余数性质及同余定理B级答案

1、年冷知识框架1、 带余除法的定义及性质1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（bw。，若有a-Hb=qr,也就是a=b><q+r,0寻vb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：（1）当r0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看

2、出余数一定要比除数小。2. 余数的性质被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；余数小于除数.2、 余数定理：1 .余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22 .余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。例如：23,16除以5的余数

3、分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等于2,两个余数差3-12.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23,14除以5的余数分别是3和4,2314=9除以5的余数等于4,两个余数差为3+54=43 .余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23X16除以5的余数等于3X1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23X191以5的余数等于3X4除以5的余数，即2.乘方:如果a与b除以m的余数相同，那么an与b

4、n除以m的余数也相同.一同余定理1 定义整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a三b(modm)2 同余的重要性质及举例。1a三a(modm)(a为任意自然)；2若a=b(modm),贝Ub=a(modm)3若a=b(modm),b=c(modm)贝Ua三c(modm);4若a=b(modm),贝Uac三bc(modm)5若a=b(modm),c=d(modm),贝Uac=bd(modm);6若a=b(modm)贝Uan三bm(modm)其中性质3常被称为"同余的可传递性"，性质45常被称为"同余的可乘性

5、，"性质6常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc(modm)且(c,m)=1则a三b(modm)3 整数分类：1用2来将整数分类，分为两类：1, 3,5,7,9,(奇数)；0,2,4,6,8,(偶数)2用3来将整数分类，分为三类：0,3,6,9,12,(被3除余数是0)1, 4,7,10,13,(被3除余数是1)2, 5,8,11,14,(被3除余数是2)3在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0(mod6):0,1 (mod6):1,2 (mod6):2,3 (mod6):3,4 (mod6):4

6、,6, 12,18,24,7, 13,19,25,8, 14,20,26,9, 15,21,27,10, 16,22,29,重难点一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同。5(mod6):5,11,17,23,29,同余在解答竞赛题中有着广泛的应用.在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法.例题精讲【例1】一个两位奇数除1477,余数是49,那么，这个两位奇数是多少这个两位奇数能被1477-49=142S整除，且必须大于49/428=2x2x3x7x17,所以这样的两位奇数只有51.【巩固】2024除以一个两位数，余数是22.求出符合条件的所

7、有的两位数.|2024-22-2002)2002-2x7x11x13,那么符合条件的所有的两位数有11/3,14,22,26,77,91,因为“余数小于除数”，所以多去I1/邛422,26,答案只有77,91.【例2】两数相除，商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是.因为被除数减去8后是除敷的4倍，所以根据和信问题可知，除数为(4】S-4-8)+(4+1)=79F所以，破除数为79x4+区=324.【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少本题为带余除法电义式的基本题型.根据题意设两个自然数分

8、别为无加可以得到=40y+16，解方程组存|工="",即这两个自然数分别是856,2Ljc+y+40+16=933y=2【例3】一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100,父亲岁数最大，问：母亲是多少岁从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余L就知四个岁数都是靠+】型的数，又是质数.只有7,13,19,31,37,43,就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁.【巩固】有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人.三校共有高中生2196人.有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所

9、学校初中人数是高中人数的倍；还有一所学校高中、初中人数相等.三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是人.】三所学校的高中生分别是：工校742人，B校732人，C校722人.如果4校或C校初中人数是高中人数的L5僭，该杈总人数是有数，而按照给出条件得出其他两坟总人数恭是偶数，与三校总人数5480是偶数矛盾，因此只能是B校的初中人教是高中人数的1£倍.三校初中的愚人数.是5会。-296=加4,被3宗余大7翌被3整以722被3除余2J42被31余余L从余数来看【例4】C2X2+J-5s"2-2=4,就断定初中人教是高中人数的2倍，只能是匚校，所以，4校总人数是742+742=

10、1-4（人）.求4373091993被7除的余数.1方法一：先将437M309XI993算出以后，即437M309父19%=2691207的,再求得此数被7除的余数为L方法二：因为473I余以7的余数为3,309除以7的余数为L由修同余的可乘性”知：（437x309）除o以7的余数为U.IL又因为1993除以7的余数为5,所以14”*瑞9H993）除以7的余数筝于Gx】即J5除以7的余数，算出437x3Q学K1993板7除的余数为1.全法三：利用全敷判别法，算出如7M制u.=2&U】207后9，奇敬节的救之和与候蹴节的敬之和的是即（2+也+。4心+一门+2+0）-7+22-3三兆,36

11、除以7的余数为1,即437"93被7除的余数为L【巩固】一个数被7除，余数是3,该数的3倍被7除，余数是_。I余数是3x3+7的余数，为2【例5】若2836,4582,5164,6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为.I设除数为人因为28%,4582,5164,6522除以人的余数相同，所以他们两两之差於能被A整除.凡因为余数是两位数，所以A至少是两位数.4582-2836=1746>5164-4W82-582、6522-5164=t因为仃£2J35初二14,所以A是194的大于1。的约数.194的大于I。的的数只有97和19

12、4.如果月-J94,23S6+1守4-14-120，余数不是两位数,与题意不符.加果人=97,经检验，余数都是23,除数十余数=97+23=120,根据题竟可知，这个自然数去除29弧233,195时，得到相同的余数（都为&）,既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任奇两数的差除以这个数肯定余0，那么这个自然数是290-2打=57的约数，又是195=38的药数因此就是57和38的公约数，因为57和38的公为数只有19和I,而这个数大于I,所以这个自然数是19.【例6】有这样一类2009位数，它们不含有数字0,任何相邻两位（按照原来的顺序）组成的两位数都有一个约数和20相差1,这样的

