第2章杆件结构有限单元法

1、广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE2.1 2.1 结构离散结构离散2.2 2.2 单元的刚度矩阵单元的刚度矩阵2.3 2.3 坐标变换坐标变换2.4 2.4 结构刚度方程结构刚度方程2.5 2.5 支座约束处理支座约束处理2.6 2.6 刚度方程求解及内力计算刚度方程求解及内力计算例例1. 1. 桁架结构计算示例桁架结构计算示例例例2. 2. 刚架结构计算示例刚架结构计算示例 第第2 2章章 杆件结构分

2、析的有限单元法杆件结构分析的有限单元法广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE2.1 2.1 结构离散结构离散n离散化要点：离散化要点：n杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。结构中两个结点间的每一个等截面直杆可结点。结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。以设

3、置为一个单元。n变截面杆件可分段处理成多个单元，仍按等截面变截面杆件可分段处理成多个单元，仍按等截面杆单元计算，截面刚度取自各段中点处截面。杆单元计算，截面刚度取自各段中点处截面。n对曲杆结构，可细分，用两点之间的直线代替曲对曲杆结构，可细分，用两点之间的直线代替曲线。线。 n在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其变换为等效结点载荷。将其变换为等效结点载荷。n建立单元坐标系和结构整体坐标系。建立单元坐标系和结构整体坐标系。广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑

4、工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE杆系结构离散化示意图杆系结构离散化示意图 2.1 2.1 结构离散结构离散xyxy广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE 2.1 2.1 结构离散结构离散n符号规定：符号规定：n线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正；转线位

5、移及相应力与坐标轴方向一致时为正；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。与坐标轴正向相一致时为正。n基本未知量：基本未知量：n链杆单元，平面每个节点两个线位移，空间每链杆单元，平面每个节点两个线位移，空间每个节点个节点3个线位移个线位移n梁单元，平面每个节点两个线位移和一个转角梁单元，平面每个节点两个线位移和一个转角位移，空间每个节点位移，空间每个节点3个线位移和三个转角位移个线位移和三个转角位移n节点力与节点位移要一一对应节点力与节点位移要一一对应广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIV

6、IL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE 平面刚架的梁单元平面刚架的梁单元e e： Teiiiijjjjuvuv 平面桁架的链杆单元平面桁架的链杆单元e e： eTeixiyiixjyjjejFFFFMFFMF Teiiijjjuvuv eTeixiyixjyjejFFFFFFF2.1 2.1 结构离散结构离散广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL EN

7、GINEERING AND ARCHITECTURE6v单元刚度方程反映单元的节点力和节点位移之单元刚度方程反映单元的节点力和节点位移之间的关系间的关系; ;v单元刚度矩阵可根据刚度系数的物理意义，由单元刚度矩阵可根据刚度系数的物理意义，由力和变形之间的关系确定。力和变形之间的关系确定。v单元刚度矩阵也可以由位移函数和虚功原理或单元刚度矩阵也可以由位移函数和虚功原理或最小势能原理计算。（具有一般性）最小势能原理计算。（具有一般性）2.2 2.2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 返回广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARC

8、HITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE7单元刚度矩阵（方法一）单元刚度矩阵（方法一） 对于一般平面刚架梁单元，单元刚度方程：对于一般平面刚架梁单元，单元刚度方程：)()()(eeeK KF Fn单元的刚度方程：描述单元的结点位移单元的刚度方程：描述单元的结点位移(e)与结点力与结点力F (e)之间的关系之间的关系. 结点位移结点位移iuivijujvjij结点力结点力xiFyiFiMyjFjMxjFijl 对于两结点平面梁单元：对于两结点平面梁单元：Tjjjiiievuvu)(TjyjxjiyixieMFFMFF)(F单元的

9、刚度矩阵单元的刚度矩阵K(e)为为6*6的方阵的方阵对于平面桁架的链杆单元，对于平面桁架的链杆单元，K(e)为为4*4的方阵。的方阵。广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE8平面刚架两结点梁单元的刚度方程平面刚架两结点梁单元的刚度方程 n根据单元刚度系数的物理意义根据单元刚度系数的物理意义, ,由梁单元受力和变形及等截由梁单元受力和变形及等截面直杆的刚度方程可以给出。面直杆的刚度方程可以给出。 )()()(

