中考数学——圆与相似的综合压轴题专题复习

1、中考数学一一圆与相似的综合压轴题专题复习一、相似1,已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴相交于点C,过点A作AD，x轴，垂足为D.(1)若/AOB=60,AB/x轴，AB=2,求a的值；(2)若/AOB=90，点A的横坐标为-4,AC=4BC求点B的坐标;(3)延长AD、BO相交于点E,求证：DE=CO，OA=OB, /AOB=60； .AOB是等边三角形， .AB=2,AB±OC, .AC=BC=1,/BOC=30,°J-».OC=IG,.A(-1,0),把A(-1,代入抛物线y=ax2(a&g

2、t;0)中得：a=可万；(2)解：如图2,过B作BEXx轴于E,过A作AGLBE,交BE延长线于点G,交y轴于F,.CF/BG,.笈布,.AC=4BC,Af=4,.AF=4FG,.A的横坐标为B的横坐标为.A(-4,16a)/AOB=90；-4,1,B(1,a), /AOD+/BOE=90； /AOD+ZDAO=90；/BOE=/DAO, /ADO=ZOEB=90； .ADOAOEB,由4/%16a2=4,1a=±-,.a>0,B(1,工)；(3)解：如图3,设AC=nBC由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍,则设B(m,amCO=*""=am2n

3、,.DE=CQ【解析】【分析】(1)抛物线y=ax2关于y轴对称，根据AB/x轴，得出A与B是对称点，可知AC=BC=1由/AOB=60,可证得4AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。(2)过B作BEXx轴于E,过A作AG±BE,交BE延长线于点G,交y轴于F,根据平行线分线段成比例证出AF=4FG根据点A的横坐标为-4,求出点B的横坐标为1,则A(-16a),B(1,a),再根据已知证明/BOE=/DAO,ZADO=ZOEB,就可证明ADOsoeb,得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点B在第一象限，),则A-

4、mn,am2n2),1 .AD=am2n2,过B作BHx轴于F,2 .DE/BF,.,.BOFAEOD,OBOFBbOEODDE,?OB也瓯I.宛ntnDE,/1=一麻口，DE=am2n,OB1BE7*11,?1.OC/AE,.,.BCOABAE,确定点B的坐标即可。(3)根据(2)可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B(m,am2),则A(-mn,am2n2),得出AD的长，再证明BOQEOD,BC8BAE,得对应边成比例，证得CO=am2n,就可证得DE=CO2.已知，如图，AB是。O的直径，点C为。上一点，OFLBC于点F,交。O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点，且

5、/ODB=/AEC.(1)求证：BD是。的切线;(2)求证：CE=EH?EA(3)若。的半径为J,sinA=5,求BH的长.【答案】(1)证明：如图， /ODB=ZAEC,/AEC之ABC,/ODB=ZABC,.ODBC,/BFD=90； /ODB+ZDBF=90； /ABC+/DBF=90,°即/OBD=90, BDXOB, .BD是。O的切线(2)证明：连接AC,如图2所示:32.ODBC,股-仪，/CAE=ZECB/CEA=ZHEC,.CEHAAECCEEAEHCI,.CE2=EH?EA/AEB=90,°。0的半径为-，sin/BAE=.AB=5,BE=AB?si也B

6、AE=5乂=3,EA=BE=CE=3,.CE2=EH?EAg在RtBEH中,BH=【解析】【分析】(1)要证BD是。O的切线，只需证/OBD=90,因为/OBC+ZBOD=90；所以只须证/ODB=ZOBC即可。由圆周角定理和已知条件易得角形内角和定理即可得/ODB=ZABC,贝U/OBC+/BOD=90=/ODB+ZBOD,由/OBD=90;(2)连接AC,要证C邑EH?EA;只需证CEHAEC,已有公共角/AEC再根据圆周角定理可得ZCAE=ZECB即可证CEHAEC,可得比例式求解；(3)连接BE,解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。3.如图，已知直线11/12,线段AB在直线

