中考数学专题复习直角三角形的边角关系的综合题附详细答案

1、中考数学专题复习直角三角形的边角关系的综合题附详细答案一、直角三角形的边角关系1.如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里.在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53。的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上.(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；(2)若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76。的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截.(结果保留根号)(参考数据：sin37=cos53°产cos37=sin53°去，tan37°空2

2、tan76°户【答案】(1)观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；(2)当缉私艇以每小时647海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.【解析】【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出/ACB=90°,再解RtABC,利用正弦函数定义得出AC即可;(2)过点C作CMLAB于点M,易知，D、C、M在一条直线上.解RtAAMC,求出CM、AM.解RtAAMD中，求出DM、AD,得出CD.设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可.【详解】(1)在4ABC中，ACB180BBAC180375390.AC3一在R

3、tVABC中，sinB,所以ACABsin3725-15(海里).AB5答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里.(2)过点C作CMAB,垂足为M,由题意易知，D、C、M在一条直线上.在RtVACM中，CMAMACcosCAM在RtAADM中，tan所以MDAMtan76ACsinCAM1512,5DAM36.9.MDAM'所以ADAM2MD2.923629.17,CDMDMC24.设缉私艇的速度为V海里/小时，则有24M7,解得V6/17.16v经检验，v6"是原方程的解.答：当缉私艇以每小时6府海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截A【点睛】此题考查了解直角三角形

4、的应用-方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.2.如图，在4ABC中，/ABC=/ACB,以AC为直径的。分别交ARBC于点M、N,点P在AB的延长线上,且/CAB=2/BCP(1)求证：直线CP是。的切线.(2)(3)若BC=2jRsin/BCP=5,求点B至UAC的距离.在第（2）的条件下，求4ACP的周长.【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2/CAN=/CAB,/CAB=2/BCP判断出/ACP=90即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可.试题解析：（1）ZAB

5、C=ZACB,.AB=AC,.AC为。O的直径，/ANC=90； /CAN+/ACN=90；2/BAN=2/CAN=ZCAB, /CAB=2/BCP, /BCP玄CAN,/ACP=ZACN+ZBCP之ACN+ZCAN=90； 点D在。O上，直线CP是。的切线；(2)如图，作BF,AC .AB=AC,/ANC=90；111_亍L,丐.CN='CBA',团 /BCP=ZCAN,sin/BCP=5,0 sinZCAN=-1,CN_k亏.AC=5,.AB=AC=5,设AF=x,则CF=5-x,在RtABF中，BF?=AB2-AF2=25-x2,在RtCBF中，BF=BC2C声=2O(5

6、x)2,.-25-x2=2O-(5-x)2,.x=3, .BF2=25-32=16,BF=4,即点B到AC的距离为4.考点：切线的判定3.已知RtABC中，/ACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAEk为常数，试探究/APE的度数：(1)如图1,若k=1,则/APE的度数为一；(2)如图2,若k=73,试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出/APE的度数.（3）如图3,若k=Q,且D、E分别在CRCA的延长线上，（2）中的结论是否成立,请说明理由.【答案】（1）45。；（2）（1）中结论不成立，理由见解析

7、；（3）（2）中结论成立，理由见解析.【解析】分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF,BF=AD,进而判断出 FAEAACD）,得出EF=AD=BF再判断出/EFB=90；即可得出结论；（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF,BF=AD,进而判断出 FAEAACD,再判断出/EFB=90；即可得出结论；（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AFBF=AD,进而判断出 ACDAHEAs再判断出ZEFB=90,°即可得出结论；详解：（1）如图1,过点A作AF/CB,过点B作BF/AD相交于F,连接EF,C图1./FBE=ZAPE,/

8、FAC4C=90四边形ADBF是平行四边形,BD=AF,BF=AD.1 .AC=BD,CD=AE.AF=AC./FAC土C=90,°2 .FAEAACD,EF=AD=BF/FEA=ZADC.3 /ADC+ZCAD=90,°4 /FEA+/CAD=90=ZEHD.1.AD/BF,/EFB=90.EF=BF/FBE=45,/APE=45.°(2)(1)中结论不成立，理由如下：如图2,过点A作AF/CB,过点B作BF/AD相交于F,连接EF,C./FBE=ZAPE,/FAC4C=90；四边形ADBF是平行四边形,BD=AF,BF=AD.,.AC=.,3BD,CD=,3A