10、eeeK KF F* 注意：所有力与位移的正负号均决定于坐标系方向。注意：所有力与位移的正负号均决定于坐标系方向。平面刚架两节点梁单元：平面刚架两节点梁单元：iiijjjuvuv xiyiixjyjjFFMFFM111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkF(e)K(e)第第i列元素的物理意义列元素的物理意义: 代表代表ui=1单独作用于基本结构引单独作用于基本结构引起的六个杆端力大小。起的六个杆端力大小。第第krs元素的物

11、理意义元素的物理意义: 代表代表us=1单独作用于基本结构引单独作用于基本结构引起的第起的第r个杆端力个杆端力Fr大小。大小。(e)lEAlEA0000ui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 xiFyiFiMxjFyjFjMui=1llEA1iulEAxy平面梁单元的平面梁单元的单元刚度矩阵单元刚度矩阵单独作用下单独作用下返回00312lEI312lEI26EIl26EIlui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 平面梁单元的平面梁单元的单元刚度矩阵单元刚度矩阵xiFyiFiMxjFyjFjMvi=1l312lEI312lEI26lEIx26lEIy1jvlE

12、AlEA0000单独作用下单独作用下返回0026 E Il26 E IllEI4lEI2ui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 xiFyiFiMxjFyjFjMl26lEI26lEIlEI4xlEI2y1ilEAlEA000000312lEI312lEI26lEI26lEI平面梁单元的平面梁单元的单元刚度矩阵单元刚度矩阵单独作用下单独作用下返回1i0000lEAlEAui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 xiFyiFiMxjFyjFjMuj=1llEA1julEAxylEAlEA000000312lEI312lEI26lEI26lEI0026lEI26lE

13、IlEI4lEI2平面梁单元的平面梁单元的单元刚度矩阵单元刚度矩阵单独作用下单独作用下返回00312lEI312lEI26EIl26EIlui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 xiFyiFiMxjFyjFjMvj=1l1jv312lEI312lEI26lEIx26lEIylEAlEA000000312lEI312lEI26lEI26lEI0026lEI26lEIlEI4lEI20000lEAlEA平面梁单元的平面梁单元的单元刚度矩阵单元刚度矩阵单独作用下单独作用下返回ui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 xiFyiFiMxjFyjFjMl26lEI26l

14、EIlEI2xlEI4y1j0026EIl26EIllEI4lEI200312lEI312lEI26EIl26EIllEAlEA000000312lEI312lEI26EIl26EIl0026 E Il26 E IllEI4lEI20000lEAlEA平面梁单元的平面梁单元的单元刚度矩阵单元刚度矩阵单独作用下单独作用下1j广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE15平面一般梁单元的单元刚度方程为平面一般梁单元

15、的单元刚度方程为: : 323222323222000012612600646200000012612600626400 xiiyiiiixjjyjjjjEAEAllEIEIEIEIFullllFvEIEIEIEIMllllFuEAEAllFvEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllll杆端力杆端力向量向量 F (e)单元杆端位移单元杆端位移向量向量(e)单元刚度矩阵单元刚度矩阵K(e)广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND

16、ARCHITECTURE16梁单元的单元刚度矩阵为梁单元的单元刚度矩阵为: : n单元刚度矩阵常用子块形式表示单元刚度矩阵常用子块形式表示: : 323222( )323222000012612600646200K000012612600626400eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll)()()()()(ejjejieijeiieK KK KK KK KK Kn其中每个都是其中每个都是33的方阵，子块的方阵，子块 Kij(e) 表示杆端表示杆端j 作用一单作用一单位位移时位位移时, 杆杆i 端引起的杆端力。端

17、引起的杆端力。返回广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE17平面桁架链杆单元平面桁架链杆单元 n平面桁架单元只有轴向变形平面桁架单元只有轴向变形, 杆端力只有轴力；杆端力只有轴力； 0iyjyFFFFxiyixjyjFFFFlEAKe0000010100000101)(矩阵表示：矩阵表示： 1:,1:,ixixjjxixjEAEAuFFllEAEAuFFll iijjuvuv000000000000EAEA

