不定积分例题及参考答案

1、第4章不定积分内容概要名称主要内容不疋设f(x) , x I，假设存在函数F(x)，使得对任意x I均有F (x) f(x)积 分或 dF(x) 1(x)dx，那么称F(x)为f(x)的一个原函数。的 概f (x)的全部原函数称为f (x)在区间1上的不定积分，记为念f (x)dx F(x) C注：(1)假设f(x)连续，那么必可积；(2)假设F(x),G(x)均为f (x)的原函数，贝UF(x) G(x) C。故不定积分的表达式不唯一。性性质1:f (x)dxf (x)或 d f (x)dxf (x)dx ;质dx不性质2: F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C ;疋 积

2、性质3:f (x)g(x)dxf (x)dxg(x)dx,为非零常数。分计第一换元设f (u)的 原函数为F(u) , u(x)可导，那么有换元公式：算方积分法f( (x) (x)dx f( (x)d (x) F( (x) C法(凑微分 法)第二类 换元积 分法设x(t)单调、可导且导数不为零，f (t) (t)有原函数F(t),那么f(x)dxf( (t) (t)dt F(t) C F( 1(x) C分部积分法u(x)v (x)dx u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)有理函数假设有理函数为假分式，那么先将其变为多项式和真分式的和；对真积分分式的处理按情况确定。本章在下-

3、章定积分中由微积分根本公式可知-求定积分的问题，实质上是求被积函数的地的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最位与终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。作用从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会 不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学 习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-1 1求以下不定积分: 知识点：直接积分法的练习一一求不定积分的根本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和根本积分公式，直接求出不定积分! (1)dxx2 . x思路：1被积函数

4、5 X至，由积分表中的公式2可解。x , x解：dx|d2 dx2x33至C2x . x(皈 A)dxVx思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：(3x -)dxVx111xdx 41(x3X芳dxx3dx2x22x xx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：(2x x2)dx2xdxx2dx2xIn 2.x(x 3)dx思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。解：.x(x 3)dx3x2dx1x2dx1-dx1思路：观察到3x43x212x3x2-后，根据不定积分的线性性质,1将被积函数分项,3x4 3x22x分别积分。3

5、x21x21dx3x2dx13dx x arcta n x C1 x思路：注意到x21 1分别积分。1 x211，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项,1 xX2解：一dx1 xdx (8)(宀思路:分项积分。看到？)dxdx1dx 3arctanx 2arcsin x C.1 x2思路:1x7x8，直接积分。解:x x xdx7x8dx15C.1(10)亍石dx1dx x arctanx C.1 x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。x134、2-+3 "-)dx

6、xxx(X(2-1+x3-x4、)dx x1 xdxIdx2 x1 23 24 3xln|x|xxC.423思路:分项积分。解:3 x 3dx 4 x 4dx思路:裂项分项积分。1解：卡一- x2(1丁 dxx2)(Ax12)dxx2dxxdx x1 arctan x C.x2xe (11)匚e解:2xex e-dxx1)(e1)ex 1dx(ex 1)dxx C. (12) 3x exdx解：3xexdx( 3e)dx3e C.In (3e) (13) cot2xdx思路:应用三角恒等式2 2cot x csc x 1 。2 2解:cot xdx (csc x 1)dx cotx x C3x

7、 5 2x(14)3x 5 2x思路:被积函数x5 -3x5(-)x，积分没困难。32 3x 5 2x 解：dx3x(2(3)x5(t)x)dx 2x 5八 C.2 x (15) cos dx2思路：假设被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幕，再积分。1 cosx11 .dx x si nx C.2 2解： cos xd2丄丄1 (16)dx1 cos2x思路:应用弦函数的升降幕公式，_1 2cos2 x解：dx1 cos2x cos2x先升幕再积分。1 2 , sec xdx2dxta nx C.2 (17)cosx sinxdx思路:不难，关键知道“cos2xcos2 x sin2x(c

8、osx sin x)(cos xsin x) 。cos2x 解：dxcosx sin x.cos2x (18)cos x sin x(cosxsin x)dxsin xcosx C.dx思路：同上题方法，应用“cos2xcos2 xsin2x ,分项积分。解：7""2cos x sin-dxx2cos x.2sin x ,2 . 2 dxcos x sin xdx sin x1厂xcos xcsc xdxsec xdx cotx tanxC.x (19),应用公式即可。21 cos x (20)dx1 cos2x思路：注意到被积函数cos2 x1 cos21 cos2x2c