9、E,ACCDBDAE3 BD=AF,.ACCD3AFAE4 /FAC土C=90；5 .FAEAACD,ACADBFV3,/FEA之ADC.AFEFEF6 /ADC+/CAD=90,°7 /FEA+/CAD=90=ZEMD.1.AD/BF,/EFB=90.在RtEFB中，tan/FBE=EFBF/FBE=30,°/APE=30,°(3)(2)中结论成立，如图3,作EH/CD,DH/BE,EH,DH相交于H,连接AH,/APE=ZADH,/HEC=ZC=90；四边形EBDH是平行四边形,AHEH/CAD+/ADC=90,/HAE+ZCAD=90,/HAD=90:，BE

10、=DH,EH=BD ac=:3bd,CD=.3AE,.处CD指BDAE /HEA=ZC=90； .ACDHEA,ADAC-V3,/ADC=ZHAEAH在RtADAH中，tan/ADH=33AD'/ADH=30；/APE=30.°点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.4.如图，正方形OABC的顶点。与原点重合，点A,C分别在x轴与y轴的正半轴上，点A的坐标为(4,0),点D在边AB上，且tan/AOD=(,点E是射线OB上一动点，EFLx轴于点F,交射线OD于点G,过点

11、G作GH/x轴交AE于点H.(1)求B,D两点的坐标；(2)当点E在线段OB上运动时，求/HDA的大小；(3)以点G为圆心，GH的长为半径画OG.是否存在点E使。G与正方形OABC的对角线E的坐标.所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点4.2164216-,或【答案】(1)B(4,4),D(4,2);(2)45°(3)存在，符合条件的点为(8-472,8-4&）或（8+4及，8+4衣）或16421642,理由见解析【解析】【分析】一一4，1(1)由正方形性质知AB=OA=4,/OAB=90,据此得B(4,4),再由tan/AOD=得2AD=-OA

12、=2,据此可得点D坐标；2,一，GF1.1.(2)由tanGOF一知GF=-OF,再由/AOB=/ABO=45知OF=EF即OF221GF=EF,根据GH/x轴知H为AE的中点，结合D为AB的中点知DH是4ABE的中位2线，即HD/BE,据此可得答案；(3)分。G与对角线OB和对角线AC相切两种情况，设PG=x,结合题意建立关于x的方程求解可得.【详解】解：(1).A(4,0),OA=4,丁四边形OABC为正方形，.AB=OA=4,ZOAB=90°,B(4,4),在RtAOAD中,/OAD=90°,1.tan/AOD=,2D(4,2)；OF22丁四边形OABC为正方形,./

13、AOB=/ABO=45°,.OF=EF,-1 .GF=-EF,2 .G为EF的中点，.GH/x轴交AE于H, .H为AE的中点，.B(4,4),D(4,2), .D为AB的中点， .DH是ABE的中位线，HD/BE,/HDA=ZABO=45:(3)若。G与对角线OB相切,如图2,当点E在线段OB上时，图2过点G作GPLOB于点P,设PG=x,可得PE=x,EG=FG=J2x,OF=EF=2,2x,.OA=4,.AF=42V2x,G为EF的中点，H为AE的中点，.GH为AFE的中位线，11-.GH：AF=-X(4-2J2x)=2-J2x,22则x=2-2x,解得：x=2./2-2, E

14、(8-4或，8-472),如图3,当点E在线段OB的延长线上时，x=2x-2,解得：x=2+J2， E（8+4应，8+4池）；若。G与对角线AC相切，如图4,当点E在线段BM上时，对角线AC,OB相交于点M,过点G作GP，OB于点P,设PG=x,可得PE=x,EG=FG=2x,OF=EF=2,2x, .OA=4, .AF=4-2>/2x, G为EF的中点，H为AE的中点， .GH为AFE的中位线，GH=_AF=X(4222.x)=2V2x,过点G作GQ,AC于点Q,则GQ=PM=3x2J2,3x-2衣=2-72x,422x,7_4、2164216如图5,当点E在线段OM上时,GQ=PM=

