北交大激光原理-第4章-谐振腔部分

1、第三章光学谐振腔理论一、学习要求与置点难点学习要求1. 了解光学谐振腔的构成、分类和模式等根本知识，及其研究方法。2. 理解腔的损耗和无源腔的单模线宽。3. 掌握传播矩阵和光学谐振腔的稳定条件。4. 理解自再现模枳分本征方程，了解针対平行平面腔模的数值迭代解法，理解针对 球面对称共焦腔模式积分本征方程的近似方法及其解。5. 京握等价共焦腔方法，韋握谐振腔的模式概念和光束特性。6. 了解非稳腔的模式理论。重点1. 谐振腔的作用，谐振腔的构成和分类，腔和模的联系:2. 传播矩阵分析方法：3. 光学谐振腔的稳定条件；4. 模自再现槪念：5. 自再现模积分本征方程的建立，及其近似；6. 球面对称共焦腔

2、积分本征方程的近似方法，及其解；7. 谐振腔的横纵模式和光束特性：8. 稳定谐振腔的等价共焦腔。难点1. 传播矩阵的近似；2. 非稳腔：3. 模自再现概念：4. 自再现模枳分本征方程的建立5. 球面对称共焦腔积分本征方稅的近似方法，及其解：6. 谐振腔的横纵模式和光束特性：知识点总结腔的作用tK!和澳的联系的电踣O篇霊何分柿0 0 腔内“在的电破场 O激尢樓式模式的形成亠竺一比场分布T反映腔内光场的分布模式的农小方法：7£札*“橫棋指数.旷纵模描数衍射用论*不冋權兀按场分布.播耗.谐按離率来区分几何尢欤+干预仪FP论|忽略检边绎引俎的衍射效应不网懊式按传箱方向和区分-机略但简爪明了比

3、腔的旳忆光f的平均妤甜一九海腔的Qtfl无液腔的线宣i<4+D>in 适用任何彤式的腔X；： .匹妙区聯1X + D-±1絡界陀n只使川TM的共轴球面乞腔5腔1.谐振腔衍射枳分方用推导菲汎尔M尔娥夫枳分公式T推广到谐按肿一1再现模枳分方秤一二解析解，特殊腔对称其使腔J尿徂曲数一揣佃和郴位分布答411位闻 散值求解数tfl込代汕jT本曲血-樸的按*匕 相松用谐报力半5 f牒緻叭"叫*心“刃"E*用仪分估：股财?l«UW尊柏位向*«««=几-L| 一【mug 叱 g席事權 W>.：i- zPy)- J自爭典 備

4、 n 的 门MM长怖球績iBWIt*： 48後泉t1a0_y T°r 舟【与代."切*=如0“ E 出住分布，反射債梅成»«H位面共R与4定球IUH的巧价关条再析尤来只內ME解能轉ifttih单訝相移：*_ 巧匸7>(+2|»*4)=iff*件亠-mj亢切三、典型问题的分析思路1. 纵模间隔问题根据纵模频率间隔的公式计算=，问题还可以变为腔长如何选择，町获得单纵模2厶输出等。2. 分析某一谐振腔的稳定性问题这类问题分三种情况，第一种是只由两个球面镜组成的共轴球面镜腔，町以利用卜面的稳 定腔判据公式：Ovyg/Vl or & = g

5、n = OLLgi=1_V2=第二种情况是两个球面镜组成的共轴球面镜腔中插入其它光学元件。这时要首先写岀这个谐振腔的传输矩阵。利用下面的稳定判据公式：-1<1(4 + D)<1 稳定腔2扣+Q丿>1非稳定腔-(A + D)=±临界腔2分析谐振腔各参数所应满足的条件。第三种情况是非共轴球面镜腔，如折叠腔和坏形腔。求环形腔、折叠腔的往返矩阵时，要 将其化为直腔，如果考虑象散，需要对往返矩阵的修正。对于共轴球面镜腔的近(傍)轴光R线/=而对于环形腔和折叠腔(非共轴球面腔)，由于彖散，球面镜在子午面和弧欠面的焦距不共点。其中子午面为环形回路所在平面，弧矢面为包含回路一边长，

6、垂直于子R午而的平面。对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，昇午=-cosO.对于在与此R垂直的平面内传输的弧矢光线，矢二宀去，&为光轴与球面镜法线的夹角。2 cos a3 .谐振腔损耗问题光学谐振腔枳分方程的特征值Y =古'邛、它的实部决定腔损耗，特征值7的虚部决定光波 的单程相移。将特征值代入Uq+弓 Uq中得：5钛=刊严。即表示腔内经 单程度越后自再现模的振幅衰减。即/的实部决定腔损耗，0表示每经一次度越的相 位滞后，所以/的虚部决定的单程相移。单程损耗:臨=i-|-L| =i-|n|2 = i-|ZmZn |2单程相移： = arg = aigcr1crn/ mt共焦