7、11上，BC垂直于11交12于点C,且AB=BC,P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交12,11于点D,E(点A,E位于点B的两侧，满足BP=BE,连接AP,CE(1)求证：ABPCBE(2)连接AD、BD,BD与AP相交于点F,如图.BC当BP"时，求证：APIBD;BC当即”(n>1)时，设PAD的面积为Si,PCE的面积为&,求立的值.【答案】(1)证明：BC1直线11,/ABP=/CBE在ABP和4CBE中，AB=C也IZABP=/C电BP=BEf(2)证明：如图，延长AP交CE于点H.I)C.ABPACBE,直线12,.DP=EP.，四边形BDC

8、E是平行四边形，CE/BD.APXCE,/.APIBD.BCBC=nBP解：心.CP=(n-1)BP.CD/BE,.,.CPDABPE,PDPC1- -n1比阳令S»abpe=S,则S2=(n1)S,Sapab=Sxbce=nS,Spae=(n+1)S.SAA40PD-=n-iSUF超所Si=（n+i）（n1）S,Si（n1）（nI）S-n1.船山"S【解析】【分析】（1）由已知条件用边角边即可证得ABPCBE（2）、延长AP交CE于点H,由（1）知ABPCBE,所以可得/PAB=/ECB而/ECB吆BEC=',所以可得/PAB+/BEC=,即/AHE="

9、,所以APLCE;已知&团=2,则点P为BC的中点，所以易证得BE=CD由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得CE/BD,再根据平行线的性质即可求得APIBD;方法与类似，由已知条件易证得CP24BPE,则可得对应线段的比相等，然后可将PAD的面积和PCE的面积用三角形BPE的面积表示出来，则这两个三角形的比值即可求解。4.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y督,用图轴上，C点坐标为（2,0）,BC=6,/BCD=60,点E是AB上一点，AE=3EBOP过D,O,C三点，抛物线y=ax

10、2+bx+c过点D,B,C三点.(1)请直接写出点B、D的坐标：B(),D();(2)求抛物线的解析式；(3)求证：ED是。P的切线；(4)若点M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形.【答案】(1)-4,0;0,24(2)解：将(2,0),B(-4,0),D(0,F：);三点分别代入y=ax2+bx+c得，4a2bc-016a4bc=6解得W出，所求抛物线的解析式y=-4x2-2x+2g(3)证明：在RtOCD中，CD=2OC=4四边形ABCD为平行四边形,.AB=CD=4,AB/CD,/A=/BCD=60；AD=BC=6.AE=3BE.

11、AE=3,AEA£f四边形ABCD是平行四边形,/DAE=ZDCB=60,° .AEDACOD,/ADE=ZCDO,而/ADE+ZODE=90 /CDO+ZODE=90; CDXDE, /DOC=90; .CD为。P的直径, .ED是。P的切线(4)解：点N的坐标为(-5,4)、(3,【解析】【解析】解：(1).C点坐标为(2,0),.OC=2,BC=6,.OB=BC-OC=4,B(-4,0),OD/BCD=60,°tan/BCD.OD=, D(0,.);(4存在y=-Xx2-Xx+A'3=-J(x+1)2+ M(-1,丁)， .B(-4,0),D(0,队

12、0，如图，当BM为平行四边形BDMN的对角线时,点D向左平移4个单位，再向下平移一%1；个单位得到B,则点M(-1,丁)向左平移4个单位，再向下平移个人4单位得到Ni(-5,4)；当DM为平行四边形BDMN的对角线时，班点B向右平移3个单位，再向上平移J个单位得到D,外/1则点M(-1,-)向右平移4个单位，再向上平移二%5个单位得到N2(3,/);当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向右平移1个单位，再向下平移/个单位得到D,邓帆则点B(-4,0)向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到N3(-3,-/);3/福综上所述，以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形时，点N的坐标为(-

13、5,4,)或(3,J)但或(-3,-/)【分析】(1)根据点C的坐标，求出OC的长度，进而求出OB的长度，得出B点的坐标。根据正切函数的定义得出OD的长度，从而得出D点的坐标；(2)用待定系数法，分别将：将(2,0),B(-4,0),D(0,AU);三点分别代入y=ax2+bx+c得得出关于a,b,c的三元一次方程组，求解得出a,b,c的值，从而得出解析式；(3)根据平行四边形的性质得出AB=CD=4AB/CD,ZA=ZBCD=60,AD=BC=6,又根据AE=3BE,从而得出AE=3,根据锐角三角函数的定义得出AE：AD=OC：CD然后根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似得出AEA4