9、os1 2sec21，那么积分易得。2解：1 21 cos x , dx cos2x1 sec2 xdx2tan x xC. 2、设xf(x)dxarccosx C，求 f(x)。知识点:思路分析考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。1： dx f(x)dx:直接利用不定积分的性质f (x)即可。解：等式两边对x求导数得:xf(x)1rx-f(x) 3、设f (x)的导函数为sinx ,求f (x)的原函数全体。知识点：思路分析：连续两次求不定积分即可。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。解：由题意可知，f(x) sinxdxcosx C1所以f (x)的原函数全体为：(cosx C

10、jdxsinx Gx C2。1 4、证明函数 e2x ,exshx和exchx都是2chx- shx的原函数知识点：思路分析考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。:只需验证即可。解：Qchx shx2xe ，(1 e2x) exshx exchxe2xdx 2dxdx 5、一曲线通过点(e2,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定 积分)与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。d1解：设曲线方程为y f (x)，由题意可知：f(

11、x)， f(x) In | x| C ；dxx2 2又点(e ,3)在曲线上，适合方程，有3 ln(e ) C, C 1，所以曲线的方程为 f(x) In |x| 1. 6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t一dx 1dx 1 一dt 2d(、t);(8)2d(tan2x);(9)2 - d(arctan3x).(m/s)，问：(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？(2) 物体走完360米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为

12、：y f(t)，do-,那么由速度和位移的关系可得：f(t) 3t2 f (t) tVtcos 2x 21 9x 32、求以下不定积分。知识点：(凑微分)第一换元积分法的练习。 C，dt又因为物体是由静止开始运动的，f(0)0, C 0, f (t) t3。3(1) 3秒后物体离开出发点的距离为：f(3) 327米;令 t3360 t 3 360 秒。习题4-2 1、填空是以下等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。111解：(1)dx -d(7x 3);(2)xdx -d(1 x2);(3) x3dxd(3x思路分析：审题看看是否需要凑微分。 直白的讲，凑微分

13、其实就是看看积分表达式中，有没 有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分根本公式的熟 练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ 2);72121 dx1dx1(4)e2xdxd(e2x);(5)d(5ln |x|);(6)d(3 5ln | x |);2 x5x5 (1)e3tdt3t e思路:凑微分。d(3t)解：e3tdt -33 (2) (3 5x) dx思路:凑微分。3解：(3 5x) dx(335x) d(3 5x)20(3 5x)4 C1 (3)dx3 2x 思路:凑微分。1解：dx3 2x捋(3 2x)1ln

14、|32x| C.1(4)3 dx耳5 3x思路：凑微分。1解：35一3x1d(5 3x)3 5一3x(513x) 3d(53x)21 W(5 3x)3 C.2 (5) (sin ax思路:凑微分。xeb)dx解：(sin axxeb )dx1-sin axd (ax) b a1-cosax axbe?A ACOS&dt思路：如果你能看到d(JT) dt，凑出d(JT)易解。2Jt解：CO-dt 2 cos屁(不)2sinV? C (7) tan10 xsecxdx思路:凑微分。C.10210111解:tan xsec xdx tan xd (tanx)tan xdxxln xln In

15、 x思路：连续三次应用公式3凑微分即可。解:dxxln xln In xd(ln |x|) d(ln |ln x|)Inxlnlnx Inlnxln |ln ln x| C (9)思路：此题关键是能够看到xdx是什么，是什么呢？就是d.1 x2 !这有一定难度!解： tan .1 x2 xdx £ tan .1 x2d 1 x21 x2ln | cos、. 1x2 | C (10)sin xcosx思路:凑微分。解：方法一：倍角公式sin2xdx2dxsin xcosxsin2x2sin xcosx。csc2xd2x In | csc2x cot2x| C方法二：将被积函数凑出tan

16、x的函数和tan x的导数。dxcosx ,dx sin xcosx sin xcos x一 se£ xdx tanxd tanx tanxln | tanx | C2 2dxsin x cos xdx sin xcosx sin xcosxsin xcosxdxdxcosxsin xd cosxd sin xcosxsin xln | cosx | ln | sin x| Cln | tan x| C (11)dxxxe e思路:凑微分:dxxxe eexdxdexdex厂 P 1 (ex)2解:dxxxe eexdxdexX 21 (e )arcta nex C方法三：三角公式s

