第四章 根轨迹分析法

1、3.5某控制系统的方块图如图某控制系统的方块图如图3-34。3、求解在这个、求解在这个Kc（Kc1.43）下，系统过渡过程的峰值）下，系统过渡过程的峰值时间和稳态误差。时间和稳态误差。1、当调节器增益、当调节器增益Kc=1, 且系统的且系统的输入为单位阶跃干扰输入为单位阶跃干扰，试求系统的输出响应。试求系统的输出响应。 7 . 0)(lim)(86. 222)()()()()()()(02 ssEesssFsEsYsFsYsRsEs第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法 系统闭环特征方程的系统闭环特征方程的根的位置根的位置决定闭环系统决定闭环系统的的稳定性稳定性和和动态特性。动态特性。 l l

2、 研究研究调节器参数调节器参数与与闭环特征根闭环特征根的变化关系，的变化关系，设计设计 调节器调节器（设计问题）。（设计问题）。l l 研究闭环特征研究闭环特征根的分布与根的分布与闭环系统的闭环系统的动态特性动态特性 之间的定性、定量关系（分析问题）；之间的定性、定量关系（分析问题）；l l 根据控制系统根据控制系统动态特性要求动态特性要求决定闭环极点决定闭环极点在根平在根平 面的位置面的位置（设计问题）（设计问题） ；伊凡思伊凡思(W.R. Evans)创立根轨迹法（创立根轨迹法（1948）几何图解求解特征根几何图解求解特征根l l 系统中某一参数在全部范围内（系统中某一参数在全部范围内（0

3、）变化时，）变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹。系统闭环特征根随之变化的轨迹。l l 可以推广到其它参数的变化可以推广到其它参数的变化广义根轨迹广义根轨迹。l l 可用于单变量系统和多变量系统。可用于单变量系统和多变量系统。l l 常规根轨迹常规根轨迹法以开环增益法以开环增益K做为参数画出根轨迹的。做为参数画出根轨迹的。l l 利用这些在利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控平面上形成的轨迹分析和设计闭环控 制系统。制系统。本章主要内容本章主要内容q 以以K为变量的为变量的常规根轨迹常规根轨迹的绘制方法的绘制方法q 以其它参数为变量的以其它参数为变量的广义根轨迹广义根轨迹的绘制方法的

4、绘制方法q 根轨迹分析方法的根轨迹分析方法的应用应用 利用根轨迹分析和设计控制系统利用根轨迹分析和设计控制系统4.1 根轨迹的概念根轨迹的概念定义：定义：根轨迹根轨迹 系统中某一参数在全部范围内变化时，系统中某一参数在全部范围内变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹。系统闭环特征根随之变化的轨迹。1 根轨迹举例根轨迹举例例例4-1 二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。)1s ( s1 K开环传递函数：开环传递函数： )1()()( ssKsHsG分析：分析： 有有2个开环极点个开环极点,1p, 0p21 没有开环零点。没有开环零点。闭环特征方程闭环特征方

5、程0, 0)()(12 KsssHsG求出求出2个闭环特征根：个闭环特征根：K415 . 05 . 0s2 , 1 （4-1-1） 闭环特征根是闭环特征根是K的函数。当的函数。当K从从0变化，变化， 闭环特征根在根平面上形成根轨迹。闭环特征根在根平面上形成根轨迹。闭环传递函数：闭环传递函数： KssKsHsGsG 2)()(1)(K取不同值：取不同值： （等于两个开环极点）（等于两个开环极点） , 0 KImRe0 (两根重合于两根重合于0.5处处) ,41 K（即（即0K1/4，两根为实根）两根为实根） ,25. 00: K1 0.5 (两根为共轭复数根，其实部为两根为共轭复数根，其实部为0

6、.5),41 KK415 . 05 . 0s2 , 1 )1()()( ssKsHsG, 1, 021 ss, 5 . 0, 5 . 021 ss145 . 05 . 02, 1 Kjs )Im(, 5 . 0)Re(,2, 12, 1ssK5 . 01:, 5 . 00:21 ss总结：总结：q 有两个闭环极点，有有两个闭环极点，有2条根轨迹。条根轨迹。q 根轨迹是从根轨迹是从开环极点开环极点出发点。出发点。q 通过选择增益通过选择增益K，可使闭环极点落可使闭环极点落 在根轨迹的任何位置上。在根轨迹的任何位置上。q 如果根轨迹上某一点满足动态特如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点

7、的性要求，可以计算该点的K值实现值实现设计要求。设计要求。ImRe010.5)1()()( ssKsHsG这是个？阶系统，这是个？阶系统，2q 根轨迹上的点与根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。值一一对应。根轨迹是连续的。)1s ( s1 K例例4-22323 5.0 对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统的阻尼系数的阻尼系数=0.5，确定系统闭环特征根。确定系统闭环特征根。根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。解：解：阻尼角阻尼角计算如下：计算如下：,312 tg60 js2, 121 nn235 . 0j