14、COD,根据相似三角形对应角相等得出/ADE=/CDO,根据等量代换得出/CDO+/ODE=90,即CD,DE,根据90°的圆周角所对的弦是直径得出CD为。P的直径，从而得出结论；(4)首先求出抛物线的顶点M的坐标，然后按当BM为平行四边形BDMN的对角线时；当DM为平行四边形BDMN的对角线时；当BD为平行四边形BDMN的对角线时；三种情况，找到其他点的平移规律即可得出N点的坐标。5.如图，已知二次函数y=ax2+泛x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接A®AC.(1)请直接写出二次函数y=ax2+2x+c的表达式；(2)判断

15、4ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM/AC,交AB于点M,当4AMN面积最大时，求此时点N的坐标.【答案】(1)解：.A(0,4),.-.c=4,把点C坐标(8,0)代入解析式，得：a=-(2)解：令y=0,则解得，x1=8,x2="-2",.点B的坐标为(-2,0),由已知可得，在RtAAOB中,AB2=BO2+AO2=22+42=20,在RtAAOC中AC-2=AO2+CC2=42+82=80,又.BC=OB+OC=2+

16、8=10.在4ABC中AB-2+AC-2=20+80=102=BC2,.4ABC是直角三角形；(3)解：由勾股定理先求出AC,AC=J产一砂木,在x轴负半轴，当AC=AN时，NC=CC=8,此时N(-8,0);在x轴负半轴，当AC=NC时，NC=AC=/曰,.CC=8,NC=A3-8,此时N(8-入%,0);在x轴正半轴，当AN=CN时，设CN=x,则AN=x,CN=8-x,在RtAAON中，十出一二.，解得：x=5,.CN=3,此时N（3,0）;在x轴正半轴，当AC=NC时，AC=NC=A/1,.ON=%万+8,，此时N（人万+8,0）;综上所述：满足条件的N点坐标是（-8,0）、（8-八日

17、，0）、（3,0）、（8+,电,0）;（4）解：设点N的坐标为（n,0）,则BN=n+2,过M点作MD，x轴于点D,超,8"B期）BN.MD/OA,.BMDsbao,BAOA,/MN/AC,.SABC,.OABC,二：OA=4,BC=10,BN=n+2,.MD=3（n+2）,Saamn=SJaabn-Sabmn=I1I12-BN1OA-BNW-X（n+2）X4-X-（n2）X出+2）Q£r9ifqq44J6i-二=p+5,5<0,，n=3时，S有最大值，当AAMN面积最大时，N点坐标为（3,0）.【解析】【分析】（1）用待定系数法可求二次函数的解析式；（2）因为抛物线

18、交x轴于曰C两点，令y=0,解关于x的一元二次方程可得点B的坐标，然后计算AB、BCAC的长，用勾股定理的逆定理即可判断；（3）由（2）可知AC的长，由题意可知有4种情况：在x轴负半轴，当AC=AN叱在x轴负半轴，当AC=NC时；在x轴正半轴，当AN=CN时；在x轴正半轴，当AC=NC时；结合已知条件易求解；（4）设点N的坐标为（n,0）,则BN=n+2,过M点作MDx轴于点D,由平行于三角BMDsBAO,于是有比形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得BWBNMl）万一位，所以而一瓦,将已知线段代8描Mb例式54一百，根据平行线分线段成比例定理可得入比例式可将MD用含n的代数式

19、表示出来，根据三角形的构成可得SAamn=Saabn-Sabmn匕？BN?OA-BN?MD,将BN、MD代入可得关于n的二次函数，配成顶点式根据二次函数的性质即可求解。6.（1）问题发现：如图，国正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF.写出线段CF与DG的数量关系；写出直线CF与DG所夹锐角的度数(2)拓展探究：将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋车t的过程中，(1)中的结论是否仍然成立，请利用图进行说明.(3)问题解决ABC和4ADE都是等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90；AB=AC=4,。为AC的中点.若点D在直线BC上运动，连接OE,则在点D的运动过程

