例谈导数的几个简单的应用

1、例谈与数的几个简单的应用王耀辉高中阶段学习导数以后，常常把导数作为研究函数单调性、极大(小)值、最大(小)值和解决生活中优化问题等来运用.实际上，它还有其他方面更多的应用.本文就根据高中学过的一些内容，列举了导数的几个简单的应用，供读者学习时参考.1 .利用导数的定义求极限在一些教辅资料、高考题中，出现了一类特殊极限求值问题，最常见的是0型，感觉0不好求.若能灵活运用导数的定义，问题便会迎刃而解.例1.求值:(1)1而一limine,x0xx-0x解：(1)根据导数的定义，该式实际上为求函数f(x)=sinx在点x=0处的导数.sinxsinx-sin0所以lim=limxQxx0x=(sin

2、x)'|x=0=cosx|x=0=cos0=1.(2)根据导数的定义，该式实际上为求函数f(x)=ln(x+1)在点x=0处的导数.所以iim3ln(x+1)=ln(x+1)'|x=0=;lx=0=xWxx1例2.(2010年全国卷文科21题)设函数f(x)=x(ex1)ax2.若当x)0时f(x)0,求实数a的取值范围.解：由已知得f(x)=x(ex-1-ax)>0(x>0),即ex1ax>0(x>0),当x=0时，(x>0),求导得rIcI八一公文ex-1c人ex-1xxxe-e1g(x)=2xawR；当x>0时，分离参数得a<e一

3、1(x=0),令g(x)=e1xx(x>0),再令h(x)=xexex+1(x>0),则xxxh(x)=xe>0(x>0),，h(x)=xe-e+1在(0,)上递增，h(x)>h(0)=0,ex-1g(x)>0,1-g(x)=在(0,收)上递增.，g(x)Alimg(x),所以a<limg(x).因xx0x>0x.x0e_1e_e,xx.为limg(x)=lim=lim=(e)lx=0=elx=0=1,所以a<1.x'x0xx0x-0综上所述，实数a的取值范围为a<1.2.利用函数极值点导数为零的性质，在三角函数中求值例3.已

4、知f(x)=asin2x+cos2x(awR)图像的一条对称轴方程为x=,则a的2值为()A-2B-73CTD2解析：由于三角函数的对称轴与其曲线的交点为极值点,所以由f(x)=2acos2x_2sin2x,得f1三)=2aos2sin26=06，故a/应的函数为偶函数，则邛的最小值是(2二A.-B.-C.)5二D.6例4.已知函数f(x)=cosxJ3sinx的图像向左平移邛即a0)个单位所得图像对解析：设函数f(x)图像向左平移中(中A0)个单位后的函数解析式为:g(x)=cos(x+中)J3sin(x+邛)，由于g(x)为偶函数，所以g'(0)=0.又g'(x)=sin(

5、x+中)73cos(x+中),2二所以sin平J3cos邛=0,tan邛=J3,故中的最小值为.3例5.已知2cosx-sinx=J5,求tanx的值.解析：设f(x)=2cosxsinx,则曲线f(x)=2cosxsinx过点(t,J5).，一一-1.2由于2cosx-sinx=.5(=sinxcosx)=、.5(sinxcoscosxsin),5.5=J5sin(x+中)，其中cos5=一一,sin邛=义.55所以函数f(x)=2cossxn点(t，-J5世取极小值，导数为零.即一.一一一11f(t)=-2sint-cost=0,所以tant=一一,从而tanx=一一223 .导数在数列求

6、和中的应用例6.已知数列an的通项为n1an=n2,求数列an前n项的和Sn.n解析：令2=x,则Zixii1n=0xi)=i=1-x(1-xn)1_(n+1)xn+11-x(1-x)2n：hnx所以Sn二1-(n1)2nn2n1_2(1-2)nn1=1f(n1)2n24 .导数在二项式中的应用123nn1例7.证明：C：+2C：+3C；+nCn1=n2n证明：令(1+x)n=C0+C1x+Cnx2+C；x3+Cnnxn,对等式两边求导，得：n(1十x)n=C：+2C；x1+3C；x2+nCnnxn,令x=1,代入上式即得n.2n-=C；+2C2+3Cn+十nCn,即C；+2C；+3C；+nC

7、nn=n2nl.5 .导数在三角恒等变换公式中的应用在三角恒等变换公式中，公式多，不易记，应用导数可以将这些恒等式进行沟通.(1)两角和、差的三角函数公式cos(口-P)=coso(cosP+sinc(sinP,视a为变量，P为常量，对等式两边求导，得-sin(:11;)二-sin=cos.，cos二sin:即sin(a-P)=sinacosPcosasinP,反过来，视a为变量，P为常量，对等式两边求导，得cos(口-P)=cosotcosP+sin«sinP故利用上述求导方法有：cos(口±P)=cosacos口msinasinb脩:燃10?sin(a±S)=sinacosS士cosasinP(2)二倍角公式-2.2cos2-cos:-sin;脩JES?sin2=2sinacos«(3)积化和差公式1sin:cos-=3sin(:工，P)singI)而St?cos1©os1-P