18、llEAEAll返回( )Teiijjuvuv( )FTexiyixjyjFFFF广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE1 1） 单元位移函数选用准则单元位移函数选用准则a)a) 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数，单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数，它的阶数至少包含常数项和一次项。它的阶数至少包含常数项和一次项。b)b) 位移函数中包含单元的刚体位移和常应变状态。位移函数中包含单元的刚

19、体位移和常应变状态。c)c) 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。元之间的位移协调性。单元刚度矩阵（方法二）单元刚度矩阵（方法二） 根据结构分析类型选取单元类型和位移场，根据单元类根据结构分析类型选取单元类型和位移场，根据单元类型采用对应的单元位移模式，位移函数能反映真实结构型采用对应的单元位移模式，位移函数能反映真实结构的位移分布规律，保证计算精度及解的收敛性。的位移分布规律，保证计算精度及解的收敛性。选用的单元位移函数应当满足下列要求选用的单元位移函数应当满足下列要求: 广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院

20、COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE形函数在其对应节点的值为形函数在其对应节点的值为1，在其他节点的值为，在其他节点的值为0。0,;,;ijxuuxluu12,jiiuuul( )(1)ijiuijujxxu xuNN ull1,iujuxxNNll (0)1,()0;(0)0,()1iuiujujuNxNxlNxNxl2 2）轴向拉压杆（链杆）单元的位移的函数）轴向拉压杆（链杆）单元的位移的函数 12( )u xx 由单元结点位移，代入位移函数中确定

21、待定系数项：由单元结点位移，代入位移函数中确定待定系数项：轴向位移形函数：轴向位移形函数：轴向位移形函数：轴向位移形函数：单元刚度矩阵（方法二）单元刚度矩阵（方法二） 广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE梁单元挠度函数：梁单元挠度函数： ,iijjvv342321)(xxxxv123243231221iiijijijijvvvllvvll3 3） 梁单元平面弯曲的位移函数梁单元平面弯曲的位移函数 梁单元平

22、面弯曲包括四个结点位移分量：梁单元平面弯曲包括四个结点位移分量：0,;,;iijjdvdvxvvxlvvdxdx 由单元结点位移，代入位移函数中确定待定系数项：由单元结点位移，代入位移函数中确定待定系数项：单元刚度矩阵（方法二）单元刚度矩阵（方法二） 广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE2323232232323232211,3211,ivijvjNxxNxxxllllNxxNxxllll ( )ivii

23、ijvjjjv xN vNN vN 000000eiujuivijvjNNuNNNNv eNu称为形函数矩阵。称为形函数矩阵。 N梁单元挠度函数：梁单元挠度函数： 梁单元位移模式：梁单元位移模式： 3 3） 梁单元平面弯曲的位移函数梁单元平面弯曲的位移函数 单元刚度矩阵（方法二）单元刚度矩阵（方法二） 广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE4 4）平面刚架梁单元的应力应变）平面刚架梁单元的应力应变 平面刚架

24、梁单元内任一点的轴向线应变由两部分平面刚架梁单元内任一点的轴向线应变由两部分组成。组成。lxdudx22bxd vydx 22lbxxxdud vydxdx exB则则 232232161246161226, ,Byxyxyxyxllllllllll B 平面刚架梁单元的应变转换矩阵。 exxBEE轴向应变：轴向应变：弯曲应变：弯曲应变：平面刚架梁单元应变：平面刚架梁单元应变： 单元刚度矩阵（方法二）单元刚度矩阵（方法二） 广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL

25、ENGINEERING AND ARCHITECTURE5 5）平面刚架梁单元的刚度矩阵）平面刚架梁单元的刚度矩阵 梁单元的梁单元的i i，j j结点发生虚位移为结点发生虚位移为 T*eiiijjjuvuv单元内相应的虚应变应为：单元内相应的虚应变应为： exB*由虚功原理有由虚功原理有 TT*eexxvFdxdydz TT*eevB E B dxdydz由于结点虚位移由于结点虚位移 的任意性，可得到单元的刚度方程：的任意性，可得到单元的刚度方程： e TeeeevFB E B dxdydzk单元的刚度矩阵：单元的刚度矩阵： dxdydzBEBkveT单元刚度矩阵（方法二）单元刚度矩阵（方法二

26、） 广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE 横截面积横截面积 ： 横截面对主惯性轴横截面对主惯性轴z的惯性矩：的惯性矩： 通过积分同样可以得到平面刚架梁单元的刚度矩阵：通过积分同样可以得到平面刚架梁单元的刚度矩阵： AdydzAAdydzyI2 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkkkkkejjejieijeiie4602

27、60612061200000260460612061200000222323222323平面刚架梁单元刚度矩阵平面刚架梁单元刚度矩阵广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE25y0 xo1o2o3o41234xyxxxyyyn在整体分析时，要在结构整体坐标下进行杆端力（结点在整体分析时，要在结构整体坐标下进行杆端力（结点力）的叠加力）的叠加;n通过坐标变换使所有单元的杆端力和杆端位移都变换到通过坐标变换使所有

28、单元的杆端力和杆端位移都变换到结构整体坐标下。结构整体坐标下。n在进行单元分析时，使用的是单在进行单元分析时，使用的是单元坐标系，各单元杆端力和杆端元坐标系，各单元杆端力和杆端位移的排列顺序和符号要参照单位移的排列顺序和符号要参照单元坐标系。元坐标系。n力和位移均为矢量，方向不同不力和位移均为矢量，方向不同不能代数相加。能代数相加。2.3 2.3 杆件单元的坐标变换杆件单元的坐标变换返回 设两个坐标系之间的夹角为设两个坐标系之间的夹角为，以整体到单元坐标系的转向，以整体到单元坐标系的转向与与x到到y轴的转向一致为正。轴的转向一致为正。广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEG

29、E OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE26eeeFT Fn杆端力变换：杆端力变换：eeeTn杆端位移变换：杆端位移变换：e0T0n平面链杆单元平面链杆单元:平面杆件单元的坐标变换平面杆件单元的坐标变换1eTeTT为正交矩阵为正交矩阵:cossinsincos返回n单元坐标变换矩阵：单元坐标变换矩阵：n平面梁单元平面梁单元:cossin0sincos0001 )()()()(eeTeeT TK KT TK Kn 整体坐标描述的单元刚度矩阵：整体坐标描述的单元刚度矩阵：

30、广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE2.4 2.4 结构刚度方程结构刚度方程v主要内容：主要内容：231返回结构的刚度方程结构的刚度方程结构刚度矩阵的装配结构刚度矩阵的装配结构的荷载向量结构的荷载向量广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND AR

31、CHITECTUREn结点位移向量结点位移向量 ：所有结点的位移按顺序排成一列；刚架：所有结点的位移按顺序排成一列；刚架每个结点都有每个结点都有3 3个位移，桁架每个结点都有个位移，桁架每个结点都有2 2个位移。个位移。n结点力向量结点力向量P : P : 作用在结点上的力按结点位移的顺序排成作用在结点上的力按结点位移的顺序排成一列一列; ; 单元内部的荷载等效到节点上。单元内部的荷载等效到节点上。返回n结构刚度方程：反映结点力向量结构刚度方程：反映结点力向量P与结点位移向量与结点位移向量之间的之间的关系，即关系，即 ：n K=PvK 为结构的总刚度矩阵，且为对称方阵。由个单元刚为结构的总刚度

32、矩阵，且为对称方阵。由个单元刚度矩阵装配叠加而成。度矩阵装配叠加而成。v结点力向量结点力向量P与结点位移与结点位移一一对应，也按结点位移的一一对应，也按结点位移的顺序排列；顺序排列；v以上所有的量都要用整体坐标表示。以上所有的量都要用整体坐标表示。)(eKK结构的刚度方程结构的刚度方程广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE29yixjyx( g )( h ) 具体做法：把整体坐标下的单元刚度矩阵根据结点编码

33、把具体做法：把整体坐标下的单元刚度矩阵根据结点编码把各子块送到总刚度矩阵各子块送到总刚度矩阵K对应的位置中去。装配过程：对应的位置中去。装配过程：“子块搬家，对号入座子块搬家，对号入座”。 整体坐标下单元刚度矩阵：整体坐标下单元刚度矩阵：jjjiijiiKKKKeK)(v如果如果i, j 对应的结点编号为对应的结点编号为g,h，则单，则单元刚度矩阵的各子块在总刚中的位元刚度矩阵的各子块在总刚中的位置分别为：置分别为：)(eggK)(eghK)(ehgK)(ehhK)(eiiK)(eijK)(ejiK)(ejjK结构刚度矩阵的装配结构刚度矩阵的装配1 2 3 g h n123ghn)(eiiK)