15、2723x,则2及3x=2-四x,解得x4近2,7l164.2164.2E;77如图6,当点E在线段OB的延长线上时,解得：x4行2（舍去）；7综上所述，符合条件的点为（8-4四，8-4&）或（8+4&,8+4我）或164216427,742164216-,或77【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用.AB为20cm,BC为A到CD的距5 .现有一个Z型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中60cm,/ABJ90,/BCA60°,求该工件如图摆放时的高度（即离）.（结果精确到0.1

16、m,参考数据：H=1.73【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【解析】【分析】过点A作AP，CD于点P,交BC于点Q,由/CQP=/AQB、/CPQ=/B=90°知/A=/C=60°,在4ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在4CPQ中可得PQ,根据AP=AQ+PQ得出答案.【详解】解：如图，过点A作AP，CD于点P,交BC于点Q,A(cm),61.9cm),61.9cm.本题主要考查解直角三角形的应用,的关键.熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题6 .抛物线y=axbx+4(aw。过点A(1,-1),B(5,-1),与y轴交于点C.

17、(1)求抛物线表达式；(2)如图1,连接CB,以CB为边作？CBPQ若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且？CBPQ的面积为30,求点P坐标；过此二点的直线交y轴于F,此直线上一动点G,当GB+Y2GF最小时，求点G坐标.2(3)如图2,。01过点A、BC三点，AE为直径，点M为上的一动点(不与点A,E重合)，/MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值(21I【答案】(1)y=x2-6x+4(2)P(2,-4)或P(3,-5)G(0,-2)(3)3A【解析】【分析】(1)把点A(1,-1),B(5,-1)代入抛物线y=ax2+bx+4解析式，即可得出抛

18、物线的表达式；(2)如图，连接PC,过点P作y轴的平行线交直线BC于R,可求彳#直线BC的解析式1为：y=-x+4,设点P(t,t2-6t+4),R(t,-t+4),因为？CBPQ的面积为30,所以Sapbc=一2X(-t+4-t2+6t-4)右15,解得t的值，即可得出点P的坐标；当点P为(2,-4)时，求得直线QP的解析式为：y=-x-2,得F(0,-2),/GOR=45,因为GB+Y22GF=GB+GR所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点G的坐标；当点P为(3,-5)时，同理可求；(3)先用面积法求出sin/ACB=2Y13,tan/ACB=2,在RtABE中，求得圆的直径，1

19、33因为MBLNB,可得/N=/AEB=/ACB,因为tanN=MB=2,所以BN=-MB当MB为BN32'直径时，BN的长度最大.【详解】解：(1)二.抛物线y=ax2+bx+4(aw。过点A(1,-1),B(5,-1),1=ab41=25a5b4a=1，解得,cb=6抛物线表达式为y=x2-6x+4.(2)如图，连接PC,过点P作y轴的平行线交直线BC于R,设直线BC的解析式为y=kx+m,.B(5,-1),C(0,4),1=5kmk=1.,解得4=mm=4直线BC的解析式为：y=-x+4,设点P(t,t2-6t+4),R(t,-t+4), .?CBPQ的面积为30, Sapbc=

20、-X(-t+4-t2+6t-4)X=§15,解得t=2或t=3,当t=2时，y=-4当t=3时，y=-5, 点P坐标为（2,-4）或（3,-5）;当点P为（2,-4）时， 直线BC解析式为：y=-x+4,QP/BC,设直线QP的解析式为：y=-x+n,将点P代入，得-4=-2+n,n=-2, 直线QP的解析式为：y=-x-2, .F（0,-2）,/GOR=45； .GB+-GF=GB+GR当G于F重合时，GB+GR最小，此时点G的坐标为（0,-2）,同理，当点P为（3,-5）时，直线QP的解析式为：y=-x-2,同理可得点G的坐标为（0,-2）,）.A（1,-1）,B（5,-1）C（

