弹性与塑性力学基础－第三章平衡微分方程及应变协调方程

1、弹性与塑性力学基础弹性与塑性力学基础第第 三三 章章平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 3-1 平衡微分方程的概念平衡微分方程的概念 3.1.1 平衡微分方程的概念平衡微分方程的概念 3.1.2 平衡微分方程的建立平衡微分方程的建立 3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程二维直角坐标系下的平衡微分方程 3.2.1 平面应力状态平面应力状态 3.2.2 平面应变状态平面应变状态 3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程二维极坐标系下的平衡微分方程 3.3.1 二维极坐标系下的平衡微分方程适用性二维极坐标系下的平衡微分方程适用性 3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立二维极坐

2、标系下的平衡微分方程的建立弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 3-4 三维直角坐标系下的平衡微分方程三维直角坐标系下的平衡微分方程 3-5 应变协调方程应变协调方程 3.5.1 变形的协调性变形的协调性 3.5.2 应变协调方程应变协调方程 3-6 塑性变形时的不可压缩条件塑性变形时的不可压缩条件弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 3-1 平衡微分方程的概念平衡微分方程的概念 3.1.1 平衡微分方程的概念平衡微分方程的概念 变形体在力

3、学上应遵守平衡原则变形体在力学上应遵守平衡原则 应力之间的变化受到平衡方程的约束应力之间的变化受到平衡方程的约束 连续体应变之间必须满足一定关系即应变协调方程连续体应变之间必须满足一定关系即应变协调方程 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 3-1 平衡微分方程的概念平衡微分方程的概念 3.1.2 平衡微分方程的建立平衡微分方程的建立 设一均质杆，悬挂在固定端受自重作用，应力状态是单向拉伸。设一均质杆，悬挂在固定端受自重作用，应力状态是单向拉伸。 距底端为距底端为x截面，应力为截面，应力为 ，在，在x+dx截面，应力

4、为截面，应力为 ， 微元体的微元体的长度为长度为dx，截面积为截面积为A，重量为重量为 Ax dx ，平衡方程：平衡方程： 平衡微分方程平衡微分方程 积分求解可得积分求解可得 当当x=0时，时， 0，故有，故有C=0即即 (3-1) 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 dxdxd0)(AAdxAdxdxd0dxdCx x3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程二维直角坐标系下的平衡微分方程 3.2.1 平面应力状态平面应力状态 受力的薄板取出一个微小的正平行六面体受力的薄板取出一个微小的正平行六面体 x和和y方向尺寸

5、分别为方向尺寸分别为dx和和dy，z方向的尺寸取为一个单位长度方向的尺寸取为一个单位长度. 薄板受力图薄板受力图 微元受力分析微元受力分析 应力分量是位置坐标应力分量是位置坐标x x和和y y的函数的函数 各面上所受的应力可以认为是均匀分布，作用在它的体积的中心各面上所受的应力可以认为是均匀分布，作用在它的体积的中心弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程二维直角坐标系下的平衡微分方程 3.2.1 平面应力状态平面应力状态 建立平衡方程采用了弹性体变形以前的尺寸建立平衡方程采用了弹

6、性体变形以前的尺寸 不用平衡状态下的、变形以后的尺寸不用平衡状态下的、变形以后的尺寸 通过中心通过中心C并平行于并平行于z轴的直线为矩轴，力矩平衡方程轴的直线为矩轴，力矩平衡方程 ：将上式除以将上式除以dxdy，得到，得到 = =略去微量，略去微量，(亦即亦即dx、dy都趋于零时都趋于零时)，得出，得出 (3-2)弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 2121dxdydxdydxxxyxyxy02121dydxdydxdyyyxyxyxdxxxyxy21dyxyxyx21yxxy0CM3-2 二维直角坐标系下的平衡微

7、分方程二维直角坐标系下的平衡微分方程 3.2.1 平面应力状态平面应力状态 列出列出x轴平衡方程轴平衡方程 ： 两边除以两边除以dxdy，得得 同样，由平衡方程同样，由平衡方程 ：可得一个相似的微分方程：可得一个相似的微分方程 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 0 xF11dydydxxxxx0111dxdyKdxdxdyxxyxyxyx0 xyxxKyx0yF3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程二维直角坐标系下的平衡微分方程 3.2.1 平面应力状态平面应力状态 平面问题应力分量与体力分量之间的关系式平面问题