20、中，线段OE的长的最小值.(直接写出结果)【答案】(1)CF=<2DG,45口(2)解：如图：cc勺连接AC、AF在正方形ABCD中，延长CF交DG与H点,ZCAD=-ZBCD=45二，设AD=CD=a易得AC=.a=：口AD,同理在正方形AEFG中，/FAG=45二，AF=1EAG,IICAD=ZFAG,:/CAD-/2=/FAG-/2,I1I1=/3又ADA6:ACAFDAG,CFAC|二V"=.,-CF=.DG;由CA。DAG,/4=/5,:'/ACD=/4+/6=45:J,:Z5+Z6=45口,:Z5+Z6+Z7=135口，在ACHD中，ZCHD=180二-13

21、5口=45口,:(1)中的结论仍然成立(3) OE的最小值为值.【解析】【解答】（3）如图：由/BAC=ZDAE=90口，可得/BAD=ZCAE又AB=AC,AD=AE,可得BA44CAE,I：IACE之ABC=45,又/ACB=45，/BCE=90，即CE±BC,根据点到直线的距离垂线段最短，:OE±CE时，OE最短，此时OE=CEAOEC为等腰直角三角形，IIOC=AC=2,由等腰直角三角形性质易得，OE=季,，：OE的最小值为由.【分析】（1）易得CF=V三DG;45二；（2）连接AC、AF在正方形ABCD中，可得CA。DAG,%疝，=工,:CF=fDG,在4CHD中

22、，/CHD=180二-135口=45二，（1）中的结论是否仍然成立；（3）OE±CE时，OE最短，此时OE=CEAOEC为等腰直角1三角形，OC=-AC=2可彳导OE的值.7.如图，正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD上，且/EC已45°,CF的延长线交BA的延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,GH.自用益(1)求/AHC旦/ACG的大小关系(冬”或2"或竺”)(2)线段AC,AG,AH什么关系？请说明理由；(3)设AE=m,4AGH的面积S有变化吗？如果变化.请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值.请直接写

23、出使4CGH是等腰三角形的m值.【答案】(1)二.四边形ABCD是正方形，,-.AB=CB=CD=DA=4,/D=/DAB=90°ZDAC=ZBAC=45°,.AC=Q产+尸=",/DAC=/AHC+ZACH=45°,/ACH+ZACG=45°,/AHC=/ACG.故答案为=.(2)解：结论：AC?=AG?AH.理由：ZAHC=ZACG,/CAH=/CAG=135°,.AHCAACG,A/fAC一化A(i,?.,AC2=AG?AH.(3)解：AAGH的面积不变.L?1/理由：.Sxagh=1?AH?AG=-AC?=-X(4U二：)2=

24、16.AGH的面积为16.如图1中，当GC=GH时，易证AHGBGC,可得AG=BC4,AH=BG=8,1.BO/AH,BCBE1.正一蓝，,AE=:AB=；.如图2中，当CH=HG时,易证AH=BC4,1.BO/AH,BEBCAh=1,.AE=BE=2.在BC上取一点M,使得BM=BE,/BME=ZBEM=45°,/BME=ZMCE+ZMEC,/MCE=/MEC=22.5,°.CM=EM,设BM=BE=m,贝UCM=EM、Em,m+/m=4,，m=4（、'=T）,AE=4-4（二-1）=8-47二，内综上所述，满足条件的m的值为三或2或8-4口【解析】【分析】（1

25、）证明/DAC=/AHC+ZACH=45,/ACH+ZACG=45,即可推出/AHC=/ACG;（2）结论：AC2=AG?AH.只要证明AH8ACG即可解决问题；（3）4AGH的面积不变.理由三角形的面积公式计算即可；分三种情形分别求解即可解决问题.B,连接AC（1）在y正半轴上求作点巳使得/APB=/ACB（尺规作图，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，1若tan/APB二求点P的坐标。当点P的坐标为时，/APB最大（3）若在直线y1x+4上存在点P,使得/APB最大，求点P的坐标【答案】(1)解：/APB如图所示;图1理解应用：(2)解：如图2中,/AB./APB=/ACB,.tan/A