21、0,4）,1一ABX5,21-AC=/26,BC=5a/2，.Saabc=1ACXBCsMACB=2sin/ACB=,tan/ACB=一,13AE为直径，AB=4,/ABE=90,.sin/AEB=sinZACB=213=,13AE .AE=2A, .MBXNB,/NMB=/EAB,/N=/AEB=/ACB,MB2tanN=一,BN3 .BN=3MB,2当MB为直径时，BN的长度最大，为3而.【点睛】题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数定义，平行四边形性质.解决（3）问的关键是找到BN与BM之间的数量关系.7.如图，AB为。的直径，P是BA延长线上一点

22、，CG是。的弦/PCA=/ABC,CG±AB,垂足为D求证：PC是。的切线；（2）求证:PAPCADCD'过点A作AE/PC交。于点E,交CD于点F,连接BE,a,3右sin/P=,5CF=5,求BE的长.【答案】（1）见解析；（2）BE=12.【解析】（1）连接OC,由PC切OO于点C,得到OC,PC,于是得到/PCA-+ZOCA=90，由AB为。的直径，得到/ABC+/OAC=90；由于OC=OA证得ZOCA=ZOAC,于是得到结论；(2)由AE/PC,得到/PCA=/CAF根据垂径定理得到弧AC项AG,于是得到/ACF=/ABC,由于/PCA=/ABC,推出/ACF=/

23、CAF,根据等腰三角形的性质得到3CF=AF在RAFD中，AF=5,sinZFAD=-,求得FD=3,AD=4,CD=8,在ROCD中，5设OC=r,根据勾股定理得到方程r2=(r-4)2+82,解得r=10,得到AB=2r=20,由于AB为.3BE3OO的直径，得到/AEB=90，在RtABE中，由sin/EAD=,得到=,于是求得5AB5结论.【详解】(1)证明：连接OC,PC切。O于点C,OCXPC,/PCO=90；ZPCA+ZOCA=90,°.AB为。的直径，/ACB=90；ZABC+ZOAC=90； .OC=OA,ZOCA=ZOAC,ZPCA=ZABC;(2)解：.AE/P

24、C,ZPCA=ZCAF, .ABXCG,:弧AC=MAG,/ACF=ZABC, ZPCA=ZABC,/ACF=ZCAF,.CF=AF,.CF=5,.AF=5,AE/PC,/FAD=/P, .sin/FAD=3,53在RAFD中，AF=5,sin/FAD、，5.FD=3,AD=4,，CD=8,在ROCD中，设OC=r,.r2=(r-4)2+82,r=10,.AB=2r=20,.AB为。的直径，/AEB=90;在RtMBE中,.sinZEAD=3,5BE3AB5【解析】(1)求此人所在位置点P的铅直高度.(结果精确到0.1(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(2)从P到点B的路程约为

25、127.1米 .AB=20, .BE=12.【点睛】本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形.8.如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4；沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°.已知BC=90米，且RCD在同一条直线上，山坡坡度i=5:12.米)(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽分析：过P作PF，BD于F,彳P已AB于E,设PF=5x,在RtAABC中求出AB,用含x的式子表示出AE,EP,由tan/APE,求得x即可；（2）在RtACPF中，求出CP的长.详解：过P作PF±BD

26、于F,彳PE±AB于E,斜坡的坡度i=5：12,设PF=5x,CF=12x,四边形BFPE为矩形，.BF=PEPF=BE在RTAABC中，BC=90,ABtan/ACB=,BC.AB=tan63.4>BC=2x=9080,AE=AB-BE=AB-PF=1805x,EP=BC+CF90120x.在RTAAEP中，AE1805x4tan/APE=，EP90+12x320.x=,7100PF=5x=14.3.7答：此人所在P的铅直高度约为14.3米.由得CP=13x,“20。.CP=13X37.1,BC+CP=90+37.1=127.1.答：从P到点B的路程约为127.1米.点睛：本

27、题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长.9.如图，直线=%+口与工轴交于点水4.0）|,与轴交于点口,抛物线过点艮点MOn.O)为#轴上一动点，过点M且垂直于式轴的直线分别交直线丹旧及抛物线于点料网.(1)填空：点b的坐标为,抛物线的解析式为；(2)当点m在线段上运动时(不与点q,H重合)，当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；求出使4BPN为直角三角形时m的值；(3)若抛物线上有且只有三个点N到直线4耳的距离是人，请直接写出此时由点q,H,N,P