17、in2x cos2 x 1，然后凑微分。 ( 12) xcos(x2 )dx思路:凑微分。2 1 2 2 1 2解:xcos(x )dx cosx dx sinx C2 2xdx-2 3x2思路:由_xdx_J2 3x21 dx22 、2一3x221 d2=|x 凑微分易解。.2 3x21 d(2 3x2)6, 2 3x1(213x2) "d(2 3x2)I" (14) COS2(t)sin( t)dt思路：凑微分。解： cos ( t)sin(t)dt -2 zCOS (t)si n(t)d1 cos2(t)d cos( t)冷3( t)C.3dx x解：-13x3 rd

18、x x4x3 rvdxdx4xd(1 x x3In |14x4 | C. (16)sin x3 dx cos x思路:凑微分。解：-ndxcos x1Lcos xcosx1_12 cos2C.9 (17)=x()2dx0 x思路:经过两步凑微分即可。9x 解：=xdx10 .220xdx1010x"21x10arcs in( = 10、23x (15)-x1思路:凑微分。1 x (18)- - -dxJ9 4x2思路:分项后分别凑微分即可。1x1,x ,解:=dxdx二 dx9 4x2，9 4x2.9 4x2 (19)x2x2 11 _d2x 1 _Ud4x22 1( 2x)238,

19、9 4x21 1 d?x2 1 (2;)31 2x12arcsin(). 9 4x C.2 34思路：裂项分项后分别凑微分即可。解:dx2x21dx(迈x 1)G，2x 1)12.2J $ 2x1 12三急一1d( 2x1)2.21 _-2x-1dG2x1)1.2x 12=n 2x 1C. (20)xdx2(45x)思路:分项后分别凑微分即可。解:xdx(4 5x)21/4 5x 4、,-(2) dx5 (4 5x)1 1 1(42) d (4 5x)254 5x (4 5x)125d(44 5x5x)425 (21)x2dx思路:分项后分别凑微分即可。解:x2dx(x 11)2 dx100(

20、x 1)(45x)2d(45x)l n|4 5x| 41 C.2525 4 5x(X 1)22 (x 1)(x 1)1002 (x 1)100(x1)100)dx(x11)982 - (x11)99(x1)100)d(x1)1 197 (x 1)971 149 (x 1)981 199 (x 1)99C.A Axdx (22)-一x8 1思路:裂项分项后分别凑微分即可。解:xdx8xxdx44(x 1)(x1)1厂)xdxi2 (23)1(1)詐11厂x2 1x2 1严2 11 arcta nx24C.cos xdx思路：凑微分。cosxdxd sin x。1)1x21d(x21)解:cos

21、xdxcos2x cosxdxcos xdsinx(1 sin2 x)ds inxsinx sin3x C3 (24) cos2( t )dt思路：降幂后分项凑微分。解：cos2 ( t )dt1 cos2(2dtcos2( t )d2( t )4It sin2( t24( 25) sin 2x cos3xdx思路:积化和差后分项凑微分。11解:sin 2x cos3xdx (sin5x sin x)dx210sin 5xd 5x丄 sin xdx211cos5x cosx C102 (26) sin5xsin7xdx思路:积化和差后分项凑微分。11解:sin5xsin7xdx(cos2x c

22、os12x)dx cos2xd2x2424cos12xd(12x)11sin2xsin 12x C.424 (27) tan3 xsecxdx思路:凑微分 tan xsecxdx d secx 。解:tan3 xsecxdxtan2 x tanxsecxdxtan2 xd secx(seVx 1)d secxsec xd secxdsecx-sec x secx C3 (28)1思路：凑微分-dx d( arccosx)。解:arccosxarccosx10 d arccosx10arccosxln10C. (29)dx(arcsin x)2 . 1 x2思路：凑微分d (arcsin x)。

23、解:dx(arcsinx)2 ,1 x2d arcs inx(arcsi nx)21arcs inx (30)arctan. xG(1x)dx思路：凑微分 仮 dx 2arcta；乎 d 丘 2arctan(arctan仮)。(1 x) 1(一 x)2解：arctanTx dx2arctan-/x2arctanVd (arcta门依)(1 x)1(x)2(arctan ,x)2 C (31)In tan xcosxs inxdxtanx，即被积函数中凑出 sec? x，思路:被积函数中间变量为tanx,故须在微分中凑出IntanxIn tanxIn tanx 2 In tanx dx 2 dx

