2016年高考理科圆锥曲线大题

1、1 .(新课标I理数)设圆x2y22x150的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线Ci,直线l交Ci于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.2 22 .(新课标II理数)已知椭圆E:±L1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率t3为kk0的直线交E于A,M两点，点N在E上，MANA.(I)当t4,AM|AN时，求AAMN的面积；(II)当2AMi|AN时，求k的取值范围.3 .(新课标出理数)已知抛

2、物线C：y22X的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点，交C的准线于巳Q两点.(I)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARPFQ;(II)若AMF的面积是abF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.4 .(2016年北京理数)已知椭圆C:卫1(ab0)的离心率为近，ab2A(a,0),B0，b，O(0,0),AOAB的面积为1.(I)求椭圆C的方程；(II)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与X轴交于点N。求证：|ANgBM|为定值。5 .(2016年江苏理数)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点

3、a(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BCOA,求直线l的方程；uir(3) 设点T (t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得TAuurTPTQ,求实数t的取值范围。6. (2016年山东理数)平面直角坐标系xOy中，椭圆C:2I 1 a> b> 0的离心率 b2是东抛物线E： x2 2y的焦点F是C的一个顶点。(I )求椭圆C的方程;(II )设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A, B,线段AB的中点为D ,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点

4、M .(i )求证：点m在定直线上;(ii )直线l与y轴交于点G ,记PFG的面积为S1 , PDM的面积为S2，求§的最大 S2值及取得最大值时点P的坐标.27. (2016年上海理数)双曲线x2与1(b 0)的左、右焦点分别为Fi、F2,直线l过F2 b且与双曲线交于A、B两点。(1)若l的倾斜角为万，FiAB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;设b如，若l的斜率存在，且4A能)潴0,求l的斜率.228. (2016年四川理数)已知椭圆E：勺自1ab0的两个焦点与短轴的一个端点是ab直角三角形的3个顶点，直线l:yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(I)求椭圆E的方程及点T的坐

5、标；(II)设O是坐标原点，直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得IPT2|PAgPB,并求的值.229. (2016年天津理数)设椭圆xy匕1(a>V3)的右焦点为F,右顶点为A.已知a3of卤le.O,e>ffi00.科.网(I)求椭圆的方程；(II)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOA<MAO,求直线l的斜率的取值范围.210. (2016年浙江理数)如图，设椭圆与y21(a1)a(I)求直线ykx1被椭圆截得到的弦长(用a,k表示)(

6、II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围.答案1.因为|AD|AC|,EBAC,故EBDACDADC,所以 |EB| |ED|,故 |EA|EB|EA|ED | | AD|.又圆A的标准方程为(x1)2 y2 16,从而 |AD| 4,所以 | EA| |EB| 4.由题设得 A( 1,0) , B(1,0),|AB| 2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:1(y0).(U)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0),M(x1,yJ,Nd3.yk(x1)由x2y2得(4k23)x28k2x4k2120.1432_XiX24k124k23所以

7、| MN | .1 k2 |x1 x2 |_212(k1)4k2 3过点B(1,0)且与l垂直的直线m : y1(x 1), A到m的距离为了三，所以 k. k 1|PQ|2142(T=)24，与二.故四边形MPNQ的面积k21k11|MN|PQ|12.1一1一24k23可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为（12,873）.当l与x轴垂直时，具方程为x1,|MN|3,|PQ|8,四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8陋）.2.【答案】（I）144;（II）3/2,2.【解析】试题分析：（I）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求AMN的

8、面积；（II）设MXL,将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y,用k表示x-从而AN 求k.表示|AM|,同理用k表示|AN|,再由2AM222,0 .2.试题解析：（I）设Mx1,y,则由题意知y10,当t4时，E的方程为人上1,43由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为了因此直线AM的方程为y2将x y 2代入二42今1得7y212y 0.解得y所以y127因此AMN的面积o。 1 12 12S AMN 2 (II)由题意t 3,k 0,2 77A t,0 .14449将直线AM的方程y k(x2衽）代入x- ttk2x2 2tgtk2x2 2t k 3t 0.2 2-t k 3

9、t彳曰2-倚 K3 tk2t 3 tk2-,故 AM3 tk2由题设，直线AN的方程为y 1 xk田，故同理可得| AN6,“t 2 k23 tk2.6k. t 1 k23k2 t '由2 AM AN得I已，即k3 2t3k 2k 1 .当kV2时上式不成立,因此t*.t 3等价于卡产k 2 k2 13 0k3 2即泻0 .由此得：3 22。0,或：3I。，解得晚k 2.因此k的取值范围是3/2,2 .3.解：由题设F(1,0).设1i：y a2：y2a2b2111A(,a), B( ,b),P( -,a),Q( -,b),R( - 22222贷).记过A, B两点的直线为1,则l的方

10、程为2x (a b)y ab 03分(I)由于F在线段AB上，故1 ab 0.记AR的斜率为ki, FQ的斜率为k2 ,则a ba b 1abki 2 -2 - b k2.1 a a ab a a所以AR / FQ 5 分(H )设1与x轴的交点为D(x,0),则 S ABFa FDa x1由题设可得1bax11-，所以x10(舍去)，x11.2|22设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得3上(x1).abx1而Sy,所以y2x1(x1).2当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2x1.12分c3a2,解：(I)由题意得1ab1,解得a2

