倍长中线与截长补短法

1、2021/3/91初中数学辅助线专题（辅助线口诀）辅助线一般作法2021/3/92初中几何常见辅助线作法口诀初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 2021/3/93三角形三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分

2、线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。三角形中有中线，延长中线等中线。 2021/3/94解题还要多心眼，经常总结方法显。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 2021/3/951 1、

3、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。此线段，构造全等三角形。例如：如图例如：如图4-14-1：ADAD为为ABCABC的中线，且的中线，且1=21=2，3=43=4，求证：，求证：BE+CFEFBE+CFEF一、一、 倍长法倍长法2021/3/96证明：廷长证明：廷长ED至至M，使，使DM=DE，连接，连接 CM，MF。在。在BDE和和CDM中，中， BD=CD （中点定义）（中点定义） 1=5 （对顶角相等）（对顶角相等） ED=MD （辅助线作法）（辅助线作法） BDE CDM （SAS） 又又1=2，3=4 （已知）（已知）

4、 1+2+3+4=180（平角的定义）（平角的定义） 3+2=90即：即：EDF=90 FDM=EDF =90在在EDF和和MDF中中 ED= MD （辅助线作（辅助线作 法）法） EDF=FDM （已证）（已证） DF=DF （公共边）（公共边） EDF MDF （SAS） EF=MF （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 在在CMF中，中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）（三角形两边之和大于第三边） BE+CFEF2021/3/97在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图例如：如图5-1：AD为为 AB

5、C的中线，求证：的中线，求证：AB+AC2AD分析：要证分析：要证AB+AC2AD，由图想到：由图想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有所以有AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD，左边比要证结论多左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，故不能直接证出此题，而由而由2AD想到要构造想到要构造2AD，即加倍中线，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去把所要证的线段转移到同一个三角形中去 2021/3/98证明：延长证明：延长AD至至E，使，使DE=AD，连接，连接BE，CE AD为为ABC的中线的中线 （已知）（已知） BD=CD （中线定义）（中线定义） 在在

6、ACD和和EBD中中 BD=CD （已证）（已证） 1=2 （对顶角相等）（对顶角相等） AD=ED （辅助线作法）（辅助线作法） ACD EBD （SAS） BE=CA（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 在在ABE中有：中有：AB+BEAE（三角形两边之和大（三角形两边之和大于第三边）于第三边） AB+AC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）（常延长中线加倍，构造全等三角形）2021/3/99练习 已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF=2AD。 2021/3/910二、截长补短法作辅助线 要证明两条线

7、段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。 截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。 所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。2021/3/911让我们来大显身手吧！例如：已知如图6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。 2021/3/912要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系定理证明。因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。思路导航2021/3/913证明：（截长法）在证明：（截长法）在AB上截取上截取AN=AC连接连接PN 在在APN和和APC中中 AN=AC（辅助线作法）（辅助线作法） 1=2 （已知）（已知） AP=AP （公共边）（公共边） APN APC （SAS）PC=PN （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 在在BPN中，有中，有 PB-PNBN （三角形两边之