24、sec xdxd tan xcosxsinx cos xtanxtanxtanx 2In tanxd (Intanx) d(?(lntanx)In tanx i Intanx Intanx ,解：dx2 dxd ta nxIn tan xd(I ntanx)cosxsinxcos xtanxtanx1 2(I ntanx)2 C1 In x ,(32)2dx(xln x)2思路:d(xln x) (1 In x)dx1 In x11解：2dx2d(xln x)C(xln x)(xln x)x In xdx (33)-dx-1 ex解：方法一：思路：将被积函数的分子分母同时除以ex，那么凑微分易

25、得。dxx1 edxx)1d(ex 1)ln |e x 1|方法二：思路:分项后凑微分dxx1 exex1 edx1dx1dx1d(1 eln |1x xln(e | e1|)(ln exln |e1|) Cln|ex1|方法三:思路：将被积函数的分子分母同时乘以裂项后凑微分。dxx1 eexdxx jie (1Xe )dexx e(1Xe )dexln1r?d(1ln |1ln | e1| Cdx (34)6x(x 4)解：方法一：思路：分项后凑积分。dxx(x6 4)4dxx(x6 4)x6_4x(x6x6dx4)5X-6Xdxln |x| 424d!6xx6 J)丄丨n|x|丄ln 6|

26、x4| C1令x，那么dx*dt。dxL(*)dt1d(4t6)x( x64)241 4t61ln(1 4t246) C力(14)xC.方法二：思路：利用第二类换元法的倒代换。1 d(4t61)241 4t6 (35)飞x (1 x )dx1 x8x8(18：dxx )8 2.x (1 x )d2461 xxx8dxx(1“ 1111、,(8)dxxxxx1111 17x75x53x3 x 2解：方法一：思路：分项后凑积分。方法二： 思路：利用第二类换元法的倒代换。224(1 x)(1x2(1x)dxdx1 x2x (1 x )dxx)(1x)12 dx1 x1x|1一 C1xdxx8(1 x

27、2)t81(tdt)t8t2-dt1(t6 t4 t21 门)dtt2(t6t4t21)dt(t6t4t21)dt!t5!t3IT7 x715x53x3)dtt 1ln|J| C21 x3、求以下不定积分。知识点：(真正的换元，主要是三角换元)第二种换元积分法的练习。思路分析：题目特征是-被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中,F列二恒等式起到了重要的作用。2 2 2 2sin x cos x 1; sec x tan x 1.以确保函数单调。不妨将角的范围统为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。 (1

28、)dx2'x思路：令xsin t,t2，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幕公式。解：令xsint, tdx1x2，贝U dx costdt o 2costdt1 costdtdt1 costdt2cos2-2seC-d-2 2tt tan C2arcs in xx厂rx2 C.或arcs in x万能公式tan2si nt1 cost4!，又 sint si ntx 时，cost (2)厂9dxx思路:令x3sect，t0，I，三角换元。解：令x3sect,t(0,2)，那么 dx 3secttantdt ox29dxx3tan 3sect tan tdt 3 tan2tdt

29、3sect(sec2t1)dt3tan t 3t9 3arccos2 c. |x|(x 3secx 时，cosx3 . ,sin xx,ta nxx (3)dx，(x21)3思路:令xtant, t2三角换元。解：令xtant, tdx sec2tdt odx-2xsec tdt1)3sec tdtsectcostdt sin t (4)dx思路：令x atant,t ，三角换元。解：令 x ata nt, tdx(x2 a2)3,那么 dx2a sec tdt33Va sec ta sec2 tdt 。dta2 sectcostdt1 si nt Cx2C. (5)x2x£x思路:

30、先令ux2，进行第一次换元;然后令tant, t进行第二次换元。解：Qx2_X . x4Ldx1x2丄 dx2x2 . x41，令ux2 得:x2Idx1=du，令 u1tant, t，那么2dusec2 tdt，2xX、x411 dx11 _u_2 u * u21 (csct sect)dt ln1 du1sect2 2(与课本后答案不同) (6) 5思路：三角换元，解：Q5 4x1ln2u2 14x x2dx关键配方要正确。29 (x 2).5 4x x2dx29cos tdt9 x 2 arcs in23tant 1tant sectsec2 tdt1tantsectdttant 4、求

