成人高考高等数学模拟试题和答案解析

1、成人高考?高等数学(二)?模拟试题和答案解析一一、选择题：110小题，每题4分，共40分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符 合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.1. 当 xt0 时，x2是 x-1 n(1+x)的 丨.A. 较高阶的无穷小量B. 等价无穷小量C. 同阶但不等价的无穷小量D. 较低阶的无穷小量2. 设函数？(sinx)=sin2 x，那么 丫 (x)等于 丨.A. 2cos xB. -2sin xcosxC. %D. 2x3. 以下结论正确的选项是丨.A. 函数？ (x)的导数不存在的点，一定不是？(x)的极值点B. 假设X0为函数？ (x)的驻点，贝y X0

2、必为？ (x)的极值点C. 假设函数？ (X)在点X0处有极值，且？/ (X0)存在，那么必有？/ (X 0)=0D. 假设函数？ (X)在点X0处连续，那么？/ (X 0) 一定存在B. 单调增加C. 不增不减D. 有增有减6设爪巧为奇函数耳连续，又有叭订賦那么 -巧等于()A. F(x)B. -F(x)C. 0D. 2F(x)7.设 y=?(x)二阶可导，且？/ (1)=0, ? (1)>0，那么必有.A. ? (1)=0B. ?(1)是极小值C. ? (1)是极大值D. 点(1, ?(1)是拐点&足可导的连续函数，那么J:厂(施)五等于()A. ?(3)-?(1)B. ?(

3、9)-?(3)C. 1f(3)-f(1)D. 1/3 ?(9)-?(3)9设函数“/件+1闌乎等于f)9. 白HA. 2x+1B. 2xy+1C. x2+1D.A发生的条10. 设事件 A, B的P(B)=0 . 5, P(AB)=0 . 4，那么在事件 B发生的条件下，事件 件概率P(A | B)= 丨.A. O. 1B. 0 . 2C. 0 . 8D. 0 . 9、填空题：1120小题，每题4分，共40分.把答案填在题中横线上.11.仏 e",x<0t设两数只对“在i =的极IB存在，那么"1(1-2*)- ( *>012 .当xt0时，1-cos戈与xk是

4、同阶无穷小量，那么 k= .13 .设 y=in(x+cosx)，贝U y，.14 .设一讥斗1)3*3)广二15设y=r(j)由方程宀#+紗=】确宦那么兽=-16 .设？ (x)的导函数是sin 2x，那么？ (x)的全体原函数是 .仃设加.那么fsr-18 .曲线y=xInx-x 在x=e处的法线方程为 设尸严J那么19. piE+J)十辺“20 .三、解答题：2128小题，共70分.解容许写出推理、演算步骤.(本題总分值8»)计算Um 十口+ sin t) dt一 cos xj(此题IW分建分)计算-.J. 2xlim 厂厂lim - - slim 2( 1 +x )- 2.x

5、-in ( 1 +jc) j：to II - N 亠ILdHrI由于其比的极限为常数2,所以选项C正确.请考生注意：由于分母为x-ln (1+x)，所以此题不能用等价无穷小量代换In (1+x)-x ，否那么将导致错误的结论.与此题类似的另一类考题(可以为选择题也可为填空题)为：确定一个无穷小量的“阶.例 如：当xt0时，x-In(1+x) 是x的A. 1/2阶的无穷小量B. 等价无穷小量2阶的无穷小量3阶的无穷小量这冀劈的解法是：苜先设吠“刃为工的圧阶无穷小比再由lim存在且为个询%有限值，从而确定点值.嘻沁 FTT77* lim -L b 1 林5 2要使上式的极限存在，那么必须有k-2=

6、0，即k=2 .所以，当xt0时，x-in(1坝)为x的2阶无穷小量，选 C.2. 【答案】应选D.【解析】此题主要考查函数概念及复合函数的导数计算. 此题的解法有两种：解法1先用换元法求出？ (x)的表达式，再求导.设 sinx=u，那么？ (x)=u 2,所以？/ (u)=2u，即？ (x)=2x，选 D.- dx.22. (此题总分值8分)设厂严求八23.几T二724彳冒兰艺计利；77'25. (此题总分值8分)一枚5分硬币，连续抛掷 3次，求“至少有1次国徽向上的概率.26. (此题总分值10分)在抛物线y2=4x与x=2所围成的平面区域内作一矩形，其一边在x=2上，另外两个顶

