高中数学苏教版必修《1.2.2-空间两条直线的位置关系》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学苏教版必修2第1章1.2.2 空间两条直线的位置关系省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案【省级名师教案】1教学目标2.1 知识与技能 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理4,并能运用判断空间两直线平行; (4)理解并掌握等角定理。 2.2 过程与方法(1)师生的共同讨论与讲授法相结合;(2)让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 2.3 情感、态度与价值观 (1)让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学

2、习兴趣;(2)通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系,逐步提高将立体图形转为平面图形的能力; (3)在学习空间中两直线间的位置关系时,逐步提高辩证唯物主义观点和公理化思想、空间想象能力和思维能力; (4)通过对等角定理证题思路的分析,帮助同学进一步熟悉分析法、综合法,提高同学的解题能力;使学生认识事物之间的相似性和变异性,培养学生科学的严谨态度。2学情分析   空间两条直线的位置关系是苏教版高中数学必修2第一章第二节内容,空间两条直线的位置关系是在平面中两条直线位置关系以及平面的基本性质的基础上提出来的,它既是研究空间点、直线、平面之间各种位

3、置关系的开始,又是学习这些位置关系的基础,使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯,进一步提高学生的空间想象能力,发展推理能力。 空间直线的三种位置关系在现实中大量存在,学生对他们已有一定的感性认识。其中,相交直线和平行直线都是共面直线,学生对它们已经很熟悉,异面直线的概念学生比较生疏。3重点难点重点:异面直线的概念;公理4及等角定理;难点:等角定理的推导及应用。 等角定理解决了角在空间中的平移问题,在平移变换下,角的大小不变。它是两条异面直线所成角的依据,也是以后研究二面角及与角有关的内容的理论基础,而且还提供了一个研究角之间关系的重要方法平移法。4教学过程4.1第一学时4.1.1教学活

4、动活动1【导入】（一）问题情境1.观察立交桥图片和某学校校园图片,把某些实景抽象成直线,观察这些直线的位置关系,引出本节课的课题空间两条直线位置关系。 2.问题:平面内两条直线位置关系有几种?分别是什么位置关系?3.思考:在空间,两条直线的位置关系有几种? 设计意图:问题的目的是引出本节课的教学内容,通过创设情景,激发了学生的求知欲;与学生共同总结概念,进而提高学生的辩证和推理能力;而且从学生周围的实际生活中举例出发,使学生了解数学来源于实际。活动2【活动】（二）学生活动1.请同学们观察正方体 中的平行直线,相交直线有哪些?(举例说明)再看一下图中的直线 

5、;和 平行吗?相交吗?2.数学实验:学生用自己手中的笔作为两条直线摆一摆,并观察,空间两直线的位置关系有哪些?教室内的哪些直线实例?有什么位置关系? 3.结合直观感知,引导学生总结出: 异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线,我们称为异面直线 。强调:“任何”一个平面,是指找不到一个平面,使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。总结空间两直线的位置关系有以下三种: 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面

6、内 没 有 异面直线 不在任何一平面内 没 有思考:分别在两个平面内的两条直线,是不是异面直线?设计意图:这是本节课的一个重点。自己动手操作,为学生提供一个轻松、开放的学习环境,有助于有效地组织课堂学习,有助于带动和提高全体(包括差生)学习的积极性、主动性,更有助于培养学生的集体荣誉感,以及他们的竞争意识。老师的点拨,学生探究实践,进一步加深学生对空间两条直线的位置关系的理解。活动3【讲授】（三）数学建构及应用1.问题:在平面几何中,同一平面内的三条直线a,b,c,如果ab且bc,那么ac,这个性质在空间是否成立呢? 观察下

7、面的长方体和圆柱: 归纳小结: 公理4 平行于同一条直线的两条直线相互平行. 以下为将文字语言转化为符号语言和图形: 思考:经过直线外一点,有几条直线和这条直线平行? 例1.如图,在长方体 中,已知E、F分别是AB、BC的中点.求证: . 证明:连结AC,在ABC中, E, F分别是AB, BC 的中点,所以EFAC. 又因为 AA1BB1 且 AA1 = BB1 BB1CC1 且 BB1 = CC1 所以AA1CC1 且 AA1= CC1 即四边形AA1C1C是平行四边形 所以ACA1C1,从而 EFA1C1. 2.问题:在平面中,如果一个角的两边和另

8、一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。这一结论在空间成立吗?(1)借助多媒体动画演示,与平面时类比并加以推广得出定理;(2)引导学生观察上图中的BEF和B1A1C1的关系归纳: 定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.设计意图: 由于等角定理在平面图形中有接触,因此可以通过类比推广的形式得到,也能让学生更好的认识平面图形与立体图形的异同,以及两者的内在联系,逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力. 师我们已观察到“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等”,(板书定理)现在让我们从理论