7、腔模的谐振条件方形镜共焦腔谐振频率畑=q +丄仙+ + 12曲=协2卩2肚2圆形镜共焦腔谐振频率v,w =亠q +丄加+ 2n +12厶24.共焦腔问题例如求方形镜或圆形镜共焦腔面上各阶低阶横模的节线位置。 对于方形镜共焦腔，镜面上的高阶横模与基模光斑尺寸之比为也=J2加+ 1, 比=血+ 1% %而圆形镜共焦腔镜而上的高阶横模的光斑半径W曲=扣+ 1 +知只要求得了镜而上基模光斑的人小，就町求出高阶横模的光斑半径。我们知道方形镜和圆形镜镜而上基模光斑的人小都为=方形鏡共焦腔和圆形镜共焦腔的基模光束的振幅分布.基模光斑尺寸.等相位面的曲率半 径及光束发散角都完全相同。x2+y2基模场振幅分布甩

8、3同=編民Wo二帀 毗Z叫憑面上基模的光斑叫高斯光束的基模的腰斑T径，坐标原点选在腔的小心。腰斑尺寸:镜面上光斑尺寸：W="'仕f= % =共俺肿基榄体积： 啜=才加说=高阶模体积:嚅二舟L% %二J2m +12门+ 0身模阶次愈高模体积愈人等相位面共焦场的等相位面近似为球面的曲率半径：/?亿=% +上=川+丄0 I / Z。丿 |0 = ±/ = ±|/?t0 = 2/ = L等相位面与共焦腔镜面亘合。Zo=oRQT吆Zo->°°尺心一>8等相位面为平面5. 一般稳定球面腔问题可以借助于其等价共焦腔行波场的解析解的特性表达

9、出热 此处町参考教科仏6 非稳定谐振腔问题 关于非稳定谐振腔的问题主要包括求出共轨像点片和匚的位置：计算非稳腔的能量损耗 率、几何放大率等。共轨像点片和E的位置分别为由球面镜成像公式L+h r r21 1 _ 2解得:! _-L(L-R2) +Jl(L-RJx(L- RJx(L- RJ1_2L-R-Rf _UL_R)十 JL(L- RJx(L- Rjx(L-RJ/2L &-凡几何放人率镜的单程放大率“=玉a.镜的单程放大率心=乞 a2非稳腔对几何自再现波型在腔内往返-周的放人率M = “冬a ' R对望远镜非稳定腔实共焦腔和虚共焦腔平均单程能量损耗 亦=1 一 "7?

10、=1-=1- 叫 m2 M往返能量损耗氟=I垠存I 一法U!、思考题1. 光学谐振腔的作用是什么？2. 允学谐振腔的构成要索有哪些，各自有哪些作用？3. 光学谐振腔有哪些常用研究方法？4. 什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？5. 比学谐振腔的横模模斑形状是客观存在，还是有人为因素，为什么？6. 光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？稳定条件的导出根据何在？7. 所谓“自洽在光学谐振腔模式讨论中是如何应用的？& 谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要求光线相对于光轴的偏折角小于90度。因此， 谐振牌稳定条件是不是一个要求较低的条件.为什么？9. 其焦腔

11、是什么腔？稳定性如何？10. 共焦腔是不是稳定腔？为什么？11. 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？12. 试分析ABCD定律在光学谐振腔分析中的作用。13. 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？14. 非稳腔的优点是什么？15. 几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？16. 光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？17. 稳定谐振腔右哪些町能的形式？与非稳定谐振腔相比有哪些缺点？18. Fox-Li的数值迭代法解平行平面镜谐振腔，有哪些结论，有哪些意义？19. 分别由方形镜和岡形镜组成稳定谐振腔有没有区别，为什么？20. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值卩的实部决定腔损

12、耗？21. 为什么说光学谐振腔枳分方程的特征值/的虚部决定光波的单程相移？22. 稳定球而谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗l-1/r，它与单程衍射损耗因子之间有何 关系？23. 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗人小，你愿意用哪个，为什么？24. 为什么说对称共焦腔非常重要？25. 试由行波场导出圆形镜共焦腔内的波前表示。26. 同一个光学谐振腔中的不同横模，右什么异同？27. 高阶横模的不同模斑假设相遇，能否干预，为什么？28假设A激光器的激光束经透镜变换匹配地射入B激光器，E激光器的激光束能不能匹配地射入A激光器为什么？29能否得到稳定谐振腔横模的解析表示，为什么？U!5.证明；卜列

13、图所示的直角全反射棱镜的传播矩阵为-12d7-1O折射率为的1. 光学谐振腔的作用。是什么？2. 光学谐振腔的构成要素有哪些，齐自有哪些作用？3. COj激光器的腔长L=,增益介质折射率n=l.腔镜反射系数分别为门=0.985,门= 0.8,忽略其它损耗，求该谐振腔的损耗5,光子寿命匚，0值和无源腔线宽 卩O4.证明：卜列图所示的球面折射的传播矩阵为1弘一几0。折射率分别为7,%的两介质分界球面半径为棱镜高d。6.导出以下图中K7. 己知两平板的折射系数及厚度分别为山，亦心山。两平板平行放豐，相距/,(2)两平板紧贴在一起，光线相继垂直通过空气中这两块平行平板的传输矩阵，是 什么？8. 比学谐