13、2009位数共有个.I第一个数确定，就能确是第二个数，以此类推，整个数就定下表了，所以一共就9个数.【巩固】在两位数10,11,，98,99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少10+H+98+991905被7除余2的商住数是7K+2=16,7x3+2-23,，7x13+2=93,共12个数.这些数按题中要求靠加小数点以后，都变为原数的，因此这一手埃使忌和减少了(16*23+493)x(1i)-£X2588.60210所,九经过改变之后，所有数的和是4905-5X8,643164【例7】甲、乙、丙三数分别为603,

14、939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少根据题奇，这三个数除以4都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来；6（13年以一、fj,铝9+4=给f393+乩=*3与由于qng=，要消去余数心口,1.我们只能先把余数处理成相同的.蒋南款相减.这样我们先杷第二小式子乘以1.使得被除数和余撤都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4.于是我们可以得到下面的式孑：6034-A=&，,4（9为*2）+丹=2K22r3（31Hx4卜用=工尤4万这群余数就处理成相同的.最后两两相减消去余数，意味着能被4整除，93<2-603

15、-127,393x4-603-969>（1275,969）=51=3x17,51的约数有1、3.17.51,其中1、3显然不满足，检骁门和51可知17满足，所以尺等于17.【巩固】已知60,154,200被某自然数除所得的余数分别是a1,a2,a31,求该自然数的值.根据题意可知.自然数61,154,201被读数除所得余数分别是由于工3内，所以自然数6二3721与154同余；由于G=所以61X154=9角4与201同金1所以除数是3721-154=3567和空94-201=铝的公约毂，运用辗转相除法可得到(3567,9193)-2Q,该除数为2g.经检验成立.【例8】【答案】29已知n是

16、正整数，规定n!12Ln,令m1!12!23!3L2007!2007,则整数m除以2008的余数为多少I叩IkI+2以2+3%3+2«07!>2007=1tx(；2-I)+-1)+35«t4-1)+WD7及3)。8-】)-21-11+Jk2k41-3U-4-20081-20071=2QQHI-120处能嵋整除2口口8"所以2(Wist-I的余数是2(XH.【巩固】已知n是正整数，规定n!12Ln,令Q3!34!45!5L2012!2012,则整数Q除以2013的余数为多少c=3lx3+4x4+5Jx5-一+20121x2012=lkC2D+2kg1>十

17、3卜4一D十+2012(2013-1)-11-21x2=2!-11+3!-2145-3!+2013!-2012E-11-2h2-20131-62013能够楚I空2013"所以20I3!-6的余数是2007.【例9】设n为正整数，k2004n,k被7除余数为2,k被11除余数为3,求n的最小值.20(用被7除余数为2,板II除余敬也为2,所以2"被7除余数为2,被1】除余数为3.由于展=2被7除余2r而：fB被7除命1,所以n除以3附余数为1；由于炉.256被11除余3,严-1024械1除余1,所以总除以I。的余数为&叶见打+2是3和1。的公倍数，最小为31口=3。，

18、所以n的最小值为28.【巩固】试求不大于100,且使3n7n4能被11整除的所有自然数n的和.通过逐次计算，可以求出非被11除的余数，依次为：寸为3,铲为9,妙为5,丁为4,必为1因而V1被i除的余薮§个构成一个周期：3,9,5,41,3,9,5,%I,;樊似地，可以求出7.被II除的余上10个构成一个周期：7,5>2,3110,4、6,9,8;于是:T+7*+4被“除的条数也是10个构成一个周期：3,7,0,0,%0,8,7,5,6,;这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即>1=346/3.14,1693,94.96时3*+7,4能被11整除，所

19、以,所有满足条件的自然数停的和为：州3十4+6+J3+14升16+93+94+96=13+43十i十2s3=1480,【例10】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少这个自然数去除见)，164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除9。+IS4=254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同、因此这个自然数是254-22034的约数，又大于10,这人自然数只能是17或者是34.如果这个数是34,那么它去除90.164,220后所得的余数分别是22,28.16,不符合题目条件；如果这个数是17,那么它去

20、除加、164、220后所得的余数分别是5、II、16,符合题目条件，所以这个自然数是17.【巩固】两位自然数ab与ba除以7都余1,并且ab,求abba.abba能7隹除，即(1Oct(10B4-«)=9x(a-b,能7隹除*所以只能有n8=7,那幺ab可能为92和81,脸算可得当7=92时，最=29满足题目要求，力乂£=8乂29=2668三少课堂检测【随练1】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10,那么这样的自然数共有多少个权题为一道余数与约数个敦计算公式的小鲸合性题目.由题意所求的自然数一定是20(18-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件.这样

21、题目就转化为1998有多少个女于10的约数，199B=2x33x37,共有(1+1)X(3+1)X(1+1)=再个约数，其中L2,3，如9是比H)小磬的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个.【随练2】22003与20032的和除以7的余数是找规律.用7除2,2【作业1】大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等除以7的余数只能是。6所以商只能是0-6,满足大于7的数只有两和余敕都为5.6,所以只能是40、48.【作业2】一个三位数除以36,得余数8,这样的三位数中，最大的是。I因为最大的三位数为999,999+3b工727,所以满足题意的三位数最大为：36x27+8-9HD【作业3】三个数：23,51,72,各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是。,2、之32自，的余数分别是2,4,h2,4,1,2,%1，,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为I;2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2;2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4.因为于2I-23=28>72-51=21,（2跖21）=7,所以这个除数是7,【作业4】学校新买来11