31、一个函数f (x),满足f (x)1思路:求出厂的不定积分，由条件1-In csct cott21ln2C.3sin t, tcos2tdt2t9(2C.那么 dx 3costdt。1 si n2t) C41, ，且 f (0)1。.1 xf (0)1确定出常数C的值即可。1 1 解：Q dx d(x 1) 2 1 x C.一1 xJ x令 f(x) 2、x C，又 f(0)1，可知 C 1,f(x)=2、, x 1.1 5、设 |ntann xdx,，求证：ln tann 1 x In2，并求 tan5 xdx。n 1思路：由目标式子可以看出应将被积函数tann x分开成tann 2xtan

32、2 x，进而写成：tann 2 x(sec2 x 1) tann 2 xsec x tann 2 x，分项积分即可。证明：ln tann xdx(tanxseEx tann 2 x)dxtann 2 x sec xdxtann 2 xdxtann 2 xd tan x I n 2n 1tan x I n 2. n 1n 5时，l5tan5 xdx14-ta n x 1341412-tan x - tan x 42I1tan4x San2 x42tan xdxSan4x tan2 x42In cosxC.习题4-31、求以下不定积分：知识点：根本的分部积分法的练习。思路分析：严格按照“反、对、幕

33、、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微 分。的原那么进行分部积分的练习。( 1)arcs in xdx思路：被积函数的形式看作 x0 arcsinx，按照“反、对、幕、三、指顺序，幕函数x0优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx。解:arcs in xdx xarcs in x3x2d(1 "I11xdx x arcsi nx -1 x22xarcs inx 1 x2 C. ( 2)ln(1 x2 )dx思路：同上题。2 2解：ln(1 x )dx xln(1 x )x-12xln(1 x )2x21 x2dxxln(1 x2)2(x21)1 x22dxxl n(1 x2)2d

34、xdx1 x22xln(1 x ) 2x 2arctanx C. (3)arcta nxdx思路：同上题。解:arcta n xdx x arcta n xdxx arcta nxln(12x2)x-11 d(1 x2)x arcta n x旷2 1 x (4) e2xsinxdx212x . x12x 1xesinecos dx222221 2X2e )解:Q e2xsin2dx思路：严格按照“反、对、幕、三、指顺序凑微分即可。1 e2xsinx1cos'd (1 e2x)2242212x x1 /12xx12 xxesin-(-e cos-e sin dx)224224212x x

35、12xx12x.x ,esinecosesin dx22821622xe sinxdx2 x2e 一亠 xC.1co)S J217222xsin2d(2 (5) x arctanxdx思路：严格按照“反、对、幕、三、指顺序凑微分即可。2解:x arctan xdx1 xx arctan xd ()3 arctan x3亠dx31 x31 3 丄 1 X X X1 3 丄 1, x-x arctan x3312 xdxx arctan x -(x 12)dxx331 31 ,1x1 31 211 2、x arctanxxdx2dxx arctanxx2d(1 x )333 1x3661x2131

36、21x arctanxx ln(1 x ) C.366丄x , (6) xcos dx2思路：严格按照“反、对、幕、三、指顺序凑微分即可。局Xc.Xc .Xc .Xc .X,.XX解： xcosdx 2 xdsin 2xsin 2 sin dx 2xsin 4 sin d -2 2 222xsinx 4cos-2 xtan2xdx思路：严格按照“反、对、幂、C.三、指顺序凑微分即可。2解:xtan xdxx(sec2x 1)dx(xsec x x)dxxsec xdx xdxxd(ta nx)xdx xta nxtan xdxx22xta nxIn cosC. (8) In 2xdx顺序凑微分

37、即可。思路：严格按照“反、对、幕、三、指1 2x 2ln x dx xln x 2x解：In 2xdx xln2xIn xdxxlnx 2xln x-dxxxln2x 2xlnxdx xln2x 2xlnx 2xC. (9) xln(x 1)dx思路：严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解：xln(x 1)dxln(x-x2I n(x 1)2x2dxx2I n(x 1)21 x21 1dxx2I n(x 1)212 (X1x2I n(x 1)1ln(x 1) C (10) 2Xln 2xdx思路：严格按照解:昨 dxX1 I 2 In xx1 2 (In x xIn 2xd(丄X1 2

