空间向量解立体几何题讲义(自编精品)

1、精选优质文档-倾情为你奉上空间向量解立体几何题讲义【提纲】一、回顾平面向量的有关知识1、 平面直角坐标系2、 平面向量的坐标表示及运算3、 平面向量的数量积、模及夹角公式4、 平面向量的平行和垂直的的充要条件二、介绍空间向量的有关知识（推广）1、 空间直角坐标系2、 空间向量的坐标表示及运算3、 空间向量的数量积、模及夹角公式4、 空间向量的平行和垂直的充要条件5、 直线的方向向量6、 平面的法向量7、 空间向量的应用（1）证明：平行；垂直（2）计算：角；距离【教学过程】一、复习回顾平面向量的有关知识1、平面直角坐标系2、平面向量的坐标表示及运算3、平面向量的数量积、模及夹角公式4、平面向量的

2、平行和垂直的的充要条件二、介绍空间向量的有关知识（推广）（一）空间直角坐标系1、建立 以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，即三条坐标轴称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面，如图所示。注：作空间直角坐标系时，一般使（或），。2、（正交）基底 用表示（二）空间向量的坐标表示及坐标运算1、坐标表示给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标若，则，如右图所示。若，则，如右下图所示。2、坐标运算若，则

3、（1）（2）（3）（三）空间向量的数量积、模及夹角公式1、设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即规定：零向量与任一向量的数量积为02、模长公式：，其中3、夹角公式：（四）空间向量的平行和垂直的充要条件1、 2、，其中是两个非零向量）（五）直线的方向向量把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量（六）平面的法向量若表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量。在空间求平面的法向量的方法：法1：（直接法）找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。法2：（待定系数法）步骤：建立空间直接坐标系；设平面的法向量为；在平面内

4、找两个不共线的向量和；建立方程组：；解方程组，取其中的一组解即可。（七）空间向量的应用1、证明平行和垂直（1）证明两直线平行已知两直线和,则存在唯一的实数使（2）证明直线和平面平行已知直线和平面的法向量,则（3）证明两个平面平行已知两个不重合平面,法向量分别为,则（4）证明两直线垂直已知直线，则（5）证明直线和平面垂直已知直线和平面，A、B,平面的法向量为,则（6）证明两个平面垂直已知两个平面和及两个平面的法向量，,则2、求角与距离（1）求两异面直线所成的角已知两异面直线，且，则异面直线所成的角的计算公式为： （2）求直线和平面所成的角 已知A,B为直线上任意两点，为平面的法向量，则和平面所成

5、的角为: 当时，； 当时，（3）求二面角已知二面角分别为面的法向量，则二面角的平面角的大小与两个法向量所成的角相等或互补,即或注:如何判断二面角的平面角和法向量所成角的大小关系？ 通过观察二面角的平面角是锐角还是钝角,再由法向量成的角来定之。 通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。（4）求两条异面直线的距离已知两条异面直线,是与两条异面直线都垂直的向量,且，则两条异面直线的距离为 推导：作，垂足为，连结，即为所求，设，则（5）求点到面的距离已知平面和点，,为平面的法向量，则点到平面的距为 推导过程：类似上面方法三、例题选讲例1（2008安徽理）如图，在四棱锥中，

6、底面是四边长均为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）证明：直线（）求异面直线与所成角的大小；（）求点到平面的距离.例2（2005湖南文、理）如图1，已知是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图2（）证明：； （）求二面角的大小.ABCDOO1ABOCO1D例3(2007四川理）如图，是直角梯形，又，直线与直线所成的角为60°（）求证：平面平面； （）求二面角的大小；（）求三棱锥的体积.四、练习题1、（2006福建文、理）如图，四面体中，、分别是、的中点，,.（I）求证：平面； （II）求异面直线与所成角的大小；（III）求点到平面的距离.2、(

7、2007海南、宁夏理)如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点 （）证明：平面；（）求二面角的余弦值3、(2008海南、宁夏理)如图，已知点在正方体的对角线上，（）求与所成角的大小；（）求与平面所成角的大小.4、（2007安徽文、理)如图,在六面体中,四边形是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面，() 求证:与共面，与共面； () 求证:平面；() 求二面角的大小.5、(2006全国卷文、理)如图，、是互相垂直的异面直线,是它们的公垂线段.点、在上，点在上，。 （）证明； () 若，求与平面所成角的余弦值。ABMNCl2l1H例题及练习题参考答案 例1 解：作于点P

8、,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系，则，()设平面OCD的法向量为,则即 取,解得平面 ()设与所成的角为, , 即与所成角的大小为()设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为例2 解:（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1. 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标是，,. 从而，所以ACBO1. （II）解：因为所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是

9、0平面O1AC的一个法向量，由 得. 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，>，所以cos，>= 例3 解：（），又（）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有 设，则由直线与直线所成的解为，得，即，解得，设平面的一个法向量为，则，取，得,平面的法向量取为设与所成的角为，则,显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角大小为（）解法一：由（）知，为正方形（）解法二：取平面的法向量取为，则点A到平面的距离 ，练习1：(1)证明：连结OC.BO=DO,AB=AD, AOBD.BO=DO,BC=CD, COBD.在AOC中，由已知可得AO=1,CO=.而AC=2,AO2+

10、CO2=AC2,AOC=90°,即AOOC. AO平面BCD.（）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，0)，A(0,0,1),E(,0), 异面直线AB与CD所成角的大小为（）解法一：设平面ACD的法向量为,则 令y=1，得=(-)是平面ACD的一个法向量.又点E到平面ACD的距离h=（）解法二：设点E到平面ACD的距离为h. ,·SACD =·AO·SCDE.在ACD中，CA=CD=2,AD=,SACD=而AO=1, SCDE=h= 点E到平面ACD的距离为. 练习2：证明：（）由题设，连结，为等腰直

11、角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为 练习3：解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由ABCDPxyzH可得解得，所以（）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为 练习4：解（向量法）：以D为原点，以DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）（）证明：于是与AC共面，与BD共面.（）证明：内的两条相交直线， 又平面（）解：设于是设于 练习5：解: 如图,建立空间直角坐标系Mxyz.令MN=1, 则有A(1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),ABMNCl2l1Hxyz()MN是 l1、l2的公垂线, l1l2, l2平面ABN. l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,1,0). ·=1+(1)+0=0 ACNB.() =(1,1,m), =(1,1,m), |=|, 又已知ACB=60°,ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在RtCNB中,NB=, 可得NC=,故