14、振腔的稳定条件是什么，令没右例外？谐振腔稳定条件的推导过程中，只 是要求光线相对于光轴的偏折角小于90度。因此，谐振腔稳定条件是不是一个要 求较低的条件，为什么？9. 有两个反射镜，镜面曲率半径，/?i-50cm, /?：-100cm,试问：(1)构成介稳腔的两镜间距多大？构成稳定腔的两镜间距在什么范附？(3)构成非稳腔的两镜间距在什么范围?10. 共焦腔是不是稳定腔，为什么？11. 腔内右其它元件的两镜腔中，除两腔镜外的其余局部所对应传输矩阵元为曲 腔镜曲率半径为、凡，证明：稳定性条件为0 V g,g2 V1,其中g严D-B/&； g严A B/R,。12. 试求平凹、双凹、I叫凸共轴

15、球面镜腔的稳定性条件。13. 激光器谐振腔由一面曲率半径为Im的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成， 工作物质长，其折射率为1.52,求腔长厶在什么范圉内是稳定腔。14. 如卜列图所示三镜坏形腔，/,试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲 率半径R在什么范阳内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔，在这种情 况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，f二&。s处，对于在于此 垂直的平面内传输的弧矢光线，f = RA2Cos0),劝光轴与球面镜法线的夹角。15. 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？16. 试分析ABCD定律在光学谐振腔分析中的作用。17. 一般稳定球面镜谐振腔与其等价

16、共焦谐振腔，有什么相同，启什么不同？18. 非稳腔的优点是什么？19. 几何损耗存在干哪一类型的谐振胯中？20. 光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？21. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值/的模决定腔损耗？22. 为什么说光学谐振腔枳分方程的特征值/的幅角决定光波的单程相移？23. 稳定谐振腔有哪些可能的形式？与非稳定谐振腔相比冇哪些缺点？24. 光学谐振腔有哪些常用研究方法？如何理解自再现模？采用衍射积分方程方法研 宪激光器的模式利采用几何光学的方法硏究各有什么优缺点？25. 什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求齐是什么？其中侖有什么物理思 想？26谐振腔腔长厶=Im,介质折射率

17、=1,两腔镜反射系数分别为n = l,几=0.99, 求1500MHz线宽内包含的纵模个数。27. R = 100cm ,厶=40c的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？28. 假设法卜里一6，它的自由谱宽为多少，能否分辨A = 6x10 mm,从的HeNe 激光谱线？29. FoxLi的数值迭代法解平行平而镜谐振腔，右哪些结论，有哪些总义？30. 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗1-1/尸，它与单程衍射损耗因子之 间有何关系？31. 试由方形镜共焦腔内行波场，导出腔内等相位面表示。32. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？33. 高阶横模的不同模斑假设相遇，能否干预，为什么？34

18、. 分别由方形镜和圆形镜组成的稳定谐振腔有没有区别，为什么？35. 能否得到稳定腔横模的解析表示，为什么？36. 为什么说对称共焦腔非常重要？37. 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗人小，你愿盘用哪个，为什么？38. 腔长LFm的双凹稳定腔，两腔镜的半径分别为R严,忌=3m,求其等效共焦腔 的腔长，并画出等效共焦腔的位置。39. 方形孔径共焦腔氨氛激光器，腔长L=30cm,腔镜反射率分别为n = l,门，方形 孔边长d=2a=.其它损耗以每程0.003计，工作波长A imu此激光器能否作单 模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEMjo模，小孔的边 长应为多人？试根据公式

19、e占=1 + 3x10订估算氮氛增益，/为增益介质放电管a长度。40. 腔长L的对称双凹腔，反射镜曲率半径为/?=厶，工作波长为兄，求镜面上的基模 高斯光束的光斑半径。41. 今有一平而反射镜和-曲率半径为/?=lm的凹面反射镜，问：应如何构成-平- 凹稳定腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长的关系曲线。42. 试导出如卜腔型所对应的共轨共焦腔结构利输出光参数。R=lm43. 试求出方形镜共焦腔面上TEM。模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？44求圆形镜共焦腔TEM0和TEM模在镜而上t斑的节线位豐。45. 腔长L=0.8m的球面腔，腔镜曲率半径分别为丘=和忌Tm。试证明该腔为稳定

20、腔;求出它的等价共焦腔的参数：在图上画出等价共焦腔的具体位置。46. 某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm, /?=2m, 2a=lcm,久= 10.61屮。 试计算企、%、%、宛、殆各为多少。47. 试证明，在所tia2/LA相同而R不同的对称球面镜稳定腔中，共焦腔的衍射损 耗最低。L表示腔长，R = R = R】为腔镜的曲率半径，a为镜面半径。4&推导出平凹稳定腔基模在镜面上光斑人小的表示式，做出：1当/?=100cm时, %、企随厶而变化的曲线：当L=100cm时，佥随R而变化的曲 线。49. 平凹腔中凹面镜曲率半径为/?,腔长LR,光波长为几，求此平凹腔产生的基模高 斯光

21、束的束腰半径。50. 试证明经过焦距为F的薄透镜，高斯光束的q参数传播满足ABCD定律。51. 假设A激光器的激光束经透镜变换匹配地射入B激光器，B激光器的激光束能不 能匹配地射入A激光器，为什么？52. 己知一高斯光束束腰半径为束腰与焦距为/的薄透镜相距为/,经透镜变换后 传输距离厶，又经一折射率为心 长厶的透明介质后输出如卜列图所示，求：1高斯光束在介质出射面处的g参数和光斑半径：2假设将介质移到薄透镜处，即/i=0不考虑町能存在的间隙，求输出高斯光束的远 场发散角&53. 两支HeNe激光器都采用平凹腔，尺寸如卜图，请问在何处插入焦距为多少的透 镜町以实现而者的模式匹配。式的光斑