11、,b1.22,22abc,2所以椭圆C的方程为?y2(H)由(I)知,A(2,0),B(0,1)设P(xo,yo),则x；4y04.当Xo0时，直线PA的方程为yyo /(xXo 2'2).直线PB的方程为所以|AN BM-2J.从而 BMxo 2y1XoXo y。彳.从而ANXoyo 12yoxo 2yMXn2yoxo2Xoyo 14.当Xo0 时，y01,BM2, AN2,所以AN BM4.综上,AN BM为定值.4.解：圆M的标准方程为25,所以圆心M(6, 7),半径为5,.(1)由圆心N在直线x=6上，可设N6,y°.因为圆N与x轴相切，与圆M外切,所以0yo7,于

12、是圆N的半径为yo,从而7y05y°,解得y01.因此，圆N的标准方程为x62y121.(2)因为直线l/OA所以直线l的斜率为32.20设直线l的方程为y=2x+mr)即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离因为BCOA 22 42 2-5,2而MC23BCd22所以25m55,解得m=5或m=-15.5故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.设Px1,yi,QX2,V2ururuurx2x12t_因为A2,4,Tt,0,TATPTQ,所以21y2y14因为点Q在圆M上，所以X262y27225.将代入，得X1t42y13225.于是点PX1,y1既在圆M上，又在圆

13、xt42y3225上，从而圆x62y7225与圆xt42y3225有公共点,所以55Jt46-137255,解得22幅t22用.因此，实数t的取值范围是22用,22历.5.(I)由题意知左上击，可得：a2b.a2因为抛物线E的焦点为F（0，），所以a1,bg,所以椭圆C的方程为x24y21.2(n)设p(mT)(m°),由x22y可得y/所以直线l的斜率为m,因此直线l的方程为ym(x m),即 y2 m mx 22m设 A(x1, y1), B&yz), D(x°, y°),联立方程 y ' 222x 4y 1得(4m2 1)x2 4m3x m4

14、 1 0,由 0,得0 m。2石或0 m2 2 55且 x1 x234m/2，4m 1因此x0x1x22m324m 1将其代入2y mx 占得yo2m2，2(4m1)因为比xo:，所以直线0D方程为y 4mx.联立方程1x4mm,得点M的纵坐标为yM即点M在定直线y4上.(ii )由(i)知直线l方程为ymx2多所以G(0,又 P(m,T)，F(0，2)，D(2m34m21'2(4m21)2m21 则%(2t 1)(t 1)'S2t当;即t2时,能取得最大值4,此时m £，满足0所以点P的坐标为(1),因此&的最大值为9 ,此时点P的坐标为(血工). S242

15、 46.由题意，F2 G0 , c由b2因为F1是等边三角形，所以2c 3 y所以S121GF|m1m(m21)，22c1m(2m1)S2|PM|mx0|28(4m21)2(4m21)(m21)S2(2m21)2'即41b23b4,解得b22.故双曲线的渐近线方程为y近义.(2)由已知，Fi2,0,弓2,0.设K,y1，X2,y2,直线l：ykx2.显然k0.2IX2匕1-cccC由3，得k23X24k2x4k230.ykx2因为l与双曲线交于两点，所以k230,且361k20.的中点为x,yUULTF1UUUUUTF1uuuu0即F,uur，故k%kX1x222k2y6kkx2-2k

16、33kkF1212k3所以3k2k23得k23,故1的斜率为,1557.(I)由已知,aT2b,2则椭圆E的方程为意2y2x有方程组方y2yb2x3,1,得3x212x(182b2)0.方程的判别式为=24(b2此时方程的解为x=2,22所以椭圆E的方程为L上1.63点T坐标为(2,1).(II)由已知可设直线l的方程为y1xm(m0),有方程组1x22xm可得3x3,y13所以P点坐标为(22m2m、一,1一)332PT设点AB的坐标分别为A(x,Y1),B(x2,y2).22xy由方程组631y2x1,可得3x24mx(4m212)0.m,方程的判别式为=16(92m2),由>0,解

17、得3.223x22由得X14mX2=一,XiX234m2123所以PAs2m、22m、2(2X)(1Vi)33,522m3所以|PA2m3X2PB(22mx1)(22mTx2)102m.9故存在常数使得PTPAPB.8.【答案】(n)【解析】试题分析:(I)求椭圆标准方程，只需确定量,1|OA|3c彳氏1J3c|FA|'寸caa(ac)再利用a2c2b23,可解得c21,a24(H)先化简条件:MOAMAO|MA|MO|即M再OA中垂线上,Xm1再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B；利用两直线方程组求H,最后根据BFHF,列等量关系解出直线斜率.取值范围试题解析：(1)解：设F(c

18、,0),由|OF|1|OA|,即11|FA|ca3ca(ac)可得a2c23c2,又a2c2b23,所以c21,因此a24,所以椭圆的方程为2y(n)解：设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为yk(x2).设B(xB，yB),22XY由方程组了yYk(x1,消去y,整理得(4k22)3)x216k2x16k2128k264k2从而Yb12k4k23由(I)知,F(1,0),设H(QyH),有FH(1,Yh),bf94k212k4k234k2-).由BFHF,3得BFHF0,所以94k4k2:署3°，解得yH2胃.因此直线MH的方程为194k2y-xk12k194k2设m(xm"m),由方程组-xkk(x2)12k消去y解得Xm2120n.在mao中'MOAMAO|MA|MO|,即(xM2)22yM2xM化简得Xm1,2_即芈1,12(k21)解得k且或k-644所以，直线l的斜率的取值范围为(、.6T6T).9.(I)设直线ykx1被椭圆截得的线段为Y2x2akx212ak2a2kx0,x10,x22a2k1a2k2因此1k2x1x22a2k221a2k2(II)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点，Q,满足|Q.记直线，Q的