8、应力分量与体力分量之间的关系式 平面问题中的平衡微分方程平面问题中的平衡微分方程(或纳维叶方程平面问题中简化形式或纳维叶方程平面问题中简化形式) (3-3) 两个微分方程中实际上包含着三个未知函数两个微分方程中实际上包含着三个未知函数 x， y，xy 决定应力分量的问题是超静定的，必须考虑形变和位移，才能解决定应力分量的问题是超静定的，必须考虑形变和位移，才能解 决问题决问题 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 00yxyyxyxxKxyKyx3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程二维直角坐标系下的平衡微分方程 3

9、.2.2 平面应变状态平面应变状态 对于平面应变问题，一般还有作用于前后两面的正应力对于平面应变问题，一般还有作用于前后两面的正应力 z， 但由于它们自成平衡，完全不影响方程但由于它们自成平衡，完全不影响方程(3-2)及及(3-3)的建立，所的建立，所 以上述方程对于两种平面问题都同样适用。以上述方程对于两种平面问题都同样适用。弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程二维极坐标系下的平衡微分方程 3.3.1 二维极坐标系下的平衡微分方程适用性二维极坐标系下的平衡微分方程适用性 求解圆

10、形、柱形、楔形、扇形等形状的物体平面问题的需要求解圆形、柱形、楔形、扇形等形状的物体平面问题的需要 3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立二维极坐标系下的平衡微分方程的建立 极坐标中平面内任一点极坐标中平面内任一点P的位置用径向坐标的位置用径向坐标r及环向坐标及环向坐标 表示表示 考察薄板或柱形体，取出微分体考察薄板或柱形体，取出微分体PACB，设厚度等于设厚度等于1 径向正应力径向正应力 r (沿沿r方向正应力方向正应力) 环向环向(切向切向)正应力正应力 (沿沿 方向正应力方向正应力) 剪应力剪应力 r 、 r 径向体力分量径向体力分量Kr 环向体力分量环向体力分量K 弹性与塑性弹

11、性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程二维极坐标系下的平衡微分方程 3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立二维极坐标系下的平衡微分方程的建立 PB及及AC两面的面积分别等于两面的面积分别等于rd 及及(r+dr)d 微分体微分体径向径向平衡方程（平衡方程（注意：注意： 为微量，为微量， ） 用用 r 代替代替 r ，简化以后，除以，简化以后，除以rd dr，再略去微量，得，再略去微量，得弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程

12、及应变协调方程 02cos2cos2sin2sin)(drrdKddrddrdddrddrdrdddrrdrrrrrrrrr01rrrrKrrrsin,cos12223-3 二维极坐标系下的平衡微分方程二维极坐标系下的平衡微分方程 3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立二维极坐标系下的平衡微分方程的建立 微分体微分体切切向向平衡方程平衡方程 用用 r 代替代替 r ，简化以后，除以，简化以后，除以rd dr，再略去微量，得，再略去微量，得弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 02sin2sin2cos2cos

13、)(drrdKddrddrdddrddrdrdddrrdrrrrrrrr021Krrrrr3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程二维极坐标系下的平衡微分方程 3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立二维极坐标系下的平衡微分方程的建立 由微分体由微分体力矩平衡方程力矩平衡方程，将得出，将得出 r = r ，又一次证明剪应力互等，又一次证明剪应力互等 性。因此，性。因此，二维极坐标系下的平衡微分方程为：二维极坐标系下的平衡微分方程为： (3-4) 这两个平衡微分方程中包含着三个未知函数这两个平衡微分方程中包含着三个未知函数 r、 和和 r = r 为了求解问题必须考虑形变和位移为了求解问题必须

14、考虑形变和位移弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 02101KrrrKrrrrrrrrr3-4 三维直角坐标系下的平衡微分方程三维直角坐标系下的平衡微分方程 在物体内任意一点在物体内任意一点P取微小平行六面体取微小平行六面体 应力分量是位置坐标的函数可以认为体力均布分布应力分量是位置坐标的函数可以认为体力均布分布 列出力矩的平衡方程列出力矩的平衡方程 Mab=0： 除以除以dxdydz，合并相同的项，得合并相同的项，得略去微量，得略去微量，得 yz= zy同样可以得出同样可以得出 zx= xz; xy= yx, 又

15、一次证明了剪应力的互等性。又一次证明了剪应力的互等性。 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 平行六面体微元受力分析平行六面体微元受力分析 02222dzdxdydzdxdydzzdydxdzdydxdzdyyzyzyzyyzyzyz02121dzzdyyzyzyyzyz3-4 三维直角坐标系下的平衡微分方程三维直角坐标系下的平衡微分方程 列出力矩的平衡方程列出力矩的平衡方程 FX=0： (3-5) 空间问题平衡微分方程空间问题平衡微分方程(纳维叶方程纳维叶方程)弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章

