一阶常系数线性差分方程

1、1第四节第四节2一阶常系数线性差分方程标准形式为一阶常系数线性差分方程标准形式为 其其中中, 2, 1, 0 t，常常数数0 a， 函函数数)(tf当当, 2, 1, 0 t 时有定义时有定义. . 如如果果当当 , 2, 1, 0 t时时有有0)( tf，则则称称方方程程 为为一阶常系数一阶常系数齐次齐次线性差分方程线性差分方程， 否则，称为否则，称为一阶常系数一阶常系数非齐次非齐次线性差分方程线性差分方程. . )(1tfayytt (1)01 ttayy(2)(2)称为称为(1)对应的对应的齐次线性差分方程齐次线性差分方程. . 3)(1tfayytt (1)01 ttayy(2)不难证

2、明，不难证明，(2)的通解为的通解为,)(tctaCy C为任意常数为任意常数. . 可以证明可以证明, ,一阶常系数线性差分方程的通解与一阶一阶常系数线性差分方程的通解与一阶线性微分方程有相同的结构，即有线性微分方程有相同的结构，即有 定理定理( (一阶常系数线性差分方程通解的结构一阶常系数线性差分方程通解的结构) ) 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程(1)的通解可表示为的通解可表示为 tttyaCy)(其其中中 ty是是(1)的的一一个个特特解解, , 2, 1, 0 t，C 是是任任意意常常数数. 4 当当 f( (x) )是多项式、指数函数、正弦函数、余弦函是多项式、指数函

3、数、正弦函数、余弦函数以及它们的和差或乘积时，一般可用数以及它们的和差或乘积时，一般可用待定系数法待定系数法求求(2)的一个特解的一个特解. . 讨论三种情形：讨论三种情形：情形情形1 1)()(tPxfm 情形情形2 2tmdtPxf)()( 情形情形3 3tNtMtf sincos)( 5例例1 1求求一一阶阶常常系系数数线线性性差差分分方方程程2321 tyytt 的通解的通解. . 设设特特解解BtAyt ， 解解代入方程得代入方程得 ttyy21BAtA )(2)1(BtABtA 23 t,1, 3 BA得特解为得特解为,13 tyt从而通解为从而通解为,132 tCyttC为任意常

4、数为任意常数. . 6设设特特解解BtAyt ， 代入方程得代入方程得 ttyy1A )()1(BtABtA ,23 t例例2 2求求一一阶阶常常系系数数线线性性差差分分方方程程231 tyytt 的通解的通解. . 解解没有这样的特解。没有这样的特解。7例例2 2求求一一阶阶常常系系数数线线性性差差分分方方程程231 tyytt 的通解的通解. . 解解设设特特解解)(BtAtyt 代入方程得代入方程得 ttyy1,23 t,2tBtA )()1()1(22tBtAtBtA BAtA 2,27,23 BA得特解为得特解为,27232ttyt 从而通解为从而通解为C为任意常数为任意常数. .

5、,27232ttCyt 8一一般般, 当当)(tf是是多多项项式式)(tPm时时，可可按按下下表表设设定定非非齐齐次次差差分分方方程程)(1tfayytt 的的一一个个特特解解 ty： )(tf系数系数 a 的取值的取值 特特解解 ty的的形形式式 )(tPm1 a)(tQm)(tPm1 a)(tQtm 表表中中)(tQm是是待待定定系系数数的的 m 次次多多项项式式. 9设设特特解解ttBtAy2)( ， 代入方程得代入方程得 例例3 3求一阶常系数线性差分方程求一阶常系数线性差分方程ttttyy21 的的通解通解。 解解 ttyy1tBtABAtA2)222( tBAtA2)2( ,2tt

6、 ,2, 1 BA得特解为得特解为,2)2(ttty 从而通解为从而通解为,2)2(tttCy C为任意常数为任意常数. . 10设设特特解解ttBtAy2)( ， 代入方程得代入方程得 ttyy1tBAtBAtA2)(2 tA22 ,2tt 不存在这样的特解。不存在这样的特解。例例4 4求求一一阶阶常常系系数数线线性性差差分分方方程程ttttyy221 的的通通解解。 解解11设设特特解解ttBtAty2)( ， 代入方程得代入方程得 例例4 4求求一一阶阶常常系系数数线线性性差差分分方方程程ttttyy221 的的通通解解。 解解 ttyy1ttBtAtBtA2)1()1( 222 tt2

