提升小波变换及其在信号去噪中的应用

1、提升小波变换及其在信号去噪中的应用第20卷第1期2005年3月大连水产学院JOURNALOFDAUANFISHERIESUNIVERSrIMal".2005文章编号:10009957(2005)O1005106提升小波变换及其在信号去噪中的应用郭显久,何东钢,吕显强(大连水产学院信息工程学院,辽宁大连116023)摘要:介绍了提升方法(1iftingScheme)的根本原理,给出了用提升方法构造传统小波的实现方法,并将目前常用的小波转换成提升小波.同时还将提升小波应用到信号去噪中,并进行了数值仿真试验,结果说明,在去噪后信号的信噪比相近的情况下,提升小波与传统小波相比,其优点在于计算

2、简单,编程容易,速度快.关键词:提升方法;小波变换;Lament多项式;信号去噪中图分类号:Tit301.6文献标识码:A小波变换是2O世纪8O年代后期开展起来的应用数学分支,并在近十几年里得到了快速的开展,由于其具有良好的时频局部特性和多分辨分析特性,小波变换在语音,图像,通信,医学雷达,地震,化工,湍流分析等领域都有应用,因此,小波变换是信号处理的前沿课题,也是多学科关注的热点.提升方法(1iftingscheme)是Sweldens和Daubechies等学者于20世纪9O年代中期提出的关于小波构造的一种新方法¨波通过膨胀和平移得到,它们的定义非常灵活,也许定义在某一区间,也许

3、定义在不规那么的网格上J.在二维空间中,小波的定义更加灵活,它不是简单地,有规律地划分二维平面,而是定义在某一曲面上C51.升小波实现滤波还有运算速度快,不需要额外内存,可实现整数小波变换等特点.在本文中,作者用提升方法构造传统小波,并将构造后的提升小波用于信号去噪中.1提升方法设信号s=(s),kZ,sR,将s分解成偶数采样点s.=(s)和奇数采样点s.=(s),e为偶数点下标,o为奇数点下标,这种分解称为懒惰小波变换(1azywavelettransform).由于信号s的各采样点之间存在一定的相关性,因此可以通过s.估计s.,即s.=P(),这就是提升方法中的预测.如果信号之间的相关性很

4、大,那么预测效果会很好,用s.粗略地表示s不会丧失很多信息,这意味着可以扔掉一局部信息,如s.,以到达简练表达的目的.为了完全重建信号s,只能扔掉包含在s.中的关于的那局部信息,而保存二者的差值局部y,即y=s.一P(s.).但是,在这样一种新的表了恢复这些特征,在提升方法中又引人另外一种操作修正操作.即用新得到的来修正s.,修正结果用A表示,即A=s.+(y).简单地说,一个标准的提升方法由3个步骤组成:分解(Split),预测(Predict)和修正(Update).收稿日期:2004-08-30基金工程:辽宁省教育厅资助工程(202130889)mail:dlftredtrcn52大连水

5、产学院第2O卷提升方法的前向变换为r(s,s.)=S(s),y=s.一P(s),(1P)y=s.一),LA=s+U(y),方法的实现步骤如图1的左半局部所示.图1提升方法的前向和逆向变换的实现步聚Fig,1Theliftingscheme:forwardandinversetransform如果得到了前向变换,就可得到逆向变换,这只需改变前向变换公式中的加减符号即可得到,如图1的右半局部所示,这是提升方法的又一个特点.逆向变换的公式如下:rs=AU(y),s.=y+P(s.),(2)ts=(s,s.),实现提升方法的关键是寻找合理的预测算子和修正算子.2用提升方法构造传统小波离散小波变换的一个

6、根本概念是滤波器组,包括分析滤波器组无,罾和综合滤波器组h,g.前向小波变换是把信号s通过低通滤波器无和高通滤波器吾进行滤波,然后向下抽样,得到低频信号A和高频信号y,各自的信息量只为原来信号s的一半.由A和y重建s的过程(即逆向小波变换)是:首先对A和向上抽样,然后各自通过低通滤波器h和高通滤波器g,再把滤波后的两个信号相加即可.其示意图见图2.完全重构条件为fh(z)(z一)+g(z)吾(一)=2,【(z)无(一z一)+g(z)罾(一z)=0.,图2离散小波的前向和逆向变换示意图Fig,2Discretewavelet:forwardandinversetransform器h=hk.,h,

7、其z变换为一Laurent多项式:k2(z)=,=l(FIR)滤波(4)第1期郭显久,等:提升小波变换及其在信号去噪中的应用53可以用多相表示法表示h(z),即:h(z)=.()+Z-Ih.(),其中:h.为包含偶数序号的系数,h.为包含奇数序号的系数,且.(z)=h2,z一,ho(z)=h2lz一,或.():,ho():.对于综合滤波器h,g,定义矩阵P(z)为(5)那么P(z)是h,g的多相表示.对于分析滤波器组元,吾同样可定义(z),此时离散小波变换的多相表示如图3所示.itr一(:一)P(z)(一口),_+一图3离散小波变换的多相表示由图3可以看出,用多相矩阵表示关于小波的完全重构的条

8、件为P(z)P(z)'=J.(7)由于矩阵P(z),(z)的各个元素都是z的Laurent多项式,不失一般性,设矩阵P(z)的行列式为I,即detP(z)=I.如果满足这一条件,那么h,g为互补.由式(7)可得:无(z)=go(z),无.(z)=一(Z-1),(8)吾(z)=一.(z),一吾.()=.(-1).从懒惰小波(Laz)rwavelet)开始,通过提升方法可以把一个已经存在的小波经变换生成一个具有某种特性的新小波,下面的定理便说明了这一构造方法】.定理1(提升定理)如果h,g为互补的滤波器组,那么任何与h互补的有限长滤波器g一可以表示为g"(z)=g(z)+h(z)

