高二二项式定理(理科)

1、精选优质文档-倾情为你奉上年 级高二学科数学内容标题二项式定理（理科）编稿老师胡居化一、教学目标1. 理解二项式定理的内容及其通项公式的概念，掌握二项式定理的应用.2. 理解二项式系数与展开式中某项系数的区别，掌握二项式系数的性质及其简单的应用.3. 理解方程的数学思想、转化的数学思想及赋值法等数学思想方法的应用.二、知识要点分析1. 二项式定理：这个公式表示的规律叫二项式定理.（1）二项式的展开式的特点：（i）展开式共有n+1项；（ii）各项的次数之和等于n；（iii）a的次数由n降到0，b的次数由0升到n.（2）二项展开式的系数：）（3）二项展开式的通项公式：，r=0，1，2，表示二项展开

2、式的第（r+1）项.注：（i）二项式的展开式的第（r+1）项与二项展开式（b+a）n的第（r+1）项是有区别的，应用时a，b不能随便交换.（ii）二项展开式的系数与展开式中的对应项的系数不一定相等，二项式系数恒为正.而某项的系数可以是任意的实数.（iii）二项式的展开式的通项公式是，各项的二项式系数是，各项的系数是2. 二项式定理的应用：（1）进行近似计算；（2）证明整除或求余数问题；（3）证明有关的不等式.3. 二项式系数的性质：（1）（组合性质（2）的体现）.（2）（与首末两端等距离的两项的二项式系数相等），即对称性.（3）增减性：当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的

3、.（4）最大二项式系数：当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有（n+1）项，故展开式中间一项的二项式系数最大，即第（项的二项式系数最大.最大的二项式系数是；当n为奇数时，（n+1）是偶数，共有（n+1）项，故中间有两项，即第的二项式系数最大，这两项的二项式的系数相等且最大，为.（5）二项式的系数和是，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即.二项展开式的各项系数和：一般的，设f（x）=的各项的系数和是f（1），其中x的奇次项系数和等于；x的偶次项系数和等于.【典型例题】知识点一：二项式定理及其简单应用.例1. 展开式中的常数项是（ ）A. 1320 B. 1320 C. 220 D.

4、220【题意分析】本题是利用二项式定理求二项展开式中的某项问题，即通项公式的应用.【思路分析】可设第（r+1）项是常数项，利用通项公式及x的次数是零确定r的值，即可确定常数项.【解题步骤】设第（r+1）项是常数项，则，故第10项是常数项.，选C【解题后的思考】关于利用二项式定理求二项展开式中的某项或某项的系数问题，是二项展开式的通项公式的应用，一般设第（r+1）项是要求的项.根据要求确定r的值，即可确定要求的项.易错点：把通项公式中的第（r+1）项误认为是第r项.例2. 利用二项式定理解决下列问题求：（1）（x3）5的展开式中x5的系数；（2）在的展开式中，系数为有理数的项的个数.【题意分析】

5、这两道试题都是二项展开式中的通项公式的应用.【思路分析】（1）假设第（r+1）项是展开式中含的项，根据x的次数是5确定r的值.（2）假设第（r+1）项是有理项，根据通项公式中的各个因数的次数都是整数确定r的取值个数，从而确定有理项的个数.【解题步骤】（1）假设第（r+1）项是展开式中含的项，则Tr1，依题意155r5，解得r2，故（2）240为所求x5的系数.（2）假设第（r+1）项是展开式中的有理项，则Tr1，要使x的系数为有理数，指数50与都必须是整数，因此r应是6的倍数，即r6k（kZ），又06k100，解得0k16（kZ），x的系数为有理数的项共有17项.【解题后的思考】求二项展开式中

6、具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围.应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分.易错点是：在通项公式中漏掉.例3. （1）求证：能被64整除（2）求证：【题意分析】本题是应用二项式定理证明整除问题和证明不等式问题.【思路分析】（1）将已知含有n的式子中的进行变形，即，然后用二项式定理展开.（2），把用二项式定理展开.【解题步骤】证明：（1）333故原式可被64整除.（2）故原不等式成立.【解题后的思考】利用二项式定理证明整除问题时关键是找除数或其倍数的因式，要对已知的式子变形（如）利用二项式定理展开含有除数或除数的倍数的式子或数.证明不等式问题也同样要对