7、 tBAtA2)2(2 ,41,41 BA得特解为得特解为,2)1(41tttty 从而通解为从而通解为,2)44(2ttttCy C为任意常数为任意常数. . 12一般一般, 当当tmdtPtf)()( 时， 可按下表设定非齐次时， 可按下表设定非齐次差分方程差分方程)(1tfayytt 的一个特解的一个特解 ty： )(tfd 与系数与系数 a 的关系的关系特特解解 ty的的形形式式 tmdtP)(tmdtP)(表表中中)(tQm是是待待定定系系数数的的 m 次次多多项项式式. 0 datmdtQ)(0 datmdtQt)(13设设特特解解tBtAyt2sin2cos ， 代入方程得代入方

8、程得 ttyy21例例5 5求求线线性性差差分分方方程程tyytt2cos521 的的通通解解。 解解tBtA2cos2sin )2sin2cos(2tBtA tBAtAB2sin)2(2cos)2( t2cos5 ,1, 2 BA得特解为得特解为,2sin2cos2ttyt 通解为通解为,2sin2cos22ttCytt C为任意常数。为任意常数。14一一般般, , 当当tNtMtf sincos)( , ,其其中中 , NM是是常常数数，且且 20 , , ，可可以以设设特特解解为为 tBtAyt2sin2cos 其其中中BA,是是两两个个待待定定常常数数. 如果所给差分方程不是标准形式的

9、，必须首先把如果所给差分方程不是标准形式的，必须首先把它化为它化为标准形式标准形式才能应用上面给出的通解公式和选取才能应用上面给出的通解公式和选取特解的有关结论特解的有关结论. . 15例例6 6求求差差分分方方程程051021 tyytt的的通通解解. 设设特特解解BtAyt ， 解解代入方程得代入方程得 ttyy51BAAt66 )(5)1(BAtBtA t25 ,725,125 BA得特解为得特解为,725125 tyt原方程通解为原方程通解为,725125)5( tCyttC为任意常数为任意常数. . 首首先先把把差差分分方方程程改改写写为为标标准准形形式式tyytt2551 . ,1

10、5 a16例例7 7(1) 现现期期某某种种产产品品的的供供应应量量tsQ,由由前前一一期期的的价价格格1 tP确确定定，)(1, ttsPSQ； 供需平衡的市场模型供需平衡的市场模型 基本假设：基本假设： (2) 现现期期该该产产品品的的销销售售量量tdQ,由由现现行行价价格格tP确确定定，即即)(,ttdPDQ ； (3) 现现期期该该产产品品的的供供需需平平衡衡，即即tstdQQ, . 常见的供给函数常见的供给函数S与需求函数与需求函数D均为线性函数，于均为线性函数，于是得到方程组是得到方程组 tstdttdttsQQPQPQ,1, )5()4()3(17解解 tstdttdttsQQP

11、QPQ,1, )5()4()3(其其中中 ,都都是是正正的的常常数数，若若已已知知初初始始价价格格0P，求求现现行行价价格格tP，并并研研究究其其变变化化规规律律. 把把(3), ,(4)代入代入(5), ,即得一阶常系数非齐次线性差分方程即得一阶常系数非齐次线性差分方程 1ttPP 1 ttPP), 1, 0( t求出方程的通解是求出方程的通解是 ttCP18 ttCP令令 P，称称为为平平衡衡价价格格(或或均均衡衡价价格格). 利利用用初初始始价价格格0P确确定定常常数数PPC 0， 可得现行价格可得现行价格tP的公式的公式 PPPPtt )(019PPPPtt )(0 由此可得以下简单结

12、论：由此可得以下简单结论： (1) 若若初初始始价价格格0P等等于于平平衡衡价价格格P，则则现现行行价价格格tP将将始始终终等等于于平平衡衡价价格格； 否则，若初始价格不等于平衡价格，否则，若初始价格不等于平衡价格， 则由于则由于tP中包含因子中包含因子tPP)(0 ,现行价格现行价格tP将始终将始终围绕平衡价格上下波动；围绕平衡价格上下波动； (2) 若若初初始始价价格格不不等等于于平平衡衡价价格格，且且1 ，这这时时现现行行价价格格tP围围绕绕平平衡衡价价格格上上下下波波动动的的振振幅幅将将随随着着 t 增增大大而而逐逐渐渐减减少少，且且 PPtt lim； 20PPPPtt )(0 (3) 若初始价格不等于平衡价格，且若初始价格不等于平衡价格，且1 ，这时现行价，这时现行价格格tP