26、CB=tan/APB=-=Bt.A(2,0),B(6,0),，AB=4,BC=8,.C(6,8),，AC的中点K(4,4),以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和jl-P；易知P(0,2),P'(0,6).;(0,23)拓展延伸：(3)解：如图3中，当经过AB的园与直线相切时，/APB最大.二,直线y=Jx+4交x轴于M(-3,0),交y轴于N(0,4).MP是切线，MP2=MA?MB,.MP=3,作PCOA于必网网HI/西胞k/33,K.ON/PK,.同，*=的，.巧=挣=PK=5,MK=3,.OK=万-3,P(【解析】【解答】解：(1)当。K与y轴相切时，/APB的值最大，此时AK

27、=PK=4,AC=8,BC=中月"一蛙=41万，C(6,41,，K(4,24),，P(0,2J').【分析】(1)因为CB±x轴于点B,所以/ABC4/。要使/APB=/ACB,只需这两个角是同弧所对的圆周角。所以用尺规左三角形ABC的外接圆，与y轴相交，其交点即为所求作的点P;Ab/(2)由(1)知，/APB=/ACB,所以tan/ACB=tan/APB=*=，已知A(2,0),B(6,0),所以AB=4,BC=8,则C(6,8),AC的中点K(4,4),以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P',易得P(0,2),P'(0,6);当。K与y轴相切

28、时，/APB的值最大，此时AK=PK=4AC=8,在直角三角形ABC中，由勾股定理可得BC，娟一碗内3,则C(6,存)，K(4,2"),而P在y轴上，所以P(0,2J);(3)由(2)知，当经过AB两点的圆与直线相切时，/APB最大。设直线y=5x+4交x轴于M交y轴于N,则可得M(-3,0),N(0,4),因为MP是切线，所以由切割线定理可得MP2=MA?MB,可求得MP=3,氏作PK±OA于K.所以ON/PK,由相似三角形的ON0M幽4_3_5.卡电判定定理可得比例式产舶好,即居热人旧，解得PK=5,MK=5,所以可得OK=-3,则P(-3,二、圆的综合9.如图，。是4

29、ABC的外接圆，点E为4ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F,交。O于点D；连接BD,过点D作直线DM,使/BDM=/DAC.(1)求证：直线DM是。O的切线；若DF=2,且AF=4,求BD和DE的长.【答案】(1)证明见解析(2)2省【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论即可得到ODLBC,再根据/BDM=/DBC,即可判定BC/DM,进而彳#到OD，DM,据此可得直线DM是。的切线；(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到/BED=/EBD,即可得出DB=DE,再判定DBQ4DAB,即可得到DB2=DF?DA,据此解答即可.【详解】(1)如图所示，连接OD.点E是4AB

30、C的内心,ZBAD=ZCAD,bdCd,OD±BC.又./BDM=/DAC,/DAC=/DBC,./BDM=/DBC,.BC/DM,.1.ODXDM.又OD为。O半径，.直线DM是。的切线.(2)连接BE.E为内心，/ABE=/CBE/BAD=ZCAD,/DBC=ZCAD,./BAD=ZDBC,./BAE+ZABE=ZCBEZDBC,即ZBED=ZDBE,.BD=DE.又/BDF=/ADB(公共角)，.DBFsDAB,.又-DB-即DB2=DF?DA.DBDA.DF=2,AF=4,DA=DF+AF=6,，DB2=DF?DA=12,.DB=DE=2J3.MD【点睛】本题主要考查了三角形

31、的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.一.110.如图，已知在4ABC中，AB=15,AC=20,tanA=5,点P在AB边上，°P的半径为定长.当点P与点B重合时，OP恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，OP与AC边相（2）当AP=6j5时，试探究AAPM与4PCN是否相似，并说明理由.【答案】（1）半径为3匹;（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD>±AC,垂足为点D,OP与边A

32、C相切，则BD就是。P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；如图，过点P作PHI±AC于点H,作BD±AC,垂足为点D,根据垂径定理得出MN=2MH,PM=PN,再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AM、型的值，得出列=里，利用两边对应成比例且夹角相等的两MPNCMPNC三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD>±AC,垂足为点D,.OP与边AC相切,.BD就是。P的半径,1 BD在RtAABD中,tanA=2 AD设BD=x,贝UAD=2x,.x2+(2x)2=152,解

