1）可知，令得或，在上单调递减，在上单调递增。-10分而 ，所以，即在上的最大值为。-15分要使对任意时，恒成立，必须。17.已知函数f (x)x3ax2bx， a , bR() 曲线C：yf (x) 经过点P (1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y2x1，求a，b的值；() 已知f (x)在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0ab2()解: ，由题设知： 解得 6分()解：因为在区间内存在两个极值点 ，所以，

20、即在内有两个不等的实根故由 (1)+(3)得.由（4）得，因，故，从而.所以 18.已知函数f(x)=x-ax+(a-1)，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解：(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 则由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·········12分。19已知，

21、其中是自然常数，（）当时, 研究的单调性与极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）在（）的条件下，求证： ；（）是否存在实数，使的最小值是3？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：（）， 1分当时，此时单调递减当时，此时单调递增 3分 的极小值为 4分（）的极小值为1，即在上的最小值为1， ，5分令， 6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，在上单调递增 7分 9分在（1）的条件下，10分（）假设存在实数，使（）有最小值3， 当时，所以， 所以在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 12分 当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 14分 当时，所以，所以在上单

22、调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 15分综上，存在实数，使得当时有最小值3 .16分22（本小题满分14分）设函数，已知 ，且（aR，且a0），函数（bR，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。（1）试求a、b的值；（2）若时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。解析：（1）， 又，即 由得，又时，、不成立，故-2分，设x1、x2是函数的两个极值点，则x1、x2是方程=0的两个根，x1+x2=，又 A、O、B三点共线， =，=0，又x1x2，b= x1+x2=，b=0-6分（2）时， -7分由得，可知在上单调递增，在上单调递减

23、， -9分由得的值为1或2（为正整数） -11分时，记在上切线斜率为2的切点的横坐标为，则由得，依题意得，得与矛盾（或构造函数在上恒正）综上，所求的值为1或222.已知函数f(x)x2bsinx2(bR)，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围解：(1)F(x)f(x)2x2bsinx22x2bsinx，依题意，对任意实数x，恒有F(x)F(x)0.即x2bsinx(x)2bsin(x)0，即2bsinx0，所以b0，所以f(x)x22.(2)g(

24、x)x222(x1)alnx，g(x)x22xalnx，g(x)2x2.函数g(x)在(0,1)上单调递减， 在区间(0,1)内，g(x)2x20恒成立，a(2x22x)在(0,1)上恒成立 .(2x22x)在(0,1)上单调递减， a4为所求.23.已知在与处都取得极值。（I）求，的值；（）若对时，恒成立，求实数的取值范围。解：（1）在与处都取得极值，。，即-7分（2）由（1）可知，令得或，在上单调递减，在上单调递增。-10分而 ，所以，即在上的最大值为。-15分要使对任意时，恒成立，必须。24.设函数，且为的极值点() 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；()若恰有两解，求实数的取值范

25、围解： ，又所以且， 4分（I）因为为的极大值点，所以当时，；当时，；当时，所以的递增区间为，；递减区间为7分（II）若，则在上递减，在上递增恰有两解，则，即，所以；若，则，因为，则，从而只有一解；若，则, 则只有一解.综上，使恰有两解的的范围为15分25.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，（）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；（）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值解：(1)设，则切线的方程为，所以，所以，所以为等腰三角形 3分且为中点，所以，得，抛物线方程

26、为 7分（II）设，则处的切线方程为由，同理，所以面积 设的方程为，则由，得代入得：，使面积最小，则得到 令，得，所以当时单调递减；当单调递增，所以当时，取到最小值为，此时，所以，即 15分26.已知函数（x）=,a是正常数。（1）若f(x)= （x）+lnx,且a=,求函数f(x)的单调递增区间；（2）若g(x)=lnx+（x）,且对任意的x,x（0,2，且xx，都有-1，求a的取值范围=-1=0x2或0x，所以函数的单调增区间为（0，）和（2，+）3分因为-1，所以0，所以F=在区间（0,2】上是减函数。 当1x2时，F=ln+，由在x上恒成立。设，所以0（1x2），所以在1,2上为增函数

27、，所以当0x1时，F=-ln+，由-=在x（0,1）上恒成立。令=0，所以在（0,1）上为增函数，所以，综上：的取值范围为 27.已知函数（1）求的单调区间；（2）设，若在上不单调且仅在处取得最大值，求的取值范围解：（1）-2分 若，则，所以此时只有递增区间（-4分 若，当 所以此时递增区间为：（，递减区间为：（0，-6分 （2），设 若在上不单调，则， -10分同时仅在处取得最大值，即可 得出：-14分 的范围：27. 已知函数是常数，且当和时，函数取得极值（）求函数的解析式；（）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围（文）解：（）， 2分 依题意，即解得 4分 （）由（）知，曲线与有两

28、个不同的交点，即在上有两个不同的实数解5分设，则， 7分由0的或当时，于是在上递增；当时，于是在上递减. 9分依题意有. 11分实数的取值范围是.28. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线的方程;(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.若直线的斜率为1,求的长;是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.解：（1）在与处都取得极值，。，即-7分（2）由（1）可知，令得或，在上单调递减，在上单调递增。-10分而 ，所以，即在上的最大值为。-15分要使对任意时，恒成立，必须。29.已知函数处取得极值2。（

29、1）求函数的表达式；（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？ （3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点P，求直线的斜率的取值范围。解：（1）因为 ····················2分而函数在处取得极值2，所以， 即 解得 所以即为所求 ············&

30、#183;·······4分 （2）由（1）知令得：则的增减性如下表：（-，-1）（-1，1）（1，+）负正负可知，的单调增区间是-1，1，所以所以当时，函数在区间上单调递增。 ·········9分 （3）由条件知，过的图象上一点P的切线的斜率为：令，则，此时，的图象性质知：当时，；当时，所以，直线的斜率的取值范围是30.已知动圆G过点F(，0)，且与直线l：x相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E.曲线E上的两个动点A(x1，y1)和B(x

31、2，y2).(1)求曲线E的方程；(2)已知·9(O为坐标原点)，探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由.(3)已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x1x2且x1x24.求ABC面积的最大值.解：(1)依题意，圆心G到定点F(，0)的距离与到直线l：x的距离相等，曲线E是以F(，0)为焦点，直线l：x为准线的抛物线.曲线E的方程为y26x.(3分)(2)当直线AB不垂直x轴时，设直线AB方程为ykxb(k0).由消去x得ky26y6b0，3624kb>0.y1y2，x1x2·.·x1x2y1y29，b26kb9k20，(b3k)20，b3k，满足>0.直线AB方程为ykx3k，即yk(x3)，直线AB恒过定点(3,0).(7分)当直线AB垂直x轴时，可推得直线AB方程为x3，也过点(3,0).综上，直线AB恒过定点(3,0).(8分)(3)设线段AB的中点为M(x