9、s(z2),(9)k2其中:s(z)=s为Laurent多项式.反之,任何具有形式g一的滤波器一定与h互补.;l定理2(对偶提升定理)如果h,g为互补的滤波器组,那么任何与g互补的有限长滤波器一可以表示为"(z)=(z)+g(z)t(z2),(10)其中:(z)=一组Laurent多项式通过Euclidean定理进行有限次的分解,可以将其转化为三角矩阵的连乘表大连水产学院第2O卷示.定理3(分解定理)如果h,g为互补的滤波器组,那么存在一组Laurent多项式s(Z),t(z)(1m)和一个非0的常数后,使得P(z)满足:=.pcz=垂(一.一.?1(三一1一1r(./i1Z1/后/

10、1.=,一s.1,I),U根据上述定理,用提升方法构造前向小波变换和逆向小波变换的示意图见图4,5.-章枣团圆几I:图4前向提升小波变换的示意图图5逆向提升小波变换的示意图(11)(12)利用上述3个定理,可将目前比拟常用的小波构造成提升小波,下面通过立方B一样条小波说明其构造过程.立方B一样条双正交综合滤波器组的h,g的z变换为(z)=3+1(z+z一)+1z2+z一),g(z)=-z5_一妾(1+z)一百3(z+z)一(z2+z一),(z)=3+1(z+z一),.(z)=1(z+1),(z)=一(1+z)一(z+z),g.(z)=5(z"Z-1),Pcz=÷i1二)一(

11、1+一z-詈1)-+3一(.Z15+z',l(z+1)一詈(z+z)j'第1期郭显久,等:提升小波变换及其在信号去噪中的应用55Pz=(÷(11+.一(.l+)一(11+一'02.,O''O由式(7)得:z一'=言一ll+(+l一)(÷.+.由上式可得提升小波的前向变换,其逆向变换可由前向变换移项得到,结果见表1.3提升小波变换在信号去噪中的应用设原信号为厂'噪声信号为,含有噪声的信号为厂n,那么厂n=厂+.信号去噪就是在厂n中估计出厂的最正确逼近信号小波去噪的方法是首先对表1用提升方法构造的传统小波进行小波变换:=w

12、f+耽.由于噪声主Tab?1Thetraditionalwaveletformedbyusinglift要分布在信号的高频段,所以先对其小波系数提升小波的前向变换提升小波的逆向变换进行收缩处理,然后利用收缩后的小波系数进y:y÷(A+A+.)y=÷行小波逆变换,到达去噪声的目的.作者给出A;:A+.A:2Aj基于提升小波变换的信号去噪方法也分成3,步:首先对信号进行提升小波变换,每一次变y:一素(A;+A+)=素(A+A+,)换将信号分解为新的近似尺度系数A?和小波A=寺AAl-A一.t系数y;然后对变换后的小波系数进行阈值y:2yyl-y一÷(A+A:+.)收缩

13、;最后对收缩后的小波系数和尺度系数进,.行合成,形成去噪后的信号阈值的设定利用Donoho和Johnstone提出的硬阂值法】,其:二:公式如下:'=,=med(1y1)/o.6745,其中:y?是第n层分解的小波系数;是阈值;为小波系数的样本个数;是噪声的标准偏差估计;reed(?)是中值函数.作者利用此方法进行了去噪试验,并和其它小波去噪进行了比拟.将一维信号(采样点个数为2048点)加上高斯白噪声,噪声方差=0.5,然后分别用Daubechies(9/7)小波和其对应的提升小波进行去噪(图6).同时还给出了两种方法的信噪比,均方差和时间的比照结果(表2).本次试验利用的是Matl

14、ab6.5仿真软件编程,在P2.4计算机上实现.表2两种方法去噪的结果比拟4结果通过试验可以看到,用Daubechies<9/7)小波和其对应的提升小波进行信号去噪时,当到达近似相同的信噪比和均方差时,用提升小波去噪所用的时间远远小于其对应的传统小波去噪,并且计算及编程的复杂度也要小得多.因此,本文中作者给出的信号去噪方法具有较好的实用性.56大连水产学院第20卷32l0.1.2-3-432l0,.12-3_4参考文献0500l000l50020002500t/s(a)原始信号0500l000l50020002500t/s(c)Daubechies(9/7)tJ渡去噪321O.1

15、?2-3_40500l000l50020002500Us(b)参加噪声信号0500l00ol500200025oot/s(d)提升小波去噪图6去噪试验结果1SWELDENSW.Thelifitingscheme:AcustomdesignconstructionofbiorthogonalwaveletsJ.ApplComputHarmonAnal,1996,3:1862oo.2345637SWELDENSW.Thelifitingscheme:AconstructionofsecondgenerationwaveletsJ.SIAMJMathAnal,1997,29:511546.DAUBE

16、CHIESI,SWELDENSW.Factoringwavehtl'llnsform8intoliftingstepsJ.JFourierAnalAppl,1998,4:247269.LOUNSBERYM,DeROSETD,WARRENJ.MuhiresolutionsurfacesofarbitrarytopologicaltapeJ.ACMTransonGraphics,1997,16:3473.SCHRODERP,SWELDENSW.Sphedcalwavelets:EteientlyrepresentingfunctionsOI1thesphereA.ComputerGraph

17、ics(SIGGRAPI-I"172.DONOHODL,JOHNSTONElM.IdealspatialadaptationviawaveletshrinkageJ.Biometrika,1994,81:425455.ERGUNE?Secondgenerationwavelettransformbasedpitchperiodestimationandvoieed/undeeisionforspeechsignalsJ.AppliedA.cousties.2003.64:2541.Lifitingwavelettransformanditsapplicationinsignalde?-noising