22、大小超过镜面尺寸，那么认为该模式不町能存在.求此激光器的最高横模 阶次。55.己知高斯光束的束腰半径为求：1A点与束腰柑距为乙，求光斑半径做乙：2如果测量到人点光斑光强卜降到最人值的扌处的半径为令，求绥和忒乙的关系。六、局部答案1. 光学谐振腔的作用。是什么？解题思考：关键概念：光学谐振腔答：一是提供正反应，二是控制振荡模式特性。2. 比学谐振腔的构成要素令哪些，各自有哪些作用？解题思考：关键概念：光学谐振腔，构成要素，作用答：比学谐振腔的构成要素有：是否有边界、是否有反射镜以外的反射面、反射镜外 形、反射镜面形状、镜曲率半径与腔长关系。是否有边界，决定光学谐振腔是否是封闭腔、波导腔或开式腔：

23、是否有反射镜以外的 反射面，决定光学谐振腔是复合腔还是简单腔；反射镜面形状，决定光学谐振腔是球 面腔、非球面腔，以及是否是双凹腔、平凹腔、平平腔、凹凸腔、双凸腔：镜曲率半 径与腔长关系，决定光学谐振腔是稳定腔、临界腔或非稳腔。3. CO2激光器的腔长L=，增益介质折射率n=b腔镜反射系数分别为11=0.985, r2 =0.8,忽略其它损耗，求该谐振腔的损耗光子寿命匚，Q值和无源腔线宽解题思考：关键概念：谐振腔单程损耗肉子§、光子寿命抵、0值和无源腔纵模线宽腔镜 反射系数，CO：激光器的波长关键公式：5 = ；ln丄2 nr.4 =4 也111解 J4hi4ln5=o1190.119

24、x3xl08= 4.2x10"855" 4.2 T 册L 7.47 x "c 11 x 10s1 q =In=hi= 3.8xl06(/-)R7；1 0 弘一弘小4. 证明：卜列图所示的球面折射的传播矩阵为L 戏 仏。折射率分别为加处的两介质分界球而半径为R.解题思考：关键概念：折射.传播矩阵两介质分界球面光线出射处：/;=r(1)由折射定律和旁轴光线近似：鱼=竺纟Q 2(2)仏 SHI 02 ft/?=丄"=0+8以及入射、反射和折射光线间的几何关系：y R 2 z (3) 0+q = 2q + q2cT1。折射率为H的棱镜高d。式9联立解得：0=丄1

25、旦鱼& r iori=厂仏!h_上式写成矩阵形式：L. L"/L. 证毕15.证明：以下图所示的直角全反射棱镜的传播矩阵为L°解题思考：关键概念：传播矩阵关键公式：各向同性自由空间传播传输矩阵：;:，平面镜反射传播矩阵:平而界面透射传播矩阵:关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘枳。解：设图中棱镜材料中光垂直方向传播距离为211 d-l0 11 210 11 d-l6.导出以下图中1、2、3光线的传输矩阵。球面界面反射传播矩阵:光线3：1l-n1 cl0 11“一1nR1n-lnRn-11 + nRn-l1 + 2JnR血竺2dR22dn1- 2J

26、nR解题思考：关键概念：传播矩阵 1 0 1 0o'1 .R .,平面镜反射传播矩阵：，球面界面透射传播矩阵：一耳0 1n2R“2.关键公式：各向同n自由空间传播传输矩阵：°关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘枳。 解：设图中透镜材料的折射率为n1光线1:27.己知两平板的折射系数及厚度分别为nl, dl, 112, d20 (1)两平板平行放置，相距1,两平板紧贴在一起，光线相继垂直通过空气中这两块平行平板的传输矩阵，是什么？解題思考：关键概念：传播矩阵关键公式：长方体传播传输矩阵：0“，各向同性自由空间传播传输矩阵: 1 0平面界面透射传播矩阵：0乞关

27、键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘枳。解：(1)10另法解:0虫光学谐振腔的稳定条件是什么,厶+仏+虫q n21冇没仃例外？谐振腔稳定条件的推导过程中,只是要求光线相对于光轴的偏折角小于90度。因此.谐振腔稳定*件是不是一个要求较低的条件为什么？解题思考：关键概念：光学谐振腔，光学谐振腔稳定条件关键公式:C'n» A. c/ DB“6q答：光学谐振腔稳定条件是0vg&vl。这是一个要求很高的条件，没有例外。这是因为，在导出这-稳定条件时，尽管只足要求 光线相对于光轴的偏折角小于90度，并没有限定光线的往还次数，因此这是一个严苛的条 件。9. 有两个

28、反射镜，镜而曲率半径，R1一50cm, R2-100cm,试问：(1) 构成介稳腔的两镜间距多大"(2) 构成稳定腔的两镜间距在什么范1屈？(3) 构成非稳腔的两镜间距在什么范解题思考：关键概念：光学谐振稳定条件：Ovg&vl Sl=l- g=l- 关键公式：稳定腔：OvgfjVl,介稳腔：&烧=0或&g2 = l,非稳腔：g2 <01由g&=°，1-1- = 0 >解得:厶= 100或厶=-50无物理总义，舍弃-50100由&g、=l,有1 丄1_L= 1，解得：£ = 50或厶=0无物理意义，舍弃 -5010