8、ImRe01 0.5 jKjs 145 . 05 . 02 , 1q 阻尼系数为阻尼系数为0.5时的射线与根轨迹交点处的时的射线与根轨迹交点处的K值可值可以计算出来。以计算出来。 q 与（与（4-1-1）式比较得：）式比较得：,314 K即即K=1。 145 . 05 . 02 , 1 Kjs（4-1-1） 获得系统的根轨迹有两个方法：获得系统的根轨迹有两个方法：q 图解法：利用图解法：利用Evans总结的总结的 规律画出根轨迹。规律画出根轨迹。 近似、简单，尤其适合高阶系统近似、简单，尤其适合高阶系统q 解析法：对闭环特征方程解解析法：对闭环特征方程解 析求解，逐点描绘。析求解，逐点描绘。

9、精确，工作量大精确，工作量大2323 5.0 ImRe01 0.5232, 15 . 0js 4.2 根轨迹绘制的基本规则根轨迹绘制的基本规则1、根轨迹的基本关系式、根轨迹的基本关系式典型的反馈控制系统如图典型的反馈控制系统如图: G(s)H(s)其其开环传递函数：开环传递函数：（4-2-1）)()(sbsaK )()()()(2121nmpspspszszszsK niimiipszsK11)()()()(sHsG其中：其中：K:开环增益开环增益 mizi, 2 , 1, 开环零点开环零点 开环极点开环极点mnnipi , 2 , 1,闭环传递函数：闭环传递函数：)()(1)(sHsGsG

10、闭环特征方程为：闭环特征方程为：1)()(, 0)()(1 sHsGsHsG即即 jsHsGjMeesHsGsHsG )()()()()()(1)()( sHsG它们满足：它们满足：1)()( sHsG, 2, 1, 0 k, 1 0180)12( kG(s)H(s)G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：是复数，在复平面上对应一个矢量：)()(11 niimiipszsK niimiipszsK11)()(K1 miiniizspsK11)()(1 -1 niimiipszsKsHsG11)()()()(绘制根轨迹必须满足的基本条件：绘制根轨迹必须满足的基本条件： （相角公式：积的相

11、角等于相角的和，（相角公式：积的相角等于相角的和， 商的相角等于相角的差）商的相角等于相角的差） )()()()()()(2121nmpspspszszszs 幅值条件幅值条件mnzszszspspspsK 2121相角条件相角条件（积的模等于模的积，商的模等于模的商）（积的模等于模的积，商的模等于模的商）011180)12()()( kpszsKniimii miiniizspsK11)()(, 2, 1, 0 k0180)12( k注意：注意：1. 这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，所有满足以上两式的所有满足以上两式的s 值值都是系统的都是系统

12、的特征根特征根，把它们，把它们在在s平面上画出，就构成了平面上画出，就构成了根轨迹根轨迹。 2. 观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根根轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。画法：画法：1. 利用相角条件，找出所有满足相角条件的利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连值，连成根轨迹。成根轨迹。2. 确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的K值。值。相角条件相角条件)()()()()()(2121nmpspspszszszs 幅值条件幅值条件mnzszszspspspsK

13、2121, 2, 1, 0 k0180)12( k例例4-3 某系统开环传递函数某系统开环传递函数 )()()()(211pspszsKsHsG 分析：分析：在在s平面上，表示平面上，表示开环开环零点，表示零点，表示开环开环极点。极点。2个开环极点个开环极点p1和和p2。设设s是系统的一个闭环特征根，是系统的一个闭环特征根，相角条件：相角条件：, 2, 1, 0180)12(0211 kkppz 可以通过幅值条件，求出此可以通过幅值条件，求出此s值下的值下的K值值:121zspspsk 1z 1p 2p s则它必须满足：则它必须满足：一个开环零点一个开环零点z1，2、绘制根轨迹的基本规则、绘制

14、根轨迹的基本规则例例4-4)2)(1()5()()( ssssKsHsG要求画出根轨迹。要求画出根轨迹。 某单位反馈系统某单位反馈系统分析：分析：1个开环零点，个开环零点，3个开环极点，个开环极点，, 51 z0-5-2-10, 01 p, 12 p23 p规则一、规则一、根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。)()(1sHsG 闭闭环环特特征征方方程程0)2)(1()5(1 ssssK0)5()2)(1( sKsss闭环系统的阶次为闭环系统的阶次为3 ，有，有3条根轨迹条根轨迹 。 闭环极点数闭环极点数 = 闭环特征方程的阶次闭环特征方程

15、的阶次 = 开环传递函数的阶次开环传递函数的阶次= 开环极点数开环极点数例中，例中，,3)2)(1()5()()(阶阶 ssssKsHsG规则二、规则二、 根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。极点，终止于开环零点或无穷远点。 根轨迹是根轨迹是K从从0时的根变化轨迹，因此必须时的根变化轨迹，因此必须 起于起于K=0处，止于处，止于K=处处。观察幅值条件：观察幅值条件：mnzszszspspspsK 2121nipsKi.2 , 1 , 0 必有必有如果如果n m, m条根轨迹趋向开环的条根轨迹趋向开环的m 个零点，而个零点，而另

16、另n-m条根轨迹趋向无穷远处。条根轨迹趋向无穷远处。 对于例题，对于例题，3条根轨迹始于条根轨迹始于3个开环极点，一条止个开环极点，一条止于开环零点，另两条（于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。趋于无穷远处。mizsKi,.2 , 1 , 必有必有)2)(1()5()()( ssssKsHsG规则三、规则三、 根轨迹的连续对称性：根轨迹各分支是连根轨迹的连续对称性：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴。续的，且对称于实轴。证明：（证明：（1）连续性）连续性 从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是

