1990高考数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】

1、1990年试题(理工农医类)一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 在题后括号内，把所选项前的字母填leg Jt(1)方程2幻二扌的解是Key一、选择题:此题考查根本知识和根本运算A把复数1 +时应的向量按顺时针方向旋转y，所得到的向量对应的 复数是2 2CB)(C)】-1 + 731-73.11 2 21-73 -1-V3.11【Key(2)B(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 S,那么圆柱的体积等于(A)| 后(C)沁斗【 】S71Key方程sin2x=sinx在区间(0,2 n )内的解的个数是(A) 1(B)2(C)3(D)4【】KeyC广八10兀(B

2、)(D)10 兀=冲匸11 6=2-Cp = 一60 = 2,cp=-&【 】Key(5)CCOSX |tgx| CtgKx + q»( I cpl -)的图象，那么+的值域是函数厂戶isinxcosx(A)-2,4(B)-2,0,4(C)-2,0,2,4(D)-4,-2,0,4【】Key(B)a = Fb = -63【 】(7)如果直线y=ax+ 2与直线y=3x b关于直线y = x对称，那么 (A.) a = = 6(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6Key(7)A极坐标方程4吨(A)圆 (B)椭圆(C)双曲线的一支 (D)抛物线 【】Key(8)D(D设全Mi

3、 = ( g y)|阳ERh集郃"g外|匚广小x- 2N = 仗)也H签+ 1.那么同顶等于2(B)(2,3)(C)(2,3) (D)(x,y) | y=x+1【】Key(9)B(10) 如果实数s满足等式仗-2尸+/=3,那么丫的最大值是_V3(硝寺V3 (叱(D"【】Key(10)D(11) 如图，正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面 直线EF与SA所成的角等于(A)90 ° (B)60 ° (C)45 ° (D)30 °【】Key(11)C(12) h>0.设命题甲为俩个实数a

4、,b满足| a b | <2h;命题乙为:两个实数a,b满足| a1 |<h且| b-1 | <h那么(A) 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件(B) 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件(C) 甲是乙的充分条件(D) 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【】Key(12)B(13) A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻)，那么不同的排 法共有(A)24 种(B)60种(C)90种(D)120种【】Key(13)B(14) 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70 个(B)64个(C)58个(D)52 个【 】Key(14)C

5、(15) 设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象Cz与C关于 原点对称，那么C，所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2)【】Key(15)D二、填空题：把答案填在题中横线上.(1®双曲钱召-吕二1的准钱方程是*(17) (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，X2的系数等于(18) an是公差不为零的等差数列，如果Sn是an的前n项的和，那么皿些等于g(19) 函数 y=s in xcosx+s in x+

6、cosx 的最大值是(20) 如图,三棱柱ABC A1B1C1中,假设E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为 W、V2的两局部，那么V1：V2 =CiKey、填空题:此题考查根本知识和根本运算(16)y = ±y(1吋+旋(17)-20(20)7.5(18)2三、解答题.7(21) 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的 和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.Key三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力解法设四个数依次为込“ +缶依题菖有+二一二血a +(a

7、+ d) = 12由式得 d=12-2a.将式代入式得a-(12- 2a)+(12a) = 16,整理得 a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入式得d1 =4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设四个数依次为x,y,12-y,16-x依题意，有fx+ (12-y) = 2y, ty(16-x) = (12-y)2.由式得 x=3y-12.将式代入式得y(16-3y+12)=(12-y) 2,整理得 y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)己知

8、sina + sin0=P COSO*+- +，求馆(d +ff)的值。Key(22) 本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力2' 4ct-Bcos-=-2如叭汙石1_tg 124T解法一：由得sinct+sin|3= 2sma+co5a 卩 "2込小ot+ pcosOt + cosp = 2cos2两式相除彳耘半二;UI所以解法二:如图，不妨设0WaWB< 2n ,且点A的坐标是(COS a ,sin a )，点B的坐标是(cos B ,sin B ),那么点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结AB,假设C是AB的中点，由题i殳知点宙坐标是连结0C,于是

9、0C丄AB,假设设点D的坐标是(1,0),再连结OA,OB,那么有 ZDOA = ct,ZDOB = B.ZDOC =寻丄 te.、从而tg = tg/DOC = g二三.22.46,2X424T解法三：由题设得4(sin a +sin B )=3(cosa +cosB ).将上式变形为 sin ot - | cosa = cos p- y sin p设coscp ,sin cp 将式代入式，可得sin( a -)=sin(- B ).于是 a= (2k+1) n -(- B )(k Z), 或 a -=2k n +(- B )(k Z).a = B+ (2k+1) n (k Z).假设 a