34、(eijK)(ejiK)(ejjK总总刚刚度度矩矩阵阵的的集集成成子块列子块行 每个单元的刚度矩阵都经过如上扩展和对号入座后，总刚度每个单元的刚度矩阵都经过如上扩展和对号入座后，总刚度矩阵的各个子块经过简单的叠加即可得到最终的总刚度矩阵。矩阵的各个子块经过简单的叠加即可得到最终的总刚度矩阵。“子子块块搬搬家，家，对对号号入入座座”如：图示平面刚架的总刚度矩阵的集成如：图示平面刚架的总刚度矩阵的集成n各单元结点编各单元结点编码如图。码如图。n用矩阵记为：用矩阵记为：6564434221Gn如果求出各单元整如果求出各单元整体坐标下的单元刚体坐标下的单元刚度矩阵：度矩阵：jjjiijiiKKKKeK

35、)(1 2 3 4 5 6123456n根据结点编号把各根据结点编号把各单元的子块搬入总单元的子块搬入总刚刚K中的对应位置。中的对应位置。 同一位置各子块的同一位置各子块的对应元素相加；空对应元素相加；空位补位补0。)1 (iiK) 1 (ijK) 1 (jiK) 1 (jjK(2)iiK) 3(ijK) 2(jiK) 2(jjK) 3(iiK) 2(ijK) 3(jiK(3)jjK(4)iiK) 4(ijK) 4(jiK) 4(jjK) 5 (iiK) 5 (ijK) 5 (jiK(5)jjKK00000000000000000000n如果修改各单元结如果修改各单元结点编号。则用矩阵：点编号

36、。则用矩阵：6564434221G1 2 3 4 5 6123456n对角线下方划红对角线下方划红色的元素需要存色的元素需要存储。储。 )1 (iiK) 1 (ijK) 1 (jiK) 1 (jjK(2)iiK) 3(ijK) 2(jiK(2)jjK) 3(iiK) 2(ijK) 3(jiK) 3(jjK(4)iiK) 4(ijK) 4(jiK) 4(jjK) 5 (iiK) 5 (ijK) 5 (jiK(5)jjKK00000000000000000000v 单元的子块搬入单元的子块搬入总刚度矩阵中的总刚度矩阵中的位置，完全取决位置，完全取决于结构结点编码。于结构结点编码。对同一结构，如对同

37、一结构，如果改变了结点的果改变了结点的编码，则总刚度编码，则总刚度矩阵完全不同。矩阵完全不同。 广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE33总刚度矩阵的特点总刚度矩阵的特点 总刚度矩阵是一个对称矩阵；处于主对角线对称位置的两总刚度矩阵是一个对称矩阵；处于主对角线对称位置的两个元素是相等的，即个元素是相等的，即kij=kji 。 总刚度矩阵是一个稀疏的矩阵；大片的区域都是零元素，总刚度矩阵是一个稀疏的矩阵；大片

38、的区域都是零元素，它的非零元素只分布在主对角线两侧的带状区域内。它的非零元素只分布在主对角线两侧的带状区域内。最大半带宽最大半带宽d =（c+1)*m; 其中：其中： c各单元两端结点编号差的最大值；各单元两端结点编号差的最大值； m每个结点的自由度数；每个结点的自由度数； 不相关结点对应的刚度子块均为不相关结点对应的刚度子块均为0。 总刚度矩阵是一个奇异矩阵；当没有引进支座约束条件的总刚度矩阵是一个奇异矩阵；当没有引进支座约束条件的情况下，总刚度矩阵不存在逆矩阵。情况下，总刚度矩阵不存在逆矩阵。 返回u判断图示结构总刚矩阵的最大半带宽。判断图示结构总刚矩阵的最大半带宽。d=(3+1)*3=1

39、234d=(6+1)*3=21n总刚矩阵中元素的排列与结点的顺序直接相关。总刚矩阵中元素的排列与结点的顺序直接相关。d=(7+1)*2=16返回最大相关最大相关结点差结点差3 3最大相关最大相关结点差结点差6 6最大相关最大相关结点差结点差7 7广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE35结构荷载向量结构荷载向量n不考虑约束反力，只由外荷载引起的结点力排成的向量则不考虑约束反力，只由外荷载引起的结点力排成的向