16、第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 平行六面体微元受力分析平行六面体微元受力分析 0dxdydzKdxdydxdydzzdzdxdzdxdyydydzdydzdxxxzxzxzxyxyxyxxxx000KzyxzKxzyKzyxyzxzzyxyzyyxzxyxx3-5 应变协调方程应变协调方程 3.5.1 变形的协调性变形的协调性 连续体假设：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性连续体假设：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性 数学观点：要求位移函数数学观点：要求位移函数u、v、w在其定义域内为单值连续函数在其定义域内为单值连续函数 可能结果：变形后出现可能结果：变形

17、后出现 “撕裂撕裂”、“套叠套叠”现象等现象等v “撕裂撕裂”现象后位移函数就出现了间断现象后位移函数就出现了间断v “套叠套叠”后位移函数就不是单值的破坏了物体整体性和连续性后位移函数就不是单值的破坏了物体整体性和连续性v 为保持物体的整体性各应变分量之间必须要有一定的关系为保持物体的整体性各应变分量之间必须要有一定的关系弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 变形变形状态状态分析分析3-5 应变协调方程应变协调方程 3.5.1 变形的协调性变形的协调性 给出应变分量需要求出位移的需要：积分应变位移方程给出应变分量需

18、要求出位移的需要：积分应变位移方程 平面问题有三个这样的方程平面问题有三个这样的方程 但只有两个位移分量但只有两个位移分量 如果没有附加条件一般地说是没有单值解的如果没有附加条件一般地说是没有单值解的 要求应变分量应当满足一定的变形协调条件要求应变分量应当满足一定的变形协调条件 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 zwyvxuzyx3-5 应变协调方程应变协调方程 3.5.2 应变协调方程应变协调方程 二维情况变形协调条件即应变协调方程二维情况变形协调条件即应变协调方程 将将 x对对y, , y对对x的二阶导数相加

19、得的二阶导数相加得 即即 (3-6) 二维情况下用应变分量表示的应变协调方程二维情况下用应变分量表示的应变协调方程 应变分量应变分量 x、 y、 xy满足变形协调之后就保证了物体在变形后不满足变形协调之后就保证了物体在变形后不 会出现撕裂、套叠等现象，保证了位移解的单值和连续性。会出现撕裂、套叠等现象，保证了位移解的单值和连续性。 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 23232222xyvyxuxyyxyxxvyuyxxy22yxxyxyyx222223-5 应变协调方程应变协调方程 3.5.2 应变协调方程应变协

20、调方程 类似地可得类似地可得 三维问题的三维问题的 应变协调方程应变协调方程(3-7) 当六个应变分量当六个应变分量 满足以上应变协满足以上应变协 调方程调方程(3-7)时，时， 就能保证得到单就能保证得到单 值连续的位移函数值连续的位移函数弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 zyxxzyzyxyxzzyxxzyxzzxzyyzyxxyxyxzyzzxyxzyzyxyxzyzxxzxzyzzyxyyx2222222222222222222223-5 应变协调方程应变协调方程 3.5.2 应变协调方程应变协调方程 应

21、变分量只确定物体中各点间的相对位置应变分量只确定物体中各点间的相对位置 刚体位移不包含在应变分量之中刚体位移不包含在应变分量之中 无应变状态下可以产生任一种刚体移动无应变状态下可以产生任一种刚体移动 如能正确地求出物体各点的位移函数如能正确地求出物体各点的位移函数u、v、w。根据应变位移根据应变位移 方程求出各应变分量，则应变协调方程即可自然满足。方程求出各应变分量，则应变协调方程即可自然满足。 因为应变协调方程本身是从应变位移方程推导出来的。从物理因为应变协调方程本身是从应变位移方程推导出来的。从物理 意义来看，如果位移函数是连续的，变形自然也就可以协调。意义来看，如果位移函数是连续的，变形

22、自然也就可以协调。 因而，在以后用位移法解题时，应变协调方程可以自然满足，因而，在以后用位移法解题时，应变协调方程可以自然满足， 而用应力法解题时，则需同时考虑应变协调方程。而用应力法解题时，则需同时考虑应变协调方程。 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第三章第三章 平衡微分方程及应变协调方程平衡微分方程及应变协调方程 3-5 应变协调方程应变协调方程 例题例题1 试确定以下各应变状态能否存在试确定以下各应变状态能否存在?(1) x=k(x2+y2)， y=ky2， xy=2kxy， x= yz= zx (2) x=axy2， y=ax2y， z=axy， xy=0， yz=az3 +by2， zx= ax3 +by2解：解：(1) 将各应变分量代入变形协调方程将各应变分量代入变形协调方程(3-7) 各方程式均能成立，此应变状态是可能存在的。各方程式均能成立，此应变状态是可能存在的。 (2