10、-=(2k+1) n -(- B )(k Z),那么 a = B 于是 sin a =-sin B，即 sin a +sin B =0.这与己知条件sina+ sin |3 =矛盾由此可知 a -=2k n +(- B )(k Z), 即 a + B = 2+2kn (k Z).所以tg(ct + 0)二 =1 一 tg®2tgcp4>(23) 如图,在三棱锥S ABC中,SA丄底面ABC,AB丄BC . DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于 D、E.又SA = AB,SB = BC.求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数.Key(23)本小题考查直线和平面，直线和

11、直线的位置关系 二面角等根本知识，以及逻辑推理能力和空间想象能力解法一：由于SB= BC,且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SCX BEV又SC± DE,BE A DE = E, SC 丄面 BDE, SC 丄 BD.又 v SA丄底面ABC,BD在底面ABC上, SA 丄 BD.而SC A SA = S,a BD 丄面 SAC.v DE =面 SAC A 面 BDE,DC =面SAC A 面 BDC, BD 丄 DE,BD 丄 DC./ EDC是所求的二面角的平面角.v SA 丄底面 ABC, a SA 丄 AB,SA 丄 AC.设 SA = a,贝

12、 ljAB = ajBC = SB = /2a又因为AB丄BC,所 OAC = 73a.在 KtZXSACtpptgZACS =/ ACS = 30° .又DE丄SC,所以/ EDC = 60° ,即所求的二面角等于60解法二：由于SB= BC,且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SCX BE.又口 SC± DE,BE A DE= E： SC丄面 BDE, SC 丄 BD.由于SA丄底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理 得BD丄AC;又因E SC,AC是SC在平面ABC上的射影，所以E在平面

13、ABC上的射影在AC上, 由于D AC,所以DE在平面¥BC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD丄DE. DE 面BDE,DC 面BDC,/ EDC是所求的二面角的平面角以下同解法一(24) 设a>0,在复数集C中解方程Z2+2 | z丨=a.Key(24)本小题考查复数与解方程等根本知识以及综合分析能力解法一:设z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由式得y=0或x=0.由此可见,假设原方程有解，那么其解或为实数，或为纯虚数.下面分别加以讨 论.情形1假设y=0,即求原方程的实数解z=x.此时，式化为x2+2 | x | =a.(I)令x>0,方程变为X

14、2+ 2x=a.解方程得掘=-1 士 ,/T+I.由此可知：当a=0时方程无正根；当自> 0时，方程)有正根x = -1 + 71 +a.(H )令x<0,方程变为x2-2x=a.解方程得耀=1 ± ./右.由此可知：当a=0时方程无负根；当a>0时，方程有负根x=1-斗.)令x=0,方程变为0=a.由此可知:当a=0时,方程有零解x=0;当a>0时,方程无零解.所以,原方程的实数解是：当 a=0 时,z=0;当辺 >。时忆=±(1 -情形2.假设x=0,由于y=0的情形前已讨论，现在只需考查y工0的情形，即求原方程的纯虚数解z=yi(y工0)

15、.此时，式化为-y2+2 | y | =a.(I)令y>0,方程变为-y2+2y=a,即(y-l)2=1-a.由此可知:当a>1时,方程无实根.当a< 1时解方程得y=1 ± j 一 一 -1 ,从而，当a=0时力程有正根 y=2;当0<aw 1时,方程有正根y=1 ± - '.(n)令y<0,方程变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.由此可知:当a>1时,方程无实根.当a< 1时解方程得y=-1 ±1 -,从而,当a=0时方程有负根y=-2;当0<aw 1时,方程有负根 y=-1 ± &q

16、uot;-所以,原方程的纯虚数解是：当 a=0 时,z=± 2i;当0<a< 1 时, z= ± (1+1 )i,z= ± (1-1 )i.而当a>1时，原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得x2 -y1 + 2/x2 +y3 十 2xyi = a,于是原方程等价于方程组X2 -+ 2/x2 +y3 = aP 2y = 0.由式得y=O或x=O.由此可见,假设原方程有解，那么其解或为实数，或为纯虚数.下面分别加以讨 论.情形1假设y=O,即求原方程的实数解z=x.此时，式化为X2+2 | x | =a.即 | x |2+2 | x

17、| =a.解方程得I x | = -1 +T所以,原方程的实数解是丄=土(J+ Jl + si).情形2.假设x=O,由于y=O的情形前已讨论，现在只需考查y工0的情形，即求原方程的纯虚数解 z=yi(y工O).此时，式化为-y2+2 | y | =a.即-| y | 2 +2 | y | =a.当a=O时，因y工O,解方程得| y | =2,即当a=O时，原方程的纯虚数解是z=± 2i.当O<a< 1时，解方程得I y I = 1 士 丿1_ 乩J即当O<a< 1时,原方程的纯虚数解是z = ± (1 + Jl- a )iPz = ± (