9、上对这个命题加以证明。 已知:BAC和BAC的边ABAB,ACAC,并且方向相同,(ABAB且方向相同,即 的方向相同,ACAC且方向相同,即 的方向相同). 求证:BAC=BAC. 分析:对于BAC和BAC在同一平面内的情形,在初中平面几何中已作过证明,下面我们证明两个角不在同一平面内的情形。师在平面几何中,要证明两个角相等,我们用过哪些方法?(学生回忆、思考、发言)生对顶角相等;同腰三角形的两底角相等;平行线中的同位角(或内错角)相等;全等三角形的对应角相等;相似三角形的对应角相等,等等。 师现在BAC与BAC是不在同一平面内的两个角,如何证明它们相等呢? (同学们议论

10、、发言) 生因为它们不是对顶角,也不是同一个三角形的两个角,因而不能用“对顶角相等”或“等腰三角形的两底角相等”来证明,它们不在同一平面内,因而也不可能是同位角或内错角,因此也就不能用平行线的性质去证明。考虑能不能用全等三角形或相似三角形的性质来证。师××同学的分析很好!要想用全等三角形或相似三角形的性质证。首先得有三角形,而现在的图中仅是两个角,为此需要以这两个角为基础,构造出两个三角形,既然是要构造三角形,干脆从全等考虑好了。 在AB、AB、AC、AC上分别截取AD=AD、AE=AE,连结DE、DE,得到ADE和ADE,我们来看这两个三角形是否全等。生这两个三

11、角形已经有两条边对应相等(AD=AD,AE=AE,所作),再有一个条件两个三角形就能全等了。师再找个什么条件呢?找角虽然不可能。若能,我们的问题就解决了,还麻烦什么呢?那就只有集中精力证DE=DE了。大家看怎样来证明DE=DE呢?DE、DE孤零零的两条线段,没有联系,怎样证呢?生(受到孤零零,找联系的启示)添辅助线将DE、DE联系起来,连结DD、EE,若能证明DEED是平行四边形就好了。师怎样证明四边形DEED是平行四边形呢?大家再想想办法看。生只要证明DD= EE就行了。师要想证明DD= EE,还得再找一个“媒介”。能否再找到一条线段,使DD、EE都和它平行并且相等呢? (同学们观察图形、思

12、考分析) 生连结AA。在四边形AAEE中,因为AE=AE,AEAE,所以四边形AAEE是平行四边形,所以EE= AA,同样道理可得DD= AA,由平行公理DD= EE。师至此,问题得到解决,请同学们再把思路理一理,写出定理的证明过程。 (学生再看题,理顺思路,整理信息,请一位同学将证明过程板书于黑板上) 证明:在AB、AB、AC、AC上分别截取AD=AD,AE=AE,连DE、DE,连DD、EE、AA. 师通过理论上的证明,我们说“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等”,无论在平面,还是在空间都是成立的。 把上面两个角的两边都反向延长,可得出下面的推

13、论: 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。师请同学们注意:这个定理及其推论对于平面图形是成立的,对于空间图形也是成立的。平面图形的性质可以推广到空间图形的例子,尽管我们举了数个,但并不是所有平面图形的性质都可以推广到空间图形中来。例如,在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行,但在空间,垂直于同一条直线的两直线可以平行,也可以相交,还可以是异面直线。以后当我们学习了更多的空间图形的性质就会发现,还有许多平面图形的性质不能推广到空间图形.由此可见,根据事物的相似性,我们可以用类比的方法推导出许多新的性质。但又不能滥用类比,若忽视了事物的变异性

14、,就会产生错误的推理,这是在推理过程中需要特别注意的地方。一般地说,要把关于平面图形的结论推广到空间图形,必须经过证明,绝不能单凭自己的主观猜测。 设计意图:等角定理的证明是本节课的难点,启发引导学生,让学生理解通过构建全等三角形去证明。同时让学生掌握证明题的另一种书写格式,用“推出”符合书写,注意和“因为所以”格式的区别和联系。 例2.如图,已知E、E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点,求证:C1E1B1=CEB. 分析:本例是等角定理直接的应用,只要设法证明E1C1EC, E1B1EB.活动4【练习】（四）巩固练习1.设AA1是正方体的一条棱,这个正方体中与AA1平行的棱共有 条. 2.若OA/O1A1 , OB/O1B1 , 则AOB与A1O1B1关系 . 3.如图已知AA,BB,CC不共面,且AA/BB,AA=BB,BB/CC, BB=CC.求证: . 4.已知 分别是空间四边形(四个顶点不在同一平面内的四边形叫空间四边形)四条边 的中点,求证:四边形 是平行四边形. 设计意图:由学生自己独立完成或者同学之间交流合作完成,可增强成就感,调动学生的积极性,