40、量则称为荷载向量。称为荷载向量。n 如图如图1 1，结构的结点力向量，结构的结点力向量: : 11331520TxyxyPPPPP结构的荷载向量结构的荷载向量:v荷载向量荷载向量P 的构成：的构成：v直接结点荷载直接结点荷载Pd v等效结点荷载等效结点荷载PE：单元内的非结点荷载（如分布荷载，温：单元内的非结点荷载（如分布荷载，温荷载，惯性力等）等效移置到结点上得到的。荷载，惯性力等）等效移置到结点上得到的。 00152000TPh/2h/2PlQq1234qql12112ql2ql12ql1212 等效移置的方法等效移置的方法: 首先求出基本结构在非首先求出基本结构在非结点荷载作用下引起的固

41、端力。最后将结点荷载作用下引起的固端力。最后将各固端力反向作用到结构的结点上去，各固端力反向作用到结构的结点上去，即为该结点的等效结点荷载。即为该结点的等效结点荷载。18P211P2ph21qlql12ql122181ph1221ql1234 220,0,0002822128212TqlqlqlqlPPlPPlPQ220, 0, 0 0 02822128212TEqlqlqlqlPPlPPlP等效结点荷载向量等效结点荷载向量:phPph18P21P1281EdPPP荷载向量荷载向量:2312荷载等效图荷载等效图基本结构基本结构: :两端固定梁两端固定梁返回例例4 4：计算图示结构的荷载向量。：

42、计算图示结构的荷载向量。 返回6m6m120KN3m3m653421150KN20 KN/m15 KN/m1210 KN15 KN20 KN5 KN15 KN10 KN2 m34562 m2 m( b )( a )3 m6 m6 m3 m4 i3 i3 i150 KN20 KN/m( c )EI = 4EI = 4EI = 630 KN/m120 KN-m3 m4 m2 m( d ) 0 0 0, 15060 60,0 0 0,010515,60 090,6045 45TP 荷载等效图荷载等效图 24 0 16,2488,0 0 0,088,24 016,4 0 16TP 荷载等效图荷载等效图

43、 广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE382.5 2.5 支座约束处理支座约束处理l在形成结构刚度方程时没有考虑支座等约束条件在形成结构刚度方程时没有考虑支座等约束条件; ; l总刚度矩阵是一个奇异矩阵；总刚度矩阵是一个奇异矩阵；l刚度方程刚度方程 P=K P=K 没有唯一解，方程中包含任意大小的没有唯一解，方程中包含任意大小的刚体位移。刚体位移。l必须引进约束条件，消除刚体位移，才能得到唯一解。必须引进

44、约束条件，消除刚体位移，才能得到唯一解。0531支座条件引进的目的就是使：支座条件引进的目的就是使：约束结点，位移已知约束结点，位移已知0, 约束反力未知。约束反力未知。 自由结点，荷载已自由结点，荷载已知知, 位移是未知量。位移是未知量。结构刚度方程：K11(1)K12(1)0000K21(1)K22(1)+K22(2)0K24(4)0000K33(3)K34(2)0000K43(2)K44(2)+ K44(3) +K44(4)0K46(4)0K52(4)00K55(5)K56(5)000K64(4)K65(5)K66(4)+ K66(5)12345678910111213141516171

45、8P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18 对总刚度方程对总刚度方程 P=K初初等变换等变换- 行列交换行列交换K11(1)00K12(1)000K33(3)00K34(2)000K55(5)K52(4)0K56(5)K21(1)00K22(1)+K22(2)K24(4)00K43(2)00K44(2)+ K44(3) +K44(4)K46(4)00K65(5)0K64(4)K66(4)+ K66(5)123789131415456101112161718P1P2P3P7P8P9P13P14P15P4P5P6P10P11P12P16P17P18

46、Px 未知支座反力未知支座反力P1 已知节点已知节点荷载荷载1支座已知支座已知0位移位移x求解的未知量求解的未知量Kx1KxxK11K1x1111111xxxxxxxKKPKKP 把初等变换后的总刚度方程把初等变换后的总刚度方程 K = P可写成可写成将方程式展开得将方程式展开得:已知节点力已知节点力（节点荷载）（节点荷载）未知节点力未知节点力（支座反力）（支座反力） 未知节点位移未知节点位移求解的未知量求解的未知量已知节点位移已知节点位移（支座（支座0位移位移)0111xxxxxxKPKP 求解未知节点位移求解未知节点位移x计算未知约束反力计算未知约束反力Px对于刚性支座：对于刚性支座：11