17、连时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连续的。续的。证明：（证明：（2）对称性）对称性因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。根轨迹对称于实轴。Ks415 . 05 . 02, 1 例：例：*规则四、规则四、 实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。例如系统的开环零、极点分布如图。例如系统的开环零、极点分布如图。 01254 5 4P5P0S要判断要判断 和和 之间的线段是否存之间的线段是否存

18、在根轨迹，取实验点在根轨迹，取实验点3p1z,0Sq 开环共轭极点和零点提供的相角开环共轭极点和零点提供的相角相互抵消，相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的的相角由实轴上的开环零极点决定。开环零极点决定。q 处在处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度左边的开环零极点提供的角度均为零，均为零， 相角条件由其右边的零极点决定。相角条件由其右边的零极点决定。q 奇数个奇数个，无论如何加减组合，总能无论如何加减组合，总能使（使（2k1) (k=0, 1, 2,)成立。成立。相角条件相角条件)()()()()()(543211pspspspspszs , 2, 1, 0 k0180)12( k对于例题

19、，对于例题， 在实轴上的根轨迹：在实轴上的根轨迹：0125一条始于开环极点，止于开环零点，一条始于开环极点，止于开环零点，另两条始于开环极点，止于无穷远处。另两条始于开环极点，止于无穷远处。)2)(1()5()()( ssssKsHsG规则四、规则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。渐近线：根轨迹有渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。条渐进线。 渐近线与实轴的夹角为：渐近线与实轴的夹角为： ,.2 , 1 , 0180)12(0 kmnk 渐近线与实轴的交点为

20、：渐近线与实轴的交点为：mnzpnimjji 11l l 它们是针对它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状规则五、规则五、证明：证明： 见图见图4-5。 对于位于根轨迹上某一动点对于位于根轨迹上某一动点s0， 从各开环零极点到这一点的向从各开环零极点到这一点的向 量的相角随量的相角随s0轨迹的变化而变化，轨迹的变化而变化， 当当s0到达无穷远处，各相角相等，到达无穷远处，各相角相等， 令其为令其为，可写成：可写成： 180)12( knm 进而求出渐近线夹角

21、：进而求出渐近线夹角：,.2 , 1 , 0,180)12( kmnk 图图4501254 5 4P5P0S由对称性知，由对称性知， 渐近线一定交于实轴上，其交点实际渐近线一定交于实轴上，其交点实际上相当于零极点的质量重心。上相当于零极点的质量重心。按照重心的求法，可求知交点的坐标按照重心的求法，可求知交点的坐标 mnzpnimjji 11对例对例4-4，mnk 180)12( ), 1 , 0(2180)12( kk,900 )270(9000 交点坐标为：交点坐标为：,12)5(21 即（即（1，j0）。）。渐近线与实轴夹角为：渐近线与实轴夹角为：)2)(1()5()()( ssssKsH

22、sG10125规则六、规则六、 当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点，根当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点，根轨迹进入轨迹进入(离开离开)分离点时其切线与实轴的夹角称为分离角。分离点时其切线与实轴的夹角称为分离角。性质性质: (重点讨论重点讨论实轴实轴上的分离点）上的分离点）q 在此点上必出现在此点上必出现重根重根。 q 利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴 上两相邻开环极点间时，必有一上两相邻开环极点间时，必有一分离点分离点。 q 若当根轨迹出现在实轴两相邻开环零点间（包括若当根轨迹出现在实轴两相邻开环零点间（包括无穷远处）时

23、，必有一无穷远处）时，必有一分离点分离点。 q 根轨迹在该点上对应的根轨迹在该点上对应的K是这段实轴区域的极值。是这段实轴区域的极值。 第一分离点：最大值，第二分离点：最小值。第一分离点：最大值，第二分离点：最小值。 K=0K=0K=K=分离点分离点分离点分离点 根轨迹的分离点：分离点坐标是方程式根轨迹的分离点：分离点坐标是方程式 的解。分离角的解。分离角 l是重根数是重根数。 0 dsdk2 , 1 , 0/ klk 由求极值的公式求出：由求极值的公式求出： 它们可以利用它们可以利用代数重根法代数重根法或或极值法极值法求出。求出。(介绍后者介绍后者)0)()(1)()(1 sasbKsGsH

24、在实轴根轨迹上，求使在实轴根轨迹上，求使K达到最大（最小）值的达到最大（最小）值的s 值值: 0)()( )()()( 2 sbsbsasbsadsdK0)( )()()( sbsasbsa注意：注意：求出结果，需经判断，保留合理解。求出结果，需经判断，保留合理解。如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。)()(sbsaK 在例题在例题4-4中，中， )2)(1()5()()( ssssKsHsG)5()2)(1( ssssK52323 ssssdsdK0103018223 sss02232)5()23()5)(263( sssssss223)5(103

25、0182 ssss解出：解出：94. 6,61. 1,447. 0321 sss对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐标为（标为（-0.447,j0）处。处。 012510.44700902180 求出分离角为求出分离角为:1 规则七、规则七、 根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根。出现虚根。 在例在例4-4中，系统闭环特征方程式为：中，系统闭环特征方程式为： , 0)2)(1()5(1 ssssK0)5()2)(1( sKsss即：即：