29、0构成介稳腔的两镜间距：1=50或1002由 0 <g& <1> 有 0 <1 厶1一厶<解得:5O<L<100 或一 50<L<0 无-50100物理意义，舍弃构成稳定腔的两镜间距：50<£<1003由g禺<0,有1 一上-1 一厶vO，解得:厶>100或L<-50无物理意义，舍弃-50100由 &gr>l,有1-1->1> 解得：0<L<50 -50100构成非稳腔的两镜间距：厶>100或0<厶<5010. 共焦腔是不是稳定腔为什么？

30、解题思考：关键概念：共焦腔、对称共焦腔、稳定腔关键公式：光学谐振稳定条件：Ovg'Vl,共焦腔：L =关键点：腔镜曲率半径的正负解:共焦腔："钗+钗.L . L& + Rr、八 R + Rr、1Rr R朋严1-可1-瓦 = 1-巧亍盲2-瓦-尺=0 R严R、对称共焦腔(21 - 4/?.一 R= 工假设该共焦腔为双凹腔，令:由：d-b彳“ & =凡>0 R严 R：有：1>2R严R：所以:心唏-RZ假设该共焦腔为凹凸腔:心2十可令:R严R：非共焦腔舍弃Ri 工-Ri综上所述，由光学谐振稳定条件：Ovg/v 1判定.共焦腔不是稳定腔：只有对称共焦腔是介

31、稳腔其它结构类型的共焦腔均是非稳腔。11. 腔内有其它元件的两镜腔中，除两腔镜外的其余局部所対应传输矩阵尤为ABCD，腔镜曲率半径为X、凡，证明：稳定性条件为°v&&2 V1,其中&=£>-g严 A-B/&* O解题思考：关键概念：光学谐振腔、稳定腔、传播矩阵1 0关键公式：球面界面反射传播矩阵：1.R _关键点：以光线传播噸序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘枳，并考虔光线在谐振腔中的筝次往返。解：光线在谐振腔中的一次往返:ACBl E由:可得:那么：尸十2AB E= +BCR.f = ab-+bd R、7A2 一2B2AG =-+

32、AC + (+ D)(+%&2AB“2Br 2BH =-+ BC + (+ D)(-計R1%其中:C)D)2即 s遗1 二 A-冬R. B& BE = 2Ag2-A2 + BCF = 2Bg, AB + BDG = 4(gl A2 + 2g-2g: A2-g.AD) + 2g:C+AC-DC BH = 2Dgl -2A gl +4g&2Dg 厂"+ BC)t线在腔内往返谐振/次，ftl Sylvester定理讨得E FT=K Fn P H 一匕 Hn其中，cos0=*(E + H)。假设希塑旁轴光线不横向逸岀腔外，应要求这四个矩阵元值不能无限人，即要求:1 E

33、 sin n(t)一 siii(/ 一 1)0sinGsiii0Fsmn(pH sm(一 1)0cos切 <1也就是要求:对于题目所述球面镜谐振腔：*(E+H) = 2g& 血+%+Ag厂阻+眈一沖 +巧对于光学谐振腔來说，光线传输矩阵元须满足：detT = £/7-FG = l即：Ag -Dg-Ag2 + Dg2 -BC +-(A2 + D2) = 1所以:期+H)=2g& 1光学谐振腔稳定性条件为：Ov&gvl12. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解题思考：关键概念：平凹、双凹、凹凸共轴球面镜光学谐振腔、镜腔曲率半径正负取值规定、 稳

34、定性判据关键公式：Ovg&vl解：(1) 平凹腔平面镜曲率半径为无穷人：£=1,假设凹面镜腔对应正曲率半径鸟：2 = 1-R、由稳定性条件：Ovgfvl可得：R、>L可见，凹面镜腔正曲率半径超过腔长的平凹腔，为稳定腔。(2) 双凹腔假设凹面镜腔正曲率半径尺和R，且/?.>/?.： g.=l-=1- 11 K，/?2由稳定性条件：Ovgf/Vl可得：L>R2或L<&可见，双凹镜腔的腔长取值，或者超过两凹面腔镜中曲率半径较人的曲率半径，或者小 于两昔之中曲率半径较小的曲率半径，即为稳定腔。(3) 凹凸腔假设凹面镜腔正曲率半径凸面镜腔的负曲率半径忌：

35、&=1-£, g,=i+-?由稳定性条件：Ovgfvl可得：l>rr2l<-r2进一步分析不等式解中对腔长取值要求町见，假设凹面腔镜曲率半径值等于凸面腔镜曲 率半径值的二倍：R、=2R：，腔长取值：L = -R2时为稳定腔：假设凹面腔镜曲率半径值 小于凸面腔镜曲率半径值的二倍：& <一2比，腔长取值：-Rj>L>& + R,时也为稳定腔；假设凹面腔镜曲率半径值大于凸面腔镜曲率半径值的二倍:呂>一2尼，那么两镜无法组 成稳定腌.即凹面脸镜曲率半径值须低于凸面胯镜曲率半径值二倍是凹凸镜组成稳定腔的 前提。13. 激光器谐振腔由一