28、构成的四边形的面积.39【答案】(1)(0.-3),y=(2)当阳=2时，PN有最大值是3;使2口双为直角三角形时机的值为3或?；(3)点。，/W,|P构成的四边形的面积为：6或6+6/2或八，2一6.【解析】【分析】3(1)把点A坐标代入直线表达式y=-xa,求出a=-3,把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；339(2)设：点P(m,彳m-3),N(m,求出PN值的表达式，即可求解；分/BNP=90°、/NBP=90°、ZBPN=90°三种情况，求解即可；(3)若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h,则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直

29、线与抛物线有一个交点N,在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可.【详解】3解：(i)把点k1坐标代入直线表达式y=x+a,3解得：桃=-3,则：直线表达式为：y=-3,令黑=0,则：>=一斗，则点口坐标为-3),将点口的坐标代入二次函数表达式得：c=-33把点力的坐标代入二次函数表达式得：丁*16+4后-3=0,49解得：h三一丁，439故：抛物线的解析式为：y二不退=不工-3,39故：答案为：（见-3）,y=尸不3；（2）耳（g0）在线段CM上，且MN_L工轴，3I39点P（m4m-3，3）,3393-PAT=_m-3-刃=-fm-2）z+3,4444。a：。，抛物线开口向下，.当m

30、=2时，|PN有最大值是3,当上脚VP=90口时，点N的纵坐标为-3,39把¥=-3代入抛物线的表达式得：-3=_m2-rn-3,解得：m=3或0（舍去m=O）,.m=3；当修1VHp=9邛时，:BN1帆两直线垂直，其K值相乘为-1,设：直线HN的表达式为:y=-r+n,4把点"的坐标代入上式，解得：？=-?,则：直线"N的表达式为：y=-3,il将上式与抛物线的表达式联立并解得：m三5或0（舍去m=0）,当KBPN=90'：时，不合题意舍去，11故：使d"PN为直角三角形时m的值为3或丁；.。八二4,=34cosa=-siii«=-5

31、'5'在K则:町为轴,若抛物线上有且只有三个点|N到直线AH的距离是h,则只能出现：在河口直线下方抛物线与过点F的直线与抛物线有一个交点N,在直线口疗上方的交点有两个.当过点|N的直线与抛物线有一个交点加,点M的坐标为设：点N坐标为：（用用|,3则：二-mz-m-3,过点N作八B的平行线，3则点|N所在的直线表达式为：¥=寸十七,将点用坐标代入，33解得：过N点直线表达式为：y=x+（n-m）,将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2-12X-12+3rn-4n=O,力=144-3X4X（012+3m-4叫=q,3 9r将n=-m2-m-3代入上式并整理得：用之一4

32、暇+4=0,4 419解得：擀=2,则点N的坐标为,下则：点P坐标为则：PN=3,"3PM"叫.四边形。BNP为平行四边形，则点。到直线坐的距离等于点N到直线人”的距离，即：过点。与力日平行的直线与抛物线的交点为另外两个网点，即：N'、N',予直线ON的表达式为：y二,将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2ix=0,解得：x=2±2、",则点叫叫的横坐标分别为2+2弭2-入"，作步开！.乂耳交直线于点产，12则大二NH/VPsintf-J：-?UF5-作MP'lx轴，交E轴于点P',则：£OMP&

33、#39;=R,GN'=42+2.0）,SiOCC41,5125四式平白抻N-BP*h-K=hy则：S四七人HWY=5MpW+产=6+G串,同理：5国曲源OHNP,'=-6,故：点4|E,N,P构成的四边形的面积为：6或自46G2或6V2-6.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3）中确定点N的位置是本题的难点，核心是通过;。，确定图中N点的坐标.10.如图，某次中俄海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜

34、艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数.参考数据：sin68°0.9cos68°0,4【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解析】试题分析：过点C作CD>±AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在RtACD中表示出CD和在RtBCD中表示出BD,利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解.试题解析：过点C作CD，AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：/ACD=30°,/BCD=68°,设AD=x,贝UBD=BA+AD=1000+x,在RtACD中，CD=AD=x-=MxtanACDtan300在RtBCD中，BD=CD?tan68°,.3