26、0)5(2323 sKsssKsKsKsKs5032653210123 劳斯行列式劳斯行列式q当当6-2K=0时，特征方程出现时，特征方程出现共轭虚根，求出共轭虚根，求出K3。 q虚根可利用虚根可利用s2行的辅助方程求出：行的辅助方程求出： 01535322 sKs5js 与虚轴的交点与虚轴的交点交点和相应的交点和相应的K值利用劳斯判据求出。值利用劳斯判据求出。 与虚轴的交点为与虚轴的交点为。5j 例例4-4的根轨迹如图。的根轨迹如图。01251K=.084.447)2)(1()5()()( ssssKsHsG1、画出开环零极点、画出开环零极点2、确定根轨迹根数、确定根轨迹根数3、确定起止点，

27、画出实轴上的根轨迹、确定起止点，画出实轴上的根轨迹4、求渐进线（、求渐进线（nm）5、求分离点、求分离点6、求与虚轴交点、求与虚轴交点3,5 Kj3,5 Kj7、画出根轨迹、画出根轨迹 8、求出特殊点对应的、求出特殊点对应的K值值K值由根轨迹幅值条件求出：值由根轨迹幅值条件求出：如分离点（如分离点（-0.447,j0）处的处的K值：值： 5447. 02447. 01447. 00447. 0 K084. 0 miiniizspsK11规则八、规则八、根轨迹的起始角：根轨迹的起始角：在开环复数在开环复数极点极点px处，根轨迹的处，根轨迹的起始角起始角为：为： nxiiixmjjxxppzp11

28、)()(180起起 在开环复数在开环复数零点零点zy处，根轨迹的处，根轨迹的终止角终止角为：为： myjjjyniiyyzzpz11)()(180终终 若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。证明：证明： 设一系统的开环零、极点分布如图所示，设一系统的开环零、极点分布如图所示， 1P2P3P4P1Z1P 3P 2P 4P Z , 1, 0,180)12()(04321 kkppppz 0s3p 点为从点为从 出发的根轨迹上一点。出发的根轨迹上一点。该点到所

29、有零极点的角度应符合相角条件：该点到所有零极点的角度应符合相角条件：)(18042103pppzp 当当s0一点点趋近一点点趋近p3时，可认为时，可认为3p 3p。起起 为为 处的起始角处的起始角l l 而而p1、p2、p4、z都分别趋近于各都分别趋近于各开环零极点相对于开环零极点相对于P3点的矢量的相角。点的矢量的相角。起起 此时，起始角此时，起始角 可以计算：可以计算：)()()()pppppzp 起起 nxiiixmjjxppzp11)()(180同理可证明终止角。同理可证明终止角。1P2P3P4P1Z1P 3P 2P 4P Z )(18042103pppzp

30、例例4-5 设系统开环零极点图如图。设系统开环零极点图如图。其中其中1P2P3P4P1Z1P 3P 2P 4P Z 图图4-7,85)(013 zp,135)(013 pp,45)(023 pp,90)(043 pp确定根轨迹离开共轭复数根的起始角。确定根轨迹离开共轭复数根的起始角。根据公式：根据公式： 590451358518000000 起起 考虑到根轨迹的对称性，考虑到根轨迹的对称性，起始角起始角p3= -5，p4= 5 nxiiixmjjxxppzp11)()(180起起 例例4-6 作作 的根轨迹。的根轨迹。16)4()()(2 ssKsHsG开环极点开环极点3个：个：44, 03,

31、21jpp 分析：分析：n=3，m=0, 没有开环零点没有开环零点。(在在s平面上的极点处标以平面上的极点处标以“”，)根据根据规则一、二规则一、二 、三、三 ：根据根据规则四规则四，实轴上，实轴上0-为根轨迹。为根轨迹。 分别起始于分别起始于3个开环极点，个开环极点，均终止于无穷远处。均终止于无穷远处。根轨迹有三个分支：根轨迹有三个分支：根据根据规则五规则五，求渐近线，求渐近线:n-m=3条条例例4-6 mnk )12(180 渐近线与实轴夹角：渐近线与实轴夹角： 601渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点： mnzpnimjji 11 1802)300(60003 , 2 , 1 , 0

32、,03)12(180 kk03080 767. 2 -2.76744, 03,21jpp 60没有分离点。没有分离点。例例4-6 根据根据规则七规则七：求出根轨迹与虚轴的交点。：求出根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程：闭环特征方程： 032823 Ksss0323256810123KKKSSSS K=256，必对应于一对纯虚根，必对应于一对纯虚根，2s以以 的系数构成辅助方程的系数构成辅助方程:02568822 sKs322 s66. 532jjs 16)4()()(2 ssKsHsG-j5.66j5.66例例4-6 根据根据规则八规则八求起始角：求起始角： 对对P2，根轨迹的起始角为：根轨迹的