47、1111xxxxxxKKPKKP l 支座反力对位移的计算没有影响，但位移决定支座反力。支座反力对位移的计算没有影响，但位移决定支座反力。广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTUREn有限元法是面向计算机的方法，边界处理不要改有限元法是面向计算机的方法，边界处理不要改变刚度方程的阶数，消除刚体位移且不影响自由变刚度方程的阶数，消除刚体位移且不影响自由结点的位移。常用的处理方法有：结点的位移。常用的处理方法有：n1

48、. 1. 主元素置主元素置1 1法：要修正刚度矩阵和荷载向量；法：要修正刚度矩阵和荷载向量；n 作法：作法： 0 0位移对应的刚度矩阵主元素置为位移对应的刚度矩阵主元素置为1 1，相应的副元素置相应的副元素置0 0；荷载对应项置为；荷载对应项置为0 0。n2. 2. 主元素乘大数法：仅修正刚度矩阵；主元素乘大数法：仅修正刚度矩阵；n 作法：仅把作法：仅把0 0位移对应的刚度矩阵主元素乘以位移对应的刚度矩阵主元素乘以一大数（如一大数（如10301030）。）。返回支座约束条件的引进支座约束条件的引进广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEER

49、ING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTUREn主元素置主元素置1法法n若第若第i个自由度（位移）为个自由度（位移）为0，应保证刚度方程解得，应保证刚度方程解得 i=0。 n将总刚度矩阵将总刚度矩阵K中第中第i行的主元素（第行的主元素（第i行的主对角行的主对角线元素）改为线元素）改为1，即令，即令K（i，i）=1。n将第将第i行、行、i列的所有副元素都改为零。即令列的所有副元素都改为零。即令K（i，j）=0，K（j，i）=0 (ij)。n将荷载向量中的第将荷载向量中的第i元素置为零，即令元素置为零，即令 Pi=

50、0。 n经过这三步改动后，便可实现经过这三步改动后，便可实现i=0。 njjijiKP1), (0), (1njjjiK0),(iiiK0i第第3 3步步第第2 2步步第第1 1步步第第i行方程行方程支座约束条件的引进支座约束条件的引进K15jiKjjjj111041661817135151412K(4)ji(4)Kii5283976214311413121110987654321(2)KiiK(1)jjijKKK(2)(3)(2)12345ij(4)KjjKjj(5)(4)1817166Kii(1)Kij(1)(1)Kii(3)(3)(3)KjiKijKji(2)Kii(5)KjiKij(5

51、)(5)K15ji(2)Kjjjj111041661817135151412K(4)ji(4)Kii11152839762143114131211109876543211(2)Kii1K111(1)jjijKKK1(2)(3)(2)12345ij(4)KjjKjj(5)(4)1817166123456789101112131415161718主元素置主元素置1法引进支座条件：法引进支座条件： P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18000P4P5P6000P10P11P12000P16P17P18根据根据0位移修改刚度矩阵；位移修改刚度矩阵；根

52、据根据0位移修改荷载向量。位移修改荷载向量。Kjj(3)15ij(2)KjjK111041661817135151412K(4)jiji(2)ii(2)KKjjKKKii(4)(2)5283976214311413121110987654321111111111(1)12345jjKjj(5)(4)K(4)ij1817166(1)(2)(3)(4)(5)123456789101112131415161718000000000P10P11P12P13P14P15P16P17P18如改变单元结点的编号；如图如改变单元结点的编号；如图引入边界条件后的总刚方程为：引入边界条件后的总刚方程为：主元素置主

53、元素置1法引进支座条件：法引进支座条件： 909060456060604545645606013245返回广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTUREn形成了荷载向量形成了荷载向量P，集成了总刚度矩阵，集成了总刚度矩阵K并且引进支座条并且引进支座条件后，便可由刚度方程件后，便可由刚度方程K = P求解结点位移。这就转求解结点位移。这就转化为求解大型线性代数方程组问题。化为求解大型线性代数方程组问题。n线性代数方程