36、面曲率半径为lm的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物 质长，其折射率为1.52,求腔长L在什么范闌必是稳定腔。解题思考：关键權念：凹凸面镜谐振腔、镜腔曲率半径正负取值规定、等效腔长、稳定性判据 关键公式：Ovg&vlL'=L-I + -n解：& =一1, /?2 = 2, / = 0.5, /? = 1.52£*=£-/ + -n由稳定性*件：OvgigvlL / + 丄L-I + LR、土<10 < (£+0.829)(2.17-L) <2可得：2.17(m) > L > 1.17(m)或0厶0.17

37、(m)(腔长小于工作物质长度，不合理，舍弃)腔长厶収值在1.17111, 2.17m范鬧内是稳定腔。14. 如卞列图所示三镜环形腔，己知1,试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范闱内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔，在这种情况卜，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，f=Rcos8/2,对于在于此垂直的平面内传输15. 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？解题思考：关键概念：稳定腔、介稳腔、非稳腔，谐振腔腔内行波、束腰、焦点Z _ L(/?2厶)_ Lg?(g _1)1(厶-RJ +(厶-&)关键公式：“_斜¥)= _如蔦-1)(L- R2) + (L-

38、 RJ+ g2-2glg2pi = L(R? _ L)(R、_ L)g +_厶)= &&(1- &&)厶(厶-RJ + (L-K)r(& + g,-2&&2)解：焦点即谐振腔腔内行波束最细之处，即束腰之处。腔内存在行波束，即存在稳定模式, 是光学谐振腔内存在焦点的前提。光学谐振腔又分为非稳腔、介稳腔和稳定腔，完整的解答此题需要针对非稳腔、介稳 腔和稳定腔三种情形分别予以讨论。但是，本课程对非稳腔和介稳腔腔内行波束性质涉及 的较少，所以针对非稳腔和介稳腔腔内是否存在焦点，也只能根据本课程已介绍的内容來 答复。针对稳定腔那么町以通过与等价的对

39、称共焦腔作细致的讨论。对于非稳腔情形，双凹镜组成的不对称实共焦腔腔内存在焦点。对于介稳腔情形，双凹镜组成的对称共焦腔腔内存在束腰，存在焦点。对于稳定腔情形，其有等价的对称共焦腔腔内存在束腰，假设该束腰位于稳定腔两腔 镜之间:L(Rr L)石=< 0(厶-RJ + (L RJ3= _l(d >0 (厶一RJ + (厶一RJd厶-砒那么对应稳定腔腔内存在焦点。尸=Lg 一 L)(& 一 L)(& + R, _ L)°由上述方程组解得:&>L R、>L或者&<L< R. < L& + R? > L分别对

40、应由曲率半径超过腔长的双凹面镜组成的稳定腔，以及由曲率半径不超过 腔长但两镜曲率半径之和超过腔长的两镜组成的稳定腔。16. 试分析ABCD定律在光学谐振腔分析屮的作用。解题思考：关键概念：传播矩阵、ABCD定律、谐振腔稳定性解：在光学谐振腔分析中，光学谐振腔中光线n次往返反射传播所对应的传播矩阵为：A 1A sm n(p - sin(“ -1)0B sin u(!>C D 匕sin。C sm n(pD sm n(p 一 sm(/z - l)(p按照ABCD定律，光学谐振腔中光线的故终坐标通过传播矩阵屮的矩阵元索ABCD 与初始坐标联系起來。在初始坐标为近轴光线的情况卞，通过要求传播矩阵中

41、的矩阵元素 ABCD为有限最，得到了光学谐振腔的稳定性条件。可见，ABCD定律在在光学谐振腔的 稳定性分析中发挥了重要作用。17. 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？解题思考：关键概念：对称共焦腔、稳定腔、等价对称共焦腔、腔内行波场、等相位面答：与稳定腔等价的对称共焦腔，是通过以对称共焦腔行波等相位而相同曲率半径反射镜 的插入而获得这种等价关系的，根据是光线町逆原理。因此，这种等价关系是建立在几何 光学的根底之上的，而不是建立在波动衍射光学的根底之上的。稳定球面镜谐振腔与其等 价对称共焦谐振腔真正相同的是腔行波的等相位面，即便是等相位面匕的光电场大小分布 也不一定

42、相同。所以，稳定球面镜谐振腔与其等价对称共焦谐振腔，在谐振腔结构上相同 的只有均为球面镜，不一定相同的有菲涅尔数，腔镜的曲率半径、反射率和尺寸，以及腔 长；在腔内行波上相同的有等相位面分布、双曲线形状、束腰位豐及人小、远程发散角， 不一定相同的有纵模间距、衍射损耗、模体积、镜面光斑大小，以及输出激光束的束腰位 置及大小、远程发散角等输出激光参数。18. 非稳腔的优点是什么？解题思考：关键概念：非稳腔、非稳腔模式答：非稳腔的主要优点有：(1) 几何损耗高，容易鉴别和控制横模，适用于高功率激光器：(2) 模式体积人，对增亞介质的体积利用率高：(3) 有平行光输出模式，易于得到单端输出和准II的平行