33、起始角为： 1359001802由对称性知：由对称性知：-4-j4处的起始角为处的起始角为45)1(1 tg135 11 tg 44 45 2 3 44, 03,21jpp j5.66-j5.66根轨迹完成。根轨迹完成。 nxiiixmjjxxppzp11)()(180起起 16)4()()(2 ssKsHsG0390 例例4-7 作作 的根轨迹。的根轨迹。)12()1()()(2 sssKsHsG该系统该系统 n=3 ，m=1。根据根据规则一、二、三规则一、二、三：,12, 032, 1 pp1z一个零点：一个零点：有三个开环极点：有三个开环极点：-2-4-6-12该根轨迹有三个分支该根轨迹

34、有三个分支,分别起始于分别起始于p = 0(两条两条)和和p = -12处，处，有一个分支终止于有一个分支终止于z = -1,另两个分支趋于无穷远。另两个分支趋于无穷远。根据根据规则四规则四： 实轴上存在根轨迹是从实轴上存在根轨迹是从-12到到-1之间。之间。例例4-7根据根据规则五规则五：渐近线有：渐近线有2条，条，n-m2。-5.5渐近线夹角：渐近线夹角： mnk )12(180 2 , 1 , 0 k 901)270(9002 渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点： mnzpnimjji 112)1(12 211 5 . 5 -2-4-6-12)12()1()()(2 sssKsHsG

35、例例4-7根据根据规则七规则七、求根轨迹与虚轴的交点。求根轨迹与虚轴的交点。 闭环特征方程是：闭环特征方程是：01223 KKsss0012121210123KsKKsKsKs K0时，第一列元素都为时，第一列元素都为正值，根轨迹与虚轴交点正值，根轨迹与虚轴交点于于K=0处。处。 -2-4-6-12)12()1()()(2 sssKsHsG例例4-7根据根据规则六规则六、求分离点、求分离点 11223 sssK0 dsdk0)1(24152223 ssssdsdk则：则： 02415223 sss s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。可知一部分根轨迹为圆。可知一部分根轨迹为圆。据

36、此，可画出根轨迹。据此，可画出根轨迹。均在根轨迹上。均在根轨迹上。大大Ks1小小Ks2 -2-4-6-1200902180 求出分离角为求出分离角为:)12()1()()(2 sssKsHsG-5.5例例4-7利用幅值条件，可求出分离点的利用幅值条件，可求出分离点的K值。值。 ,78.43)1()12(001111 ssssK代代入入幅幅值值条条件件：把把处处在在18.5s,11 s47.3911223 sssKs2是第一分离点，是第一分离点，s1是第二是第二分离点。分离点。完整的绘出根轨迹如图所示。完整的绘出根轨迹如图所示。-2-4-6-12 miiniizspsK11表表达达式式：代代入入

37、把把处处在在K31.2s,22 s作业：作业：4-7， 4-5 (2)(4) s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。)12()1()()(2 sssKsHsG4.3 广义根轨迹广义根轨迹常规根轨迹以开环增益常规根轨迹以开环增益K为可变参量为可变参量这些参数必须以这些参数必须以线性形式线性形式出现在特征方程中。出现在特征方程中。（如某些开环零极点、调节器（如某些开环零极点、调节器PID参数参数 或者系统的时间常数等）或者系统的时间常数等）广义根轨迹其它参数为变量广义根轨迹其它参数为变量常用的研究方法常用的研究方法把广义根轨迹转换成常规根把广义根轨迹转换成常规根轨迹轨迹，使用常规根轨迹

38、的方法绘制广义根轨迹。，使用常规根轨迹的方法绘制广义根轨迹。1、单参数根轨迹单参数根轨迹绘制广义根轨迹的步骤如下：绘制广义根轨迹的步骤如下：(2) 列写以新的变量表示的列写以新的变量表示的等效等效系统系统开环传递函数开环传递函数(GH )e(1) 写出原系统的闭环特征方程式；写出原系统的闭环特征方程式；l l 概念概念：指具有相同的闭环特征方程：指具有相同的闭环特征方程：eGHGH)(11 l l 做法做法：从原系统的闭环特征方程出发，把与新变：从原系统的闭环特征方程出发，把与新变 量有关的项写到分子上，其余部分写在分母上。量有关的项写到分子上，其余部分写在分母上。 这样，参变量移到这样，参变

39、量移到K的位置。的位置。因而具有相同的闭环特征根。因而具有相同的闭环特征根。(3) 把等效系统的参数当作原系统中的增益把等效系统的参数当作原系统中的增益K，以常以常 规根轨迹的绘制规则，绘制广义根轨迹。规根轨迹的绘制规则，绘制广义根轨迹。绘制广义根轨迹的关键是得到绘制广义根轨迹的关键是得到。 （1）等效开环传递函数）等效开环传递函数以下图所示的调节系统为例说明。以下图所示的调节系统为例说明。 )(saKpGc(s)R(s)Y(s)()(0saKKsGpc 开环传递函数：开环传递函数： eGH 0)( pcKKsa闭闭环环特特征征方方程程：pcKKK ,)(ccKsG 1、为为变变量量。以以cK

40、 0:,0:cKKpcKKK 闭环特征方程相同。闭环特征方程相同。pcKK)(sa)(saKGHe 2、)(saKpGc(s)R(s)Y(s)开环传递函数：开环传递函数：闭闭环环特特征征方方程程： eGH )()()(0sasTKKKKsGdpcpc 0)( sTKKKKsadpcpc闭环特征方程相同。闭环特征方程相同。pcddpcKKKTTKKK/, )1()(sTKsGdcc 为为变变量量。以以dT,pcdpcKKsasTKK )(pcdpcKKsasTKK )()0( 0:,0:dTKpcKKsasK )()0(3、)(saKpGc(s)R(s)Y(s)11()(sTKsGicc )()

