常微分方程课后答案(第三版)王高雄

1、习题一、解以下方程，并求奇解如果存在的话41、y 2x3 x2 巴 dx dx解：令dy p，那么y 2xp dx两边对x求导，得p 2p_ dp2xdx1 2xp32x空dx0得p0时，x12pp 0得xc2, y2c 2 c5ppcp从 1 2xp33,y2xp44x2p332 ?4p经检验得p 0为参数，12?30为任意常数是方程奇解.2dydx解:令矽p，那么yx2p，dx两边对x求导，得p1 2pdpdxdpp 1dx2p，解之得x 2pIn p12c，所以y2p p2In p1 2c，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.dpdx2dy3、y x巴 Jdx Y dx解：这是克莱洛方

2、程，因此它的通解为cx 1 c2 ,y cx . 1 c2 从 cx Tc20中消去c'得到奇解y1 x2解：这是克莱洛方程，因此它的通解为2cx c ,从y cxx 2c中消去c,得到奇解4yx20.5、Adx解：令dydx2xdy yP，贝U y 2xp p2两边对x求导，得pdxdp52p 2xdp dx$ 2 ,p解之得23P22cp ，13p可知此方程没有奇解.所以yicp ，32& xdy y0解：原方程可化为yx鱼dx1dy 2 'dx这是克莱罗方程，因此其通解为1y cx ，c1cx 2c2c 30中消去c,得奇解27x2 4y30.dy dydx dx

3、解：令dydx两边对x求导，P，那么yx1ce p 2p所以y c p 1 e p可知此方程没有奇解8、dyx dxxa 20解:dy2x2 adxXdy dxx axdyxa . dxP Xy2 32312 ax229y2 2c 4x x 3a可知此方程没有奇解小 dy 1 dy y 2xdx 3 dx解：令dy p，那么ydx两边对x求导，2x133P，2亚p2亚 dx dx解之得所以2xdpdxP 21210、巴dx2P 221322P3 P2 3p 433ln6ln p 22也是方程的解，但不是方程的奇解32dy dy dx dx这是克莱罗方程，因此方程的通解为y cx c c2，2从

4、y cx c c中消去c,x 1 2c得方程的奇解x 12 4y 0.二求以下曲线族的包络.1、 y cx c2解:对C求导，得x+2c=0,代入原方程得，x2 ,x27，经检验得，y2是原方程的包络.42、c2 y cx210解：对c求导，得2ycx20, c2x2y，代入原方程得4x4y4 x2y即 x4 4y 0，经检验得x4 4y 0是原方程的包络.解：对C求导，得£(x-c)-2(y-c)=0,c - y2代入原方程得x y 28.经检验，得xy2 8是原方程的包络.4、 x c2 y2 4c解：对C求导，得-2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得4 y24x2, y

5、24x1,经检验，得y2 4x 1是原方程的包络.(三)求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之 和等于常数c.解：设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系，那么曲线上任点x,y(x)的切线方程为丫 yx y x X x，它与X轴、丫轴的截距分别为X x_y yY y xy，按条件有x y xy a，化简得yyxyay1 y，这是克莱洛方程，它的通解为一族直线ac cx1 cacy cx -它的包络是1 c ，ca ac0 x21 c 1 c消去c后得我们所求的曲线4ax x y(四)试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的C-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从y cx fc中消去p后而得的曲线；0 x f cC-判别曲线就是用c-消去法