18、1 - J1-更)1 一而当a>1时，方程无实根，所以这时原方程无纯虚数解.解法三：因为z2=-2 | z | +a是实数，所以假设原方程有解，那么其解或为实数，或为纯虚数，即z=x或z=yi(y丰O).情形1.假设z=x .以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.假设z=yi(y工O).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四：设z=r(cosB +isin 0 )，其中r> O,O<0 <2 n .代入原方程得r2cos2B+ 2r+ ir2sin2 0= a.于是原方程等价于方程组racos2 + 2r = anCD1 rasin2e 0.由式得或8 = (k =

19、0J?23).Li情形1.假设r=O.式变成0=a.由此可知：当a=0时,r=0是方程的解.当a>0时，方程无解.所以,当a=0时，原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.情形2假设8 =与(k = CU2列由于r = 0的情形前已讨论，现在只需 考查r>0的情形.(I)当k=0,2时,对应的复数是z=± r.因cos2B =1,故式化为r2+2r=a.解方程可得T1士打口由此可知：当a=0时方程无正根；当a>0时,方程有正根 -=- =.所以,当a>0时原方程有解-.(H)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos20 =-1,故式

20、化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,由此可知:当a>1时,方程无实根，从而无正根；当 K1 时解方程得r = 1 土= a ,从而，当a=0时，方程有正根r=2;当0 v总时,方程有正根匸=1± 71- a所以,当a=0时，原方程有解z=± 2i当0<a< 1时，原方程有解z = ± (1 +- a)i,.z = i (1 - JlQi.当a>1时，原方程无纯虚数解.(设椭圆的中心是坐标原点长轴杞轴上，离心率& =字,己知点巩0身)到这个椭圆上的点的最远距离是77-求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点p 的距离等于弟的点的坐标

21、*Key(25)本小题考查椭圆的性质，距离公式，最大值知识以及分析问题的能力解法一:根据题设条件，可取椭圆的参数方程是览SjCOS ° Ty bsin 8其中 a>b>0待定,0<9 <2 n .设椭圆上的点x,y到点P的距离为d,那么da =xa +(y - )a=a3cosa B +(bsin 0 - )a=a3 -(a2 -bsm2 9 -3bsin B +4= 4b? -3b3sin2 9 -3bsin 9 +4= -3bsm9 + 丄尸 +4+3.2b如果丄a 1,即b 丄，那么当=-】时从而d有最 2b2大值，由题设得42 1 1由此得-矛盾因此必

22、有丄1成立于是当an 9 =时护从而d有最大值，由题设得 2b2b由此可得 b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是由sin9 =丄，沁8二土迢可得椭圆上的点“，丄，点屈 丄L.厶liL到点F的距离都辰a0(/Tbb由2la.'32即9(1494b的解法二：设所求椭圆的直角坐标方程是由此得b = V7>二与 < 丄矛盾。2 2 2因此必有Q丄成立.于是当y丄时护从而Q有最大值，由题设得2 2CV7)2 =4+3由此可得 b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.a=2b.w-=其中 -byb.如果b < m那么当y = _b时屮:从而Q有最大

23、值.由题设得设椭圆上的点x,y到点P的距离为d,那么3+y =1,4iy=-|及求得的椭圆方程可得椭圆上的点"占点(履土) 到点P的距离都卢。(26)f(x) = lg 1十才十+5_D +11 ",其中Q是实数，口是任意自然数且 nn?2.(I)如果f(x)当x (s,1时有意义，求a的取值范围；(H )如果a (0,1,证明2f(x)vf(2x)当x工0时成立.Key(26)此题考查对数函数指数函数，数学归纳法，不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力(I )解:f(x)当x (-s,1时有意义的条件是1+2x+(n-1)x+nxa>0 x (-s,1,n&

24、gt;2,即 C)+©+宀(字)Im因为IN - 1)在(co,上都是增函数所以在(-s,1上也是增函数，从而它在x=1时取得最大值1 2n-1尹("J)1(- + - + - +)= -= -(n -1)n nnn2因此式等价Ta>-|(n-l).也就是a的取值范围为(a (H )证法一 :2f(x)<f(2x) a (0,1,x 工0.即1+2x+(n-1)x+nxa2< n 1+22x+ +(n-1)2x+n2xa a (0,1,x丰 0现用数学归纳法证明式 (A)先证明当n=2时式成立.假设 0<a<1,xM 0,那么(1+2xa)2=1+2 2xa+22xa2< 2(1+22x)<2(1+22xa). 假设a=1,xM 0,因为1工2x,所以(1 + 2S)2 = 1 + 2 2s +H <2(1 + 2)因而当n=2时式成立.(B)假设当n=k(k>2)时式成立，即有1+2x+(k-1)x+kxa2<k1+22x+ +(k-1)2xa a (0,1,x工 0,