43、光束，应用方便。19. 儿何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？解题思考：关键概念：几何损耗、衍射损耗，稳定腔、介稳腔、非稳腔答：谐振腔中的损耗主要是指旁轴光线或称近轴光线的损耗，其中几何损耗存在于介稳腔 和非稳腔中，稳定腔中的旁轴光线不存在几何损耗。20. 比学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？解题思考：关犍概念：稳定腔、衍射损耗、菲涅尔数、横模畑公式：n=i-(rc(ci)c(a)r，c=2略=2hn71LA答：光学谐振腔屮的衍射损耗，主要由其菲涅尔数和横模模阶数决定。21. 为什么说光学谐振腔枳分方程的特征值/的模决定腔损耗？解题思考：关键概念：光学谐振腔、特征值、衍射损耗、自再现模关键公式:

44、=答：在光学谐振腔中，自再现模单程传播所经受的光电场衰减由“护=*叫式中谐振腔枳分方程的特征值Y =严$描述。将光电场换成光强，即对上式两边収平方：与谐振腔单程损耗因子:5(=(0匕比拟可得：6 = 2a可见，腔损純由待征值/的模决定。22. 为什么说光学谐振腔枳分方程的特征值/的幅角决定光波的单程相移？23. 稳定谐振腔有哪些叮能的形式？与非稳定谐振腔相比有哪些缺点？解题思考：关键概念：稳定腔、非稳腔、模式答:稳定腔的主要形式有:双凹腔；(2)平凹腔;(3)凸凹腔。与非稳定谐振腔相比，稳定腔的主要缺点冇：(1)损耗小，选模能力差：(2)模式体积小, 对增益介质的体积利用率低。24. 比学谐振

45、腔右哪些常用硏究方法？如何理解自再现模？釆用衍射枳分方程方法研究激 光器的模式和釆用几何光学的方法研究各有什么优缺点？解题思考：关键概念：光学谐振腔、自再现模、模式、衍射枳分方程方法、几何光学方法答：研究光学谐振腔常用的方法有两种，一是几何光学方法，-是衍射积分方程方法。在光学谐振腔研究中，一般以几何光学方法探讨近轴光线在光学谐振腔中的传播 行为，研究光学谐振腔的稳定性问题；近轴光线在光学谐振腔中的衍射行为，那么采用 衍射枳分方程方法研究。自再现模那么是在考渥了衍射行为的近轴光线，在光学谐振腔中反复反射往还后， 所形成的仃相对稳定函数分布的光电场分布，即光学谐振腔模式。几何光学处理方法，具有简

46、洁易懂的优势，但只能讨论光学谐振腔的稳定性；衍 射枳分方程方法相对深奥复杂，但可以提供光学谐振腔中自再现模的形成、模式光电 场的强度和相位分布、腔内行波场、衍射损耗等光学谐振腔模式的所有性质。25. 什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？ 解题思考：关键概念：稳定腔、纵模、横模答：电磁场理论说明，在具有一定边界条件的腔内，电磁场只能存在于一系列分立的 本征状态之中，场的每种本征状态将具右一定的振荡频率和空间分布。通帘谐振腔内 可能存在的电磁场本征态称为腔的模式。光学谐振腔的模式，即是这种能够自再现的 稳定的电磁场分布，对应着光学谐振腔的一系列本征态。其中包禽着

47、模式自再现物理 思想。不同的纵模相应于不同的q值，对应不同的频率。不同的横模，对应于不同的 横向稳定的光场分布和频率。对纵模要求电磁场在频域上满足由驻波条件所要求的谐 振条件，对横模要求损耗小，主要是衍射损耗。26. 谐振腔腔长L=lm,介质折射率n=l,两腔镜反射系数分别为rl = b 12=0.99,求 1500MHz线宽内包倉的纵模个数。27. 尺=100切，L = 4Qcm的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？28. 假设法卜里一，它的自由谱宽为多少，能否分辨兄= 6x10Ym7, AX=0.01niii的H亡N亡激光谱线？29. Fox-Li的数值迭代法解平行平面镜谐振腔，令哪些结论，右

48、哪些总义？解题思考：关键概念：平行平而镜谐振腔、Fox-Li的数值迭代法答：主要结论有：(1) .镜面上的振幅分布为中央强边缘弱，偶对称；(2) .镜面上的相位不是等相位面分布；(3) .单程相移由几何相移和与横模相关的附加相移构成：(4) .谐振频率不只由腔长决定，还与横模相关。主要意义何：(1) .首次得到模式，证明模式自再现思想的正确性：它逐次近似计算直接求出了一系 列自再现模，从而第一次证明了开腔模式的存在性，并从数学上论证了开腔自再现模枳分 方程解的存在性：(2) .迭代一次，光在腔内传播一次，是个针对光传输的精确计算方法；数学运算过程 与模在腔中往返传播而形成自再现模的物理过程相対

49、应，能加强理解自再现模形成的物理 过程；(3) .原那么匕町应用于任何腔型的自再现模计算，利用标准化电脑程序可以求得任意精 确度的数值解，只有普遍适用性。30. 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗1-1/Y2,它与单程衍射损耗因了Z间仃 何关系？31. 试由方形镜共焦腔内行波场，导出腔内等相位面表示。32. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？解题思考：关键概念：横模、谐振腔积分本征方程答：同一个光学谐振腔中不同横模的相同点有，都是谐振腔枳分本征方程的本征解，都是 旁轴传输的电磁波在谐振腔中经反复衍射损耗形成的稳定的光电场的稳定分布。同一横模 的不同模斑具有反相或同相的相位。同一个