41、()(10ssasKKsGiTpc sKKssaKKGHpcTpcei )()(1,/ipcTKKK 闭闭环环特特征征方方程程：0)(1 iTpcpcKKsKKssa。有有相相同同的的闭闭环环特特征征方方程程 0:0:iTKKKKTpci 为变量。为变量。以以iT,广义根轨迹绘制总结：广义根轨迹绘制总结：l l 关键点关键点要把新参数移到原要把新参数移到原K的位置上，利用常规的位置上，利用常规 根轨迹的画法。根轨迹的画法。 等效只等效在闭环特征方程和它的解等效只等效在闭环特征方程和它的解(闭环极点闭环极点) 上，不等效在闭环传递函数上。上，不等效在闭环传递函数上。l l 移动的原则移动的原则是

42、等效系统的闭环特征方程必须和原是等效系统的闭环特征方程必须和原 系统相同。系统相同。必须注意：必须注意： 广义根轨迹只用在分析闭环极点对系统的影响，广义根轨迹只用在分析闭环极点对系统的影响， 不能用于分析整个闭环系统。不能用于分析整个闭环系统。 闭环零点往往是不相同的，而闭环零点对系统的闭环零点往往是不相同的，而闭环零点对系统的 闭环过程也有影响。闭环过程也有影响。（2）广义根轨迹的画法）广义根轨迹的画法绘制当对象的开环极点绘制当对象的开环极点p变化时的广义根轨迹。变化时的广义根轨迹。 例例 4-8 开环传递函数：开环传递函数： )(4)()(psssHsG 开环极点：开环极点： ppp 21

43、, 0 闭环特征方程闭环特征方程:042 pssK=4 等效系统的开环传递函数等效系统的开环传递函数4)(2 spsGHe)2)(2(jsjsps )(4pss R(s)Y(s)分析：分析：l l 等效系统有两个开环极点等效系统有两个开环极点 ，一个开环零点，一个开环零点0。2j l l 根轨迹起点于根轨迹起点于 ，终止于零和无穷远处。，终止于零和无穷远处。2j 渐近线：渐近线：0,1801/18000 aIm(s)Re(s)-2PPP=0j2-j2 求分离点坐标：求分离点坐标： , 0)(1 eGH,42ssp 0422 ssdsdP, 2 s在在根根轨轨迹迹上上2 s4)(2 spsGHe

44、l l 负实轴为根轨迹，有一分离点。负实轴为根轨迹，有一分离点。P=0把把s-2代入代入p的公式，求出此点的公式，求出此点p=4。研究开环极点对闭环极点的影响研究开环极点对闭环极点的影响分离角为分离角为90。K=4)(4pss R(s)Y(s)P=0 无阻尼；无阻尼； 0p4 过阻尼。过阻尼。还可以画出在还可以画出在p=0时，时，K从零到无穷大变化时的根轨迹。从零到无穷大变化时的根轨迹。 此时，系统的开环传递函数为：此时，系统的开环传递函数为： 2)0()()(sKssKsHsG 0, 021 pp闭环特征方程：闭环特征方程： , 02 Ks,Kjs jsK0:,0:根轨迹为两条从原点出发，沿

45、正负虚轴根轨迹为两条从原点出发，沿正负虚轴趋向无穷远处的轨迹趋向无穷远处的轨迹 。求特殊点的。求特殊点的K值。值。0j2(K=4)-j2(K=4)p=02js 在在 处两图都有处两图都有K=4，p=0。比较比较开环极点：开环极点： Im(s)Re(s)-2PPP=0j2-j2P=0K=42、多参数根轨迹、多参数根轨迹当系统中有两个以上参数变化时的根轨迹当系统中有两个以上参数变化时的根轨迹叫作根轨迹族。叫作根轨迹族。根轨迹族的一般做法是：根轨迹族的一般做法是： l l 每次选定一个参数为常数，让另一个参数从零变每次选定一个参数为常数，让另一个参数从零变 化到无穷大，画出根轨迹；化到无穷大，画出根

46、轨迹；l l 随后，改变第一个参数值，重复前面的过程画出随后，改变第一个参数值，重复前面的过程画出 根轨迹。根轨迹。有两种做法：有两种做法：以上述系统为例，绘出当系统开环增益以上述系统为例，绘出当系统开环增益K和开环极点和开环极点p从零到无穷大变化时的根轨迹族。从零到无穷大变化时的根轨迹族。 （1）分别取）分别取K为不同值，画出参数为不同值，画出参数p变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。 此时，等效开环传递函数为：此时，等效开环传递函数为： KspsGHe 2)(l l 对应于任何对应于任何K，都有都有2条根轨迹。条根轨迹。KKl l 复平面上的根轨迹是以原点为圆复平面上的根轨迹是以原点为圆 心，