33、得：x=3j5,(2)相似，理由见解析，如图，过点P作PH，AC于点H,作BD)±AC,垂足为点D,PH垂直平分MN,，PM=PN,1 PH在RtAHP中，tanA=-2 AH'设PH=y,AH=2y,y2+(2y)2=(675)2解得：y=6(取正数)，.PH=6,AH=12,在RtAMPH中，MN=2MH=6,.AM=AH-MH=12-3=9,NC=AC-MN-AM=20-6-9=5,.AM93/5PN375MP3.55'NC"5"AMPN=,MPNC又PM=PN,/PMN=ZPNM,/AMP=ZPNC.AMPAPNC.【点睛】本题考查了解直角

34、三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键11.矩形ABCD中，点C(3,8),E、F为AB、CD边上的中点，如图1,点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2,设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动.(1)当t=0时，点F的坐标为;(2)当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离;(3)求运动过程中，点F到点O的最大距离；(4)当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值.【答

35、案】(1)F(3,4);(2)8-4，3；(3)7;(4)t的值为石或石.【解析】试题分析：(1)先确定出DF,进而彳#出点F的坐标；(2)利用直角三角形的性质得出/ABO=30。，即可得出结论；(3)当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，即可得出结论；(4)分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可.试题解析：解：(1)当t=0时.AB=CD=8,F为CD中点，DF=4,，F(3,4);(2)当t=4时，OA=4.在RtABO中，AB=8,ZAOB=90°,./ABO=30；点E是AB的中点，OE=ab=4,BO=4j3,，点B下滑的距离为84m.(3)当O、E、F三

36、点共线时，点F到点O的距离最大，.FO=OE+EF=.国1闺2(4)在RtADF中，FD2+AD2=AF2,AF=JFD2AD2=5,设AO=ti时，。5与乂轴相切，点A为切点，.FAIOA,ZOAB+ZFAB=90°./ZFAD+ZFAB=90°,/八,一,八八ABAO8ti/BAO=ZFAD./BOA=ZD=90.RtAFA&RtAABO,，.一一，FAFE532432.ti=G，设AO=t2时，OF与y轴相切，B为切点，同理可得，t2=.2432综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为或.55点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质

37、，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解(2)的关键是得出/ABO=30°,解(3)的关键是判断出当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解(4)的关键是判断出RHFAaRtAABD),是一道中等难度的中考常考题.12.如图，4ABC是。O的内接三角形，点D,E在。O上，连接AE,DE,CD,BE,CE,/EAC+-ZBAE=180,°?BCd.(1)判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；(2)求证：ABEDCE；(3)若/EAC=60,BC=8,求。的半径.【答案】(1)BE=CE理由见解析;2)证明见解析；(3)8,33

38、【解析】分析：(1)由A、B、C、E四点共圆的性质得：ZBCE+ZBAE=180,则/BCE=ZEAC,所以？E=CE，则弦相等；(2)根据SSS证明AB®4DCE;(3)作BC和BE两弦的弦心距，证明RtAGB8RtAHBO>(HL),则/OBH=30,设OH=x,则OB=2x,根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长.本题解析：(1)解：BE=CE理由：./EAC+yBAE=180,/BCE+7BAE=180,/BCE玄EAC,l?E=CE,.BE=CE(2)证明：?BCD，AB=CD?e=Ce,AeEd，AE=ED由(1)得：BE=CE在ABE和ADCE中，AEDE.A

39、BCD,BECE.ABEADCEE(SSS;(3)解：如图，二.过。作OG，BE于G,OHBC于H,BH=1BC=1X8=4BG=1BE,222BE=CE/EBC=ZEAC=60,°BEC是等边三角形,BE=BCBH=BG,.OB=OB,RtAGBORtAHBO(HL),/OBH=ZGBO=1/EBC=30,°2设OH=x,贝UOB=2x,由勾股定理得：(2x)2=x2+42,x=44,3.OB=2x=83,。的半径为丝叵.33点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30。的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应