7、已知的不等式进行等价变形，目的是为使用二项式定理创造条件，体现了等价转化的数学思想的应用.【小结】本题组主要是二项式定理的通项公式的应用及利用二项式定理证明整除问题或证明不等式.在通项公式的应用过程中，注意它是第（r+1）项而不是第r项.在证明整除或不等式问题时要对含有n的式子变形为利用二项式定理提供条件.知识点二：求特定项的系数及二项式系数的性质的简单应用.例1. （2x5y）20展开式中各项系数之和是（ ）A. B. C. D. 【题意分析】本题是利用赋值法求二项展开式的各项系数之和的问题.【思路分析】假设各项的系数是，在中取x=y=1代入可求.【解题步骤】假设各项的系数是，令x=y=1得

8、：，选B【解题后的思考】在求二项展开式的各项系数之和问题常采用赋值法，要体会这种数学方法的应用.易错点是：混淆各项系数与各项二项式系数，误选答案C例2. 已知（中第6项的系数与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题意分析】本题首先确定n，要根据n的值确定二项式系数最大的项，要注意二项式系数与某项系数的区别.【思路分析】由已知确定n的值，根据二项式系数的增减性可确定第几项二项式系数最大.对于系数最大的项的确定可以假设第（r+1）项的系数最大是T0，第r项的系数是T1，第（r+2）项的系数是T2，则，由此确定r的值.【解题过程】，故二项展开式（中共有9项，中间一项第5项

9、的二项式系数最大，所以所求的二项式系数最大的项是，假设第（r+1）项的系数最大是T0，第r项的系数是T1，第（r+2）项的系数是T2，由（1）得：，同理由（2）得：，故，即系数最大的项是第6项、第7项，【解题后的思考】对于求二项式系数最大项的问题可根据二项式系数的性质求解，对求系数最大项的问题通过建立不等式求解，本题的易错点是：混淆二项式系数与某项系数的概念.例3. 设，求下列各式的值.（1）（2）（3）【题意分析】本题为采用赋值法求值的问题，根据所求的系数和赋予x不同的值.【思路分析】对于（1）设，则，对于（2）用平方差公式分解得：f（1）f（1）.（3）对于等价于的各项系数之和.【解题步骤

10、】（1）设，则（2） （3）令x1得： 【解题后的思考】像这类求二项展开式各项系数和的问题，或求奇次项系数和、偶次项系数和的问题常采用赋值法解决，要根据不同的系数之和赋予不同的值.【小结】本组三个例题是关于二项展开式的系数的问题，对于二项式的系数问题要利用二项式系数的性质解决，对于求某些特定的项的系数或系数和问题要采用赋值法和方程、不等式的数学思想方法解决.容易产生的错误是：把二项式系数与某项的系数混淆.【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲述二项式定理和二项式系数性质的简单应用.在解决问题的过程中体现了方程的数学思想、不等式的数学思想、转化的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：60分钟，

11、满分60分）一、选择题（共3小题，每题5分，计15分）1. A. B. C. D. 2. 若nA. 一定是奇数B. 一定是偶数C. 与n的奇偶性相反D. 与n有相同的奇偶性3. 在二项式的展开式中，含项的系数是（ ）A. 10 B. 10 C. 5 D. 5二、填空题（共3题，每题5分，计15分）4. 设5. 已知，则b=6. 若的展开式的各项系数之和是32，则n=三、计算题（30分，每题10分）7. 已知（2x）8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x的值.8. 求：（1）（x2）10（x21）的展开式中x10的系数；（2）（x1）（x1）2（x1）3（x1）4（x1）5的展开

12、式中x2的系数.9. 求：（1）的展开式中的常数项；（2）若（2x）4a0a1xa2x2a3x3a4x4，求（a0a2a4）2（a1a3）2的值.【试题答案】一、选择题1. B 解析：原式 2. A 解析：特值法：取n=1时，此时b=1，是奇数取n=2时，此时b=3，为奇数3. B 解析：设第（r+1）项是含的项，则，令103r4知：r=2，故含项的系数是二、填空题4. 解析：5. 40，解析：据题意知：b是展开式中含项的系数，r=2又 故.6. 5， 解析：.三、计算题7. 解：依题意T51120，整理得x4（1lgx）1，两边取对数，得lg2xlgx0，解得lgx0或lgx1，x1或x，故所求x的值是：x1或x.8. 解：（1） （x2）10x1020x9180x8 （x2）10（x21）的展开式中x10的系数是1180179（2） （x