47、半径是心，半径是 的半圆，与实轴的半圆，与实轴 交点在交点在- 。见图。见图。Kj l l 起点于等效开环传递函数的极起点于等效开环传递函数的极 点点 , 止于零和无穷远处。止于零和无穷远处。)()0(KjsKjssp -1-2-3P=P=0 j1(K=1)j2 (K=4)j3 (K=9)Kjpz 2, 110（2）分别取）分别取p为不同值，画出参数为不同值，画出参数K变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。 此时，开环传递函数为：此时，开环传递函数为：)()(pssKsGo q 对应于任意对应于任意p值都有值都有2条根轨迹；条根轨迹；q 起点在开环极点起点在开环极点0和和-p；q 实轴上根轨迹在实轴

48、上根轨迹在-p和和0之间；之间；q 分离点坐标是分离点坐标是-p/2，分离角为分离角为90；q 2条根轨迹经条根轨迹经-p/2交点后，分别平交点后，分别平行于虚轴，趋向无穷远处。行于虚轴，趋向无穷远处。0-3-2-1 P=2P=4P=0表面看来，表面看来， P=2P=4 上述两图不同，但仔细观察，在两图中，上述两图不同，但仔细观察，在两图中，当当K和和p取相同一组值时，特征根取相同一组值时，特征根s也取相同值。也取相同值。-1-2-3P=P=0j1(K=1)j2(K=4)j3(K=9)()()(pssKsHsG )()(KjsKjspsGHe 如如 K=4，p=4，s=-2，0-3-2-1 3

49、1, 2, 4jspK P=2K=4P=44.4 利用根轨迹分析控制系统利用根轨迹分析控制系统l l 主要分析和讨论影响根轨迹形状的因素主要分析和讨论影响根轨迹形状的因素l l 系统特征根在系统特征根在S平面上的位置与动态指标的关系平面上的位置与动态指标的关系l l 目的在于给出系统设计的指导方向目的在于给出系统设计的指导方向l l 改变或增加开环零极点对闭环特征根以及系统控制改变或增加开环零极点对闭环特征根以及系统控制 质量的影响质量的影响一、一、特征根与系统动态指标的关系特征根与系统动态指标的关系j5010-5112233见图。见图。它们对应的单位阶跃响应过渡曲线见图。它们对应的单位阶跃响

50、应过渡曲线见图。的虚部，的虚部，1和和3有相同有相同2和和3 有相同的实部；有相同的实部；轴有相同的夹角；轴有相同的夹角；1和和2对实对实在在s左半平面有三类共轭复根，左半平面有三类共轭复根，22,11 nnjsdj y1.500.52.5t11.521123共轭复根共轭复根y1.500.52.5t11.52112y1.500.52.5t11.52113y1.500.52.5t11.52123j5010-5112233特征根与系统动态指标的关系特征根与系统动态指标的关系22,11 nnjs1、超调量、超调量和衰减比和衰减比n 超调量超调量%10021 e 衰减比衰减比 212 en dtg1它

51、们与实轴的夹角：它们与实轴的夹角：如果两个复根同处在一条从原点发出的射线上时，如果两个复根同处在一条从原点发出的射线上时， 211tg在在s平面上与实轴有相同夹角的直线叫平面上与实轴有相同夹角的直线叫等等线线，落在等落在等线上的特征根对应相同的衰减比和超调量。线上的特征根对应相同的衰减比和超调量。 越小，系统越振荡，超调量越越小，系统越振荡，超调量越大，衰减比越小，相对的稳定性变差。大，衰减比越小，相对的稳定性变差。 等等线越靠近虚轴，线越靠近虚轴，y1.500.52.5t11.5211212线线等等d dnpt 2122 它是极点虚部的函数。它是极点虚部的函数。 在在s平面上平行于实轴的直平

52、面上平行于实轴的直线叫作线叫作等频线等频线(等等 线线)。d 落在这条线上的极点具有相同落在这条线上的极点具有相同的虚部，它们的峰值时间相同，的虚部，它们的峰值时间相同，振荡频率相同。振荡频率相同。 2、峰值时间、峰值时间tp等频线离实轴越远，则等频线离实轴越远，则tp越短，越短，振荡频率越高，振荡频率越高，tp反比于虚部值。反比于虚部值。 22,11 nnjsy1.500.52.5t11.52113d j5010-5133、调节时间、调节时间ts（过渡时间）过渡时间） %)5(33 nst%)2(44 nst它是极点实部的函数。它是极点实部的函数。 在在s平面上平行于虚轴的直线叫作平面上平行

53、于虚轴的直线叫作等等线线。等等线离虚轴越远，它所线离虚轴越远，它所对应的过渡过程时间对应的过渡过程时间ts越越短。短。ts与实部值成反比。与实部值成反比。线线等等 落在这条线上的极点具有落在这条线上的极点具有相同相同的的实部实部，它们对应，它们对应相同相同的的调节时间调节时间。y1.500.52.5t11.52123n d 23dnnjjs 22, 11等频线等频线综上所述，综上所述， 在五种常用的质量指标中，四种动态在五种常用的质量指标中，四种动态指标可以在根平面中用三种直线表示。指标可以在根平面中用三种直线表示。 l l 衰减比和超调量都可以用等衰减比和超调量都可以用等线代表线代表i0等等

