运筹学试题及答案

1、一、填空题：每空格2分，共16分1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4,则说明如果在该空格中增加一个运量运费将增加4。3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？_Jg4、如果某一整数规划：MaxZ=Xi+X2X1+9/14X2051/14-2X1+X201/3X1,X20且均为整数所对应的线性规划松弛问题的最优解为X1=3/2,X2=10/3,MaxZ=6/29,我们现在要对X1进行分枝，应该分为X101和X12。5、在用逆向解法求动态规划时，fk(sk)的含义是

2、：从第k个阶段到第n个阶段的最优解。6 .假设某线性规划的可行解的集合为D,而其所对应的整数规划的可行解集合为B,那么D和B的关系为D包含B7 .已知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表极大化问题，约束条件均为V型不等式其中X3,X4,X5为松驰变量XbbX1X?X3X4X5X43001-21P3X14/310-1/302/3X2101100r-1C-Zj00-50-23213问：1写出1/3.02/3001对偶问题的最优解：5,0,23,0,08 .线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有_果一个非基变量的检验数为0;9 .极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问

3、题_无解;10 .假设整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设X=b不符合整数要求，INTb是不超过bi的最大整数，则构造两个约束条件：XiaiINTbXbbXiX?XsX4X5X6Xi21P102011X32/3001104X510r-201161Cj-Zj000-40-9+1和Xi&INTbi,分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。11.知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表极大化问题，约束条件均为型不等式其中X4,X5,X6为松驰变量。问：（1）对偶问题的最优解:2写出B-1=Y = (4,0,9,0,0,0) T二、计算题60分1、已知线性规划20分M

4、axZ=3X1+4X2X1+X2052Xi+4X20其最优解为:基变量X1X2X3X4X5X33/2001-1/8-1/4X25/20103/8-1/4X11100-1/41/2j000-3/4-1/21）写出该线性规划的对偶问题。2）假设C2从4变成5,最优解是否会发生改变，为什么？3）假设b2的量从12上升到15,最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品X6,其P6=（2,3,1）T,C6=4该产品是否应该投产？为什么?解：1）对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3yy1+2y2+3y33yy1+4y2+2y34一y1,y202）当C2从4变成5时，(T4=-9/8(T5=

5、-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。3当假设b2的量从12上升到15X平/8、29/81/4由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化4如果增加一种新的产品，则P6=(11/8,7/8,-1/4)T(T6=3/80所以对最优解有影响，该种产品应该生产2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。共15分0地B1B2B3A159215A231711A362820销量181216解：初始解为B1B2B3产量/tA1515A1111A181120销量/t181216计算检验数B1B2B3产量/tA513015A-20011A00020销

6、量/t181216由于存在非基变量的检验数小于0,所以不是最优解，需调整调整为：B1B2B3产量/tA1515A1111A3712120销量/t181216重新计算检验数B1B2B3产量/tA513015A202211A300020销量/t181216所有的检验数都大于等于0,所以得到最优解3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示：15分目投标者ABCD甲15182124乙19232218丙26171619丁19212317答最优解为：X=01

7、0T0、10000010000尺总费用为504 .考虑如下线性规划问题24分Maxz=-5x1+5x2+13x35 .t.-x1+x2+3x30答复以下问题：1求最优解2求对偶问题的最优解3当b1由20变为45,最优解是否发生变化。4求新解增加一个变量x6,C6=10,a16=3,a26=5,对最优解是否有影响5C2有5变为6,是否影响最优解。答：最优解为4 / 91)C-5513009CbXbbX1X2X3X4X50X420-1131020/30X59012410019C-Zj-55130013X320/3-1/31/311/30200X570/3146/322/30-10/3170/22C

8、j-Zj-2/32/30-13/3013X3185/33-34/33012/11-1/225X235/11n23/1110-5/113/22-68/3300-1/11-1/11最优解为Xi=185/33,X3=35/112)对偶问题最优解为Y=1/22,1/11,68/33,0,0T3)当b1=45时X=45/11也90由于X2的值小于0,所以最优解将发生变化4P6=(3/11,-3/4)T(T6=217/200所以对最优解有影响。5当5=6h=-137/330-4=4/11(T5=-17/22由于0-4大于0所以对最优解有影响5 .求如下图的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是Cj

9、,fj15分V29 / 9Vs(4,4)(4,1)(9,7)(8,8)VtV3(6,6)6 .考虑如下线性规划问题20分Maxz=3xi+x2+4x37 .t.66xi+3x2+5x309-3xi+4x2+5x3W8-x1,x2,x30答复以下问题：1求最优解；2直接写出上述问题的对偶问题及其最优解；3假设问题中x2列的系数变为3,2T,问最优解是否有变化;4C2由1变为2,是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。Cj31400CbXbbX1X2X3X4X50X49635100X5834501Cj-Zj314000X413-101-14X38/513/54/5101/51Cj-Zj3/5-11

10、/500-4/53X11/31-1/301/3-1/34X37/51011-1/52/51Cj-Zj0-20-1/5-3/5最优解为X1=1/3,X3=7/5,Z=33/52）对偶问题为Minw=9y1+8y26y1+3y23J3y1+4y21|5y1+5y24y1,y20对偶问题最优解为y1=1/5,y2=3/53)假设问题中x2列的系数变为3,2T则P2=(1/3,1/5)T62=-4/50所以对最优解没有影响4C2由1变为20-2=-10所以对最优解没有影响Cij,fijO解:8.某厂I、n、出三种产品分别经过AB、C三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及

11、每件产品的预期利润见表：Inm设备能力（台.h）A111100B1045600C226300单位产品利润（元）10641）建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。（15分）2）产品出每件的利润到多大时才值得安排生产？如产品出每件利润增加到50/6元，求最优计划的变化。（4分）3）产品I的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。（2分）4）设备A的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。（3分）5）如有一种新产品，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3h,预期每件为8元，是否值得生产。（3分）6)如合同规定该厂至少生产10件产品出，试确定最优计划的变化。(3分)解：1建立线性规划模

12、型为：MaxZ=10x1+6x2+4x3x1+x2+x3W10010x1+4x2+5x3W6002x1+2x2+6x30,j=1,2,3获利最大的产品生产计划为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(100/3,200/3,0,0,0,100)Z*=2200/32产品出每件利润到20/3才值得生产。如果产品出每件利润增加到50/6元，最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(175/6,275/6,25,0,0,0)Z*=7753产品I的利润在6,15变化时，原最优计划保持不变。4设备A的能力在60,150变化时，最优基变量不变。5新产品值得生产。6最优计划的

13、变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(190/6,350/6,10,0,0,60)9 .给出成性规划问题：(15分)Minz=2x1+3x2+6x3xi+2x2+x32-2x1+x2+3x3V-3xj0j=1,4要求：(1)写出其对偶问题。(5分)(2)利用图解法求解对偶问题。(5分)(3)利用(2)的结果，根据对偶问题性质写出原问题最优解。(5分)解：1该问题的LD为：MaxW=2y1-3y2y1-2y2W22y1+y20,y202)用图解法求得LD的最优解为：Y*=(y1,y2)=(8/5,-1/5)W*=19/53)由互补松弛定理：原问题的最优解为：X*=(x1,x2,x3)=5,1/5,0)10 .某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点（销地）出售,（元/t）示于下-各工厂立产量，各销售点白销售量（单位.t）以及各工厂到各销售点的单位运价表中，要求研究产品如何调运才能使总运量最小？（10分）B1B2B3B4A14124113