7、点在抛物线上，求此矩形面积最大时的长和宽，最大面积是多少？2 227. (此题总分值10分)设z=z(x , y)由方程ez-x +y+x+z=O确定，求出.28. (此题总分值10分)求由曲线y=x , y=lnx及y=0, y=1围成的平面图形的面积 S,并求此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积vy.参考答案及解析一、选择题1. 【答案】应选C.【解析】此题考查两个无穷小量阶的比拟.C.D.囲为比拟两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确定正确的选项.此题即为计算:解法2将？(sinx)作为？(x) , u=sinx的复合函数直接求导，再用换元法写成 ? (x)的形式. 等式两边对

8、x求导得? / (sinx) C0Sx=2sin xCOSx ? / (sin x)=2sinx用x换sin x，得? (x)=2x，所以选D.请考生注意：这类题是基此题型之一，也是历年考试中经常出现的.熟练地掌握根本概念及解题的根本方法，必能较大幅度地提高考生的成绩.为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握，特将历年试卷的局部试题中的相关局部摘录如下：(肿年)设函数彳耳那么八小寸答案为1弓丫2001年)jt西(庙)丘血利那么尸“2(答案为#I(2004 年)设函数？(cosx)=1+cos 3x，求? (x).(答案为 3x2)3. 答案】应选C.【解析】此题考查的主要知识点是函数在一

9、点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的.要否认一个命题的最正确方法是举一个反例，例如：y=|x|在x=0处有极小值且连续，但在x=0处不可导，排除 A和D.y=x3, x=0是它的驻点，但 x=0不是它的极值点，排除 B,所以命题C是正确的.4. 答案】应选A.解析】此题可用 dy=y / dx求得选项为A,也可以直接求微分得到dy.因为那么聲搖求徽分得所以选人5. 答案】应选D.解析】此题需先求出函数的驻点，再用y来判定是极大值点还是极小值点，假设是极值点，那么在极值点两侧的y/必异号，从而进一步确定选项.因为 y / =ex-1，令 y / =0

10、，得 x=0.又y" =ex>0, x(-1 , 1)，且y" |x=o=1>O,所以x=0为极小值点，故在 x=0的左、右两侧的 函数必为由减到增，那么当 x(-1 , 1)时，函数有增有减，所以应选D.6. 答案】应选B.解析】用换元法将 F(-x)与F(x)联系起来，再确定选项.闪为 Ft - X)- | 旅门山u )/( - u) dti) u/(所盘选乩7. 答案】应选B.提示】根据极值的第二充分条件确定选项.& 答案】应选D.解析】此题考查的知识点是定积分的换元法.此题可以直接换元或用凑微分法.因为厂3巧血厂张M弘幻所以选D.9.【答案】应选

11、B.【解析】用二元函数求偏导公式计算即可.因为当二刍匕*时1"刊选氐10.【答案】应选C.【解析】利用条件概率公式计算即可.二、填空题11.【答案】应填e-2.【解析】利用重要极限n和极限存在的充要条件，可知 因为k=e-2.v-*rf-»r|所Ul聿题只要分别计算:lim&e*= Jim 1 «2ac7 = e'：*-*C_.-4>.h-fO1*旦 rO*1所 ta g 12.【答案】应填2.【解析】根据同阶无穷小量的概念，并利用洛必达法那么确定k值.I -eoa jc 洋必i£施属sin xidV 1-»m 7-rz

12、z*1 【 »in x-hmJ石 * liml 呵.t知“ *欲使其极限值为不为0的常数，貝有&二£所以填2.13.【解析】用复合函数求导公式计算.n In ( x+cds'工(I '-sin x )14.【答案】应填6.【提示注意到厂巩环1坯3牛“/*3需严工创15.曲】咖第【解析】利用隐函数求导公式或直接对x求导.将等式两边对x求导此时y=yx，得. 2x+y【答案】 应填-十血c.A为任 16.【解析】 此题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念.隔为厂(町=»in 2而虫幻的金休氛期救为两认 所以= J( 斗畑妄 2x + C| J