38、In x X1 2ln x dxiIn x XXX2 Inxd(丄X1 . 2 In xX2. In xX2 WdxX1 2 InXInx 2)C“反、x2lnx 2x x2 %x对、幕、三、指顺序凑微分即可。 (11) cos In xdx思路：严格按照“反、对、幕、三、指顺序凑微分即可。cosI n xdxcosIn xdxx(cosIn x sin In x) C.2xcosln x xsin In x (12)雪dxx思路：详见第(10)小题解答中间，解答略。解:xn In xdxn 1x1n 1In xdx In xn 1 n 1思路：严格按照“反、对、幕、三、指顺序凑微分即可。1

39、n 1 x n 1xxn 11n xn 1xndxn 1丄宀Inxn 1C.解：Q cos In xdx xcos In xxsinlnx dx xcos In x sin In xdxxxcoslnx dx xcosInx xsin In xx (13) xn In xdx(n 1) (14) x2e xdx思路：严格按照“反、对、幕、三、指顺序凑微分即可。解：x2e xdxx2e x e x2xdxx2e x 2xe x 2 e xdxx2ex 2xe x 2e x Ce x(x2 2x 2) C(15) x3(I nx)2dx思路：严格按照“反、对、幕、三、指顺序凑微分即可。解：x3(I

40、 nx)2dx(I nx)2dCx4) - x4(I n x)2 - x4 2I nxdx444x14八、213 .In x, 14、21, 4x (Inx)x 1:dx -x (In x)In xdx4248-x4(Inx)21x4lnx14x1 . 1 dx -4214x (In x)xIn x13 ,x dx488x48814八、214 .1 4c 1 421C.x (Inx)x Inx一 xCx(2ln x In x-)483284 (16)x思路：将积分表达式 口也 dx写成In In xd (In x)，将In x看作一个整体变量积分即可。x解：In In x111dx In In

41、 xd(ln x) In xlnlnx In xdx InxlnlnxdxxIn x xxIn x ln In x In x C In x(ln In x 1) C.( 17) xsin xcosxdx11111xsin x cosxdxxsi n2xdxxd( cos2x)xcos2xcos2xdx222441c1xcos2xcos2xd2x11xcos2x sin2xC.4848思路：严格按照“反、对、幕、三、指顺序凑微分即可。解:(18)x2吨dx思路：先将cos2 x降幕得1 cosx2 2然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幕、三、指顺序凑微分即可。解:x2 cos dx2(1

42、 x2- x2 cosx)dx2 21 x2dx - x2 cosxdx2 21 31 2 .1 312 .1xx d sin xxx sinx 2xsin xdx626221 31 2 .11 31 2xx sin xxd cosxxxsinx x cosx6262cosxdx1 31 2x x sinx xcosx sinx C6 2 (19) (x2 1)si n2xdx思路：分项后对第一个积分分部积分。2解：(x 1)si n2xdx2x sin 2xdx sin 2xdx2Ix d( cos2x)cos2x22221 cos2x-2 Xcos2x1xsin 2x2221 2 xcos

43、2x-xsi n 2x1ccos2x2241 213_xcos2xxsi n 2x一 cos2x224 (20)3 Ze dx思路：首先换兀，后分部积分。121C(2sin 2xdx)s2x22-cos2x C213xC(xsini 2x-)cos 2x sin2x C22 2解：令t 3x, 那么 x t3, dx 3t2dt,3 xt 2t 22 t2 tte dx e 3t dt 3 et dt 3 t de 3t e 3 2te dt2 tt2 ttt2 ttt3tdxel 3 2tdel 3t2d 6e 6 ddt3t2d 6el 6el C3.1 x2 x2e x 6e x 6e x C3e3.3 x223 x 2) C.(21)(arcsi nx)2dx思路：严格按照“反、对、幕、三、指顺序凑微分即可。2解:(arcsin x) dxx(arcsin x)2arcsin x ,x(arcsin x)2arcs in xFd(1x2)x(arcsin x)2 2 arcsinxd(. 1 x2)x(arcsi nx)22,1 x2 arcsinxx(arcsi nx)22.1 x2 arcsinx21/ x2 dx_2 dx x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsinx 2x C. (22) e2 sinxdx思路：严格按照 解：方法一：&quo