50、光学谐振腔中不同横模的不同点有，光斑形状、人小以及光电场偏振方向，另 外，相位无固定关系。33. 高阶横模的不同模斑假设相遇，能否干预，为什么？解题思考：关键概念：横模、横模的柑位关系答：同一高阶横模的不同模斑间具有反相或同相的固定的相位关系。假设相遇，那么干预 相消或加强。不同高阶横模，相位无固定关系。假设相遇，不会干预。34. 分别由方形镜和岡形镜组成的稳定谐振腔有没右区别，为什么？解题思考：关键概念：方形腔镜、圆形腔镜、稳定腔、等价对称共焦腔关键公式：C=- = 2tiNLAN = LLA答：有区别。区别主要表现在两者的模式场解上。虽然两者在模式光束形状、等相位 面的曲率半径及光束发散角

51、等方面有相同的表达式，但却存在以下明显的区别：(1) 模斑形状方形镜对称共焦腔模式场强的解主要由角向长椭球丙数这种特殊两数构成，在腔 的菲涅尔数N值较人的情况F町以近似为厄米多项式的形式，具有x轴和y轴对称性。 圆形镜对称共焦腔模式场强的解主要由超椭球函数构成，在腔的菲涅尔数N值较人的 情况卜，可以近似表示为拉盖尔多项式的形式，具有圆对称性。无论是方形镜或者是圆形镜组成的稳定谐振腔，其模式场模斑形状军营与其等价 的对称共焦腔的模式场相似，所以，方形镜和圆形镜稳定腔模斑形状的区别，应为貝 有x轴利y轴対称性的厄米多项式模斑形状，与只有圆对称性的拉溢尔多项式模斑形 状的区别。(2) 模式频率方形镜

52、对称共焦腔模式场对应相位的幅角解为:(m + n + l)-kL备阶横模的谐振频率为:c1J =丽=g + 刁(加 + + 1)洌形镜对称共焦腔模式场对应柑位的幅角解为:(2 p + / +1)彳 _ “各阶横模的谐振频率为:Cs = '§+刑"+/+1)因稳定谐振腔与其等价的对称共焦胯在模式场上的相似*|:方形镜和圆形镜组成 的稳定谐振腔的模式频率，也应令类似的区别。35. 能否得到稳定腔横模的解析表示，为什么？36. 为什么说对称共焦腔非常巫要？解题思考：关键概念：稳定腔、共焦腔、对称共焦腔、等价对称共焦腔答：対称共焦腔的衍射枳分本征方程，有解析解，因此其腔内行

53、波场令解析函数表示，相 关模式特征和形貌明确。稳定腔是类常用的激光器腔型，但其衍射枳分本征方程直未 能获得解析解，所以，其腔内行波场的模式特征和形貌不似对称共焦腔中那样能依靠解析 解來获得明确的描述。等价对称共焦腔的存在，使得稳定腔内行波场的模式特征和形貌， 能够通过与其等价的对称共焦腔的解析解，來获得校为明确的描述，可见对称共焦腔对于 激光器的研制工作貝有非常高的貳要性。37. 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，你愿負用哪个，为什么？解题思考：关键概念：稳定腔、衍射损耗、损耗描述参数° 2关键公式：C = % = 2nNLAa2LA答：町以描述稳定谐振腔中衍射损耗人小的

54、参数有谐振腔单程损耗因子、平均光子寿 命、Q参数、纵模线宽及菲涅尔数等参数。如果须使用一个参数来描述稳定谐振腔的 衍射损耗人小，我愿总使用菲涅尔数。这是因为稳定谐振腔中光电场本征函数解相对应本征值的模，直接决定稳定谐振腔对应模式的衍射损耗，而该模函数为径向长椭球函数.西数的自变最C为：LA它与菲涅尔数：成正比。38. 腔长L=lm的双凹稳定腔，两腔镜的半径分别为Rl = , R2 = 3m,求其等效共焦腔的 腔长，井画出等效共焦腔的位置。解题思考：关键念：稳定腔、等价对称共焦腔关键公式：Ovg&vl，一皿-厶)_1 (L - R：) + (L - RJr _ 一 URl 一 L) _

55、(L- R2) + (L Rj.厶冬(幻-1)_ -Lgg-l) 幻+ g：-2g用2 = L(R)_ L)(R _ 厶)(R + R? _ L) = gig/l-gigJD(厶一尺2)+(厶一&)(gl + &2 - 2g&)解1i L 2g. = 1-=-R. 32°<2(= jvl该双凹腔为稳定腔。因此，可以该双凹稳定腔的等价对称共焦腔中心为坐标原点、以双凹镜面中心连线为Z轴建立坐标系。假设该双凹镜在该坐标系中的坐标分别为乙和d等价对称共焦腔的腔长厶'为2F。二_ Lgd r & +弘-2匕弘乙一 一厶&乩一12& + g2-2g&尸_砾1-砾疋£ + 乩一2&&'4Z.=-0.8(m)5得：22=| = 0-