13、dj =- -sin 2耳 + C2 ( C, Ca 为枉意常数.17. ：1【解析】 本厲序查的知识点是厕函数存裡定理，即变上限的定积井7(/>d/ 该区间上的一平原顒数，因此有/<*=()3(1+計止18. 【答案】应填x+y-e=O .【解析】 先求切线斜率，再由切线与法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程.因为yr = ln +1-Xry'斌規V那么法线斜率得匕J当次之时所以崔线方程为-> (耳e ) t Q|) r+y-e = 0.19. 【答案】应填2n.【提示】利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质.20. 苣msuzz!【提示】 将函数z写成z=ex

14、2ey，那么很容易求得结果. 三、解答题21此题考查的是 型不定式极限的概念及相关性质.【解析】含变上限的型不定式极限直接用洛必达法那么求解.r(tJ + sin I) dtj .v J ohmcos xsin sI.sin x注意；假设用尊价尢穷小验代换更为筒捷：2 b * 1.x +sin 工 * ji .*um:=+ I = I*sin x 7 *rrtai v22.此题考查的知识点是复合函数的求导计算. 【解析】利用复合函数的求导公式计算.1杠23. 此题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法.【解析】此题被积函数的分子为二项之差，一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分.另外由于

15、被积函数中含有根式，所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分.解法1 I - 茁宀 arcftin i + C.解法2三角代换去根号.设 x = sin t ndx cos fdt那么f J 1 dx =f »in J - 1 cos fdt 二J(sin亠 i)dt“豊t=-CQA I - I气 GJ1 " -nFr&in jc + (?*24.此题考查的知识点是反常积分的计算.【解析】配方后用积分公式计算.77F77 = rclan<x + ,)arrtan( + I )7TIT7T=注怠：反常枳分也町如下简记:；=arCan (耳 + 1)j1 + 2

16、r + 244千万筌注怠的是僂对不允许写战迥仙2十1-严孑-沪%因为是一个符号不能参加运JL25. 此题考查的知识点是古典概型的概率计算.【解析】枚歩分靈币抛掷1次可能出现2种情阮：正面或反面国徽或字面，连缤撅掷了 次共有Q Y： C>S沖可能莆况一iJt4 = |至少有】次国徴向上| k|HU±|全都是字面向上I ,故P(A)=j-(A)=l-P(A) =26. 此题考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法.【解析】此题的关键是正确列出函数的关系式，再求其最大值.解如图2-7-1所示，设A点坐标为xo, yo，那么AD=2-Xo,矩形面积團 2-7*1需工厂扌那么丿厂;陌，此

17、时由于只有唯一极值点.整据宝际问眩知.矩形杓论为2冷二矗*宽为2 = y吋面枳扯大. 最大面积为2净.27. 此题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法.I【解析1求二元總函数全微分飽姜犍星先戒出偏异数吕与宇怡后代人会式企=吕血+dx Syot-dy.而求乎与也的力法主耍有:直接求廿法、公式法以及徽分眩.&ydx fly伍中白接求导柱时考生一定要注意:等式-*1+/+*+1 = 0中的黑罷尖的函数，对就或刃 求导时，式子"心y)中只或詁应觇为常数最的出誌或卷) 利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x , y, z)=e z-x 2+y2+x+z ,然后将等式两边分别对 x，

18、y，z求导.考生一定要注意：对x求导时，y, z均视为常数，而对y或z求导时，另外两个变量同样也视为常数.也即用公式法时，辅助函数F(x , y,z)中的三个变量均视为自变量.解法1直接求导法.等式两边对x求导得&z 2r-1血“卉1等式两边对丁求导得(2dr1 )djF2ydy).£丄-+2 V+1 = 01dy dy解法2公式法.设Fxe1 -x5 +y +x+z.因为昕 r t-i <1F， i2x+1 * = 2y T- = p +1 , Hjcdydz那么有dr(1甘= -砒 dy 7 eJ+那么Hzdx吞- 亠=» &x寻 FeJ+1dF些 *#+l所以Sg<H辭解法3微分法. 对等式两边求微分得己血-2工dx+2 丁心尸tk卡dr匚0.解得也三：【加1血-2弹1刃e +1三种解法各有优劣， 但公式法更容易理解和掌握.建议考生根据自己的熟悉程度，牢记一种方法.28. 此题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法.【解析】首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形，然后根据此图形的特点