54、 线线等等线线合格区合格区l l 当系统主要的特征根落在这个合格区内时，控制系当系统主要的特征根落在这个合格区内时，控制系 统的质量就可达到原定的要求。统的质量就可达到原定的要求。l l 它们重合的部分符合所有指标。它们重合的部分符合所有指标。l l 这三种直线的合格区域都可以用这三种直线的合格区域都可以用 阴影表示出来，如图中所示。阴影表示出来，如图中所示。l l 振荡频率用等频线代表振荡频率用等频线代表l l 调节时间用等调节时间用等线代表线代表l l 即增加校正装置，改变根轨迹的形状，从而满即增加校正装置，改变根轨迹的形状，从而满 足系统设计的要求。足系统设计的要求。l l 例如，不仅仅

55、改变调节器参数例如，不仅仅改变调节器参数Kc， 而且改变调节器结构，给系统增加而且改变调节器结构，给系统增加 开环零极点。开环零极点。l l 但是，在很多时候，只调整增益但是，在很多时候，只调整增益 不能满足系统的性能。此时必须不能满足系统的性能。此时必须 改造根轨迹。改造根轨迹。l l 当根轨迹落在这个合格区内时，通过选择合当根轨迹落在这个合格区内时，通过选择合适的参数值适的参数值K，使系统的质量达到原定的要求。使系统的质量达到原定的要求。i0等频线等频线等等线线合格区合格区二二、开环极点对根轨迹和系统控制质量的影响、开环极点对根轨迹和系统控制质量的影响例例4-8开环传递函数为：开环传递函数

56、为：)5 . 0)(2 . 0)(1 . 0()(0 sssKsG)12)(15)(110(100 sssK)1)(1)(1(100321 sTsTsTK渐近线：渐近线：35 . 02 . 01 . 0 a180,603)12(180 k夹角夹角:与实轴交点：与实轴交点：27. 0 与虚轴交点与虚轴交点: 001. 017. 08 . 023 Ksss,126. 0 K41. 0js 2151101332211 sTsTsT分离点：分离点：-0.146， dK/ds=0 例例4-8)1)(1)(1(100)(3210 sTsTsTKsG传递函数：传递函数：渐近线：渐近线：180,60 夹角夹角

57、:与实轴交点：与实轴交点：,27. 0 a与虚轴交点与虚轴交点: ,126. 0 K41. 0js 时间常数的变化相当于时间常数的变化相当于开环极点开环极点的变化。的变化。根轨迹如图所示。根轨迹如图所示。10.50-0.5-1-0.1-0.5-0.20如果，如果， 将将-0.2 这个开环极点增大到这个开环极点增大到 0.16，相当于时，相当于时间常数间常数 T2 从从5 增大至增大至6.25，其根轨迹如图所示。，其根轨迹如图所示。可以看出，一个开环极点增大可以看出，一个开环极点增大(向向右移动右移动)，闭环系统的一对主要复，闭环系统的一对主要复根的轨迹必然会向右移动。根的轨迹必然会向右移动。5

58、2 . 012 T10.50-0.5-1-0.1-0.5-0.2013. 0146. 01 . 0126. 038. 041. 025. 027. 025. 6522 分离点：分离点：与虚轴交点：与虚轴交点：渐近线与实轴交点：渐近线与实轴交点：KKjjTT过渡过程时间增加过渡过程时间增加，使系统稳定的使系统稳定的K值下降。值下降。0.1-0.05-0.2-0.4000.05-0.10.05-0.05-0.5-1.5-100例例4-9研究系统中增加极点对根轨迹的影响。研究系统中增加极点对根轨迹的影响。（a）单极点系统单极点系统 5.0 sK（b）双极点双极点 )2 . 0)(5 . 0( ssK

59、10.50-0.5-1-0.2-0.6-.40 （c）三极点三极点 )1 . 0)(2 . 0)(5 . 0( sssKl l 增加开环极点增加开环极点 （在右边增加）（在右边增加）相当于增加系统的时间常数，相当于增加系统的时间常数，使根轨迹向右方移动，使根轨迹向右方移动，降低系统的稳定性，增加系统的过渡时间。降低系统的稳定性，增加系统的过渡时间。l l 原点处增加一开环极点原点处增加一开环极点 相当于在系统中增加积分作用，与图（相当于在系统中增加积分作用，与图（c）类似，降类似，降低稳定性，但可以消除余差。低稳定性，但可以消除余差。作业：作业：4-10，4-14（a:0）, 并说明参数并说明

60、参数a的取值对系的取值对系统阶跃响应性能的影响。统阶跃响应性能的影响。q 它在小增益时是稳定的，在大增益时是不稳定的。它在小增益时是稳定的，在大增益时是不稳定的。q 增加零点后，系统对所有增益值都是稳定的。增加零点后，系统对所有增益值都是稳定的。q 零点越靠近虚轴，根轨迹向左移动，稳定性能越好。零点越靠近虚轴，根轨迹向左移动，稳定性能越好。q 与增加极点的效果相反。与增加极点的效果相反。Z=-0.6Z=-.3Z=-.1没没有零点有零点*三三、开环零点对系统控制质量的影响、开环零点对系统控制质量的影响要使根轨迹向右偏，增加开环极点，向左偏，增加开环零点。要使根轨迹向右偏，增加开环极点，向左偏，增