54、式组的解法：直接法和迭代法。线性代数方程式组的解法：直接法和迭代法。n直接解法：如高斯消去法，及其派生的直接解法：如高斯消去法，及其派生的LU、LDLT三角分三角分解法。解法。n迭代法：塞德尔迭代法。迭代法：塞德尔迭代法。 2.6 2.6 刚度方程求解及内力计算刚度方程求解及内力计算一、刚度方程求解一、刚度方程求解返回广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE47n首先从整体的结点位移向量中取出该单元的结点位移

55、。首先从整体的结点位移向量中取出该单元的结点位移。n设单元设单元e左右两端的结点编号分别为左右两端的结点编号分别为m和和n，则该单元的整，则该单元的整体坐标表示的结点位移向量体坐标表示的结点位移向量 为：为：Tnnnmmme3132331323)()()()(eeeT)()()(eeeKF)(e)(en然后将然后将 进行坐标变换，换成用单元坐标表示进行坐标变换，换成用单元坐标表示 。)(en最后代入单元刚度方程最后代入单元刚度方程, 便可求各单元的杆端力便可求各单元的杆端力 )(eFn如果单元上还作用非结点荷载，则需要叠加由非结点荷载如果单元上还作用非结点荷载，则需要叠加由非结点荷载引起的固端

56、内力，得到真正的杆端力：引起的固端内力，得到真正的杆端力： 二、单元杆端内力计算二、单元杆端内力计算返回( )( )( )( )eeeegFKF例例1. 用有限单元法计算图示桁架内力。用有限单元法计算图示桁架内力。EA=常量。常量。 1. 结构离散如图所示结构离散如图所示2. 单元坐标描述的各单元刚度矩阵单元坐标描述的各单元刚度矩阵结点坐标：结点坐标：1 1（0,10,1），），2 2（1.732,11.732,1）， 3 3（0,00,0）；）；单元结点：单元结点：1 1（1,21,2）,2,2（3,23,2）(1)10100000101030000EAK20000010100000101)

57、2(EAK3. 整体坐标描述的各单元刚度矩阵整体坐标描述的各单元刚度矩阵a=00(2)310022310022310022310022T(1)1000010000100001Ta=300(2)(2)(2)(2)33333131833333131TEA KTKTKTKT返回(1)(1)(1)(1)10100000101030000TEAKTKTKTKT4. 按结点编码按结点编码 装配整体刚度矩阵装配整体刚度矩阵 0000003333008888331100008888333388883311888811331133EAK K单刚坐标变换：单刚坐标变换：1 2 31 2 3001 23 21 23

58、 25. 结构荷载向量结构荷载向量6. 根据边界位移条件修正结构的刚度方程：根据边界位移条件修正结构的刚度方程： 00152000TkNP 112233Tuvuvuv0000003333008888331100008888333388881133113333118888EA112233uvuvuv0015200011330uvuv5. 结构荷载向量结构荷载向量6. 根据边界位移条件修正结构的刚度方程：根据边界位移条件修正结构的刚度方程： 00152000TkNP 112233Tuvuvuv112233uvuvuv0000152011330uvuv主元素置主元素置1 1法法1000000 100

59、0000000000000010000031388331880 1EA5. 结构荷载向量结构荷载向量6. 根据边界位移条件修正结构的刚度方程：根据边界位移条件修正结构的刚度方程： 00152000TkNP 112233Tuvuvuv112233uvuvuv0015200011330uvuv主元素乘大数法主元素乘大数法3030303010030003311330888833331100888833318883010103188810EA7. 求解结构的刚度方程组得位移：求解结构的刚度方程组得位移：(1)10085.98309TEA 10085.9830900TEA(2)10 0 85.98309

60、TEA (2)(2)(2)0.8660.50000.50.86600110.8660.585.9880.03309310.5800.50.866EAEAT T8. 各单元的杆端位移向量：各单元的杆端位移向量：整体坐标下：整体坐标下：转换到单元坐标下：转换到单元坐标下：(1)(1)(1)10000001000011.001085.9885.980001309309TEAEA9. 单元坐标下各单元的杆端力向量：单元坐标下各单元的杆端力向量：(1)(2)49.6440.01NNFkNFkN (1)(1)(1)1010049.640000001101085.9849.641.73200003090EA