40、边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键13.已知P是eO的直径ba延长线上的一个动点，/P的另一边交eO于点C、D,两点1 一.八位于AB的上万，AB=6,OP=m,sinP=-,如图所示.另一个半径为6的eOi经过点C、D,圆心距OOi=n.(1) 当m=6时，求线段CD的长；(2) 设圆心Oi在直线AB上方，试用n的代数式表示m；(3) POQ在点P的运动过程中，是否能成为以OOi为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由.A【答案】(1)CD=2.5;(2)m=3n81;(3)n2n的值为一J5或J15【解析】分析：(1)过点。作OH，CD,垂足为点

41、H,连接OC.解RtAPOH,得到OH的长.由勾月定理得CH的长，再由垂径定理即可得到结论；(2)解RtAPOH,得到OH=m.在RtVOCH和RtAQCH中，由勾股定理即可得到3结论;详解：(1)过点。作OH，CD,垂足为点HO在弦CD同侧时，同理可得结论.，连接OC.OH2.(4) POOi成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：当圆心Oi、O在弦CD异侧时，分OP=OO1和01P=OO1,当圆心O1、AB=6,OC=3.由勾股定理得：CH.5.OH±DC,CD2CH2而OHU1(2)在RtAPOH中，QsinP=,32在RtAOCH中，CH2=9在RtAOiCH中，CH2=36可得

42、：362m仁一=9m二3n2812n(3) POOi成为等腰三角形可分以下几种情况:当圆心Oi、O在弦CD异侧时2i) OP=OO1，即m=n,由n=-,解得：n=9.2n即圆心距等于eO、eOi的半径的和，就有eO、eO1外切不合题意舍去.m22m2ii) OiP=OOi,由J(n-)m2(-)=n,33解得：m=2n,即2n=3n81,解得：n=9JT5.332n5813n2当圆心Oi、O在弦CD同侧时，同理可得：m=-.2n2813n9-POOi是钝角，只能是mn,即n=Ol3n,解得：n=J5.2n599综上所述：n的值为一y/5或Ji5.55点睛：本题是圆的综合题.考查了圆的有关性质

43、和两圆的位置关系以及解直径三角形.解答(3)的关键是要分类讨论.i4.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.图图(i)试求抛物线的解析式；(2)点P是y轴上的一个动点，连接PA,试求5PA+4PC的最小值；(3)如图，若直线l经过点T(-4,0),Q为直线l上的动点，当以A、B、Q为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式.3 23.一.【答案】(i)y-x-x3;(2)5PA+4PC的最小值为i8;(3)直线l的解析式84,33人为y-x3或yx3.4 4【解析】【分析】(i)设出交点式，代入C点计算即可(2)连接AC、BC,过点

44、A作AELBC于点E,过点P作PD)±BC于点D,易证CDMACOB,得到比例式PC-PD,得到PD=-PC,所BCOB5以5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PD,当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC=55(PA+PD=5AE最小，利用等面积法求出AE=18,即最小值为18(3)取AB中点F,5以F为圆心、FA的长为半径画圆，当/BAQ=90°或/ABQ=90°时，即AQ或BQ垂直x轴，所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/BAQ=90°或/ABQ=90°,即/AQB=90时，只有一个满足条件的点Q,，直线l与

45、。F相切于点Q时，满足/AQB=90°的点Q只有一个；此时，连接FQ,过点Q作QGi±x轴于点G,利用cos/QFT求出QG,分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接l得到解析式即可【详解】解：(1)二.抛物线与x轴交点为A(-2,0)、B(4,0)-y=a(x+2)(x-4)把点C(0,3)代入得：-8a=33a=8二抛物线解析式为y=-(x+2)(x-4)=-x2+_x+3884(2)连接ACBC,过点A作AE±BC于点E,过点P作PD)±BC于点D/CDP=/COB=90°/DCP=/OCB.CD。COBPCPDBCOB-B(4,0

46、),C(0,3)OB=4,OC=3,BC=Job2OC2=54-.PD=PC5，5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PD5 当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC=5(PA+PD=5AE最小.A(2,0),OCXAB,AE±BC Saabc=1AB?OC=1BC?AE22ABnOC6318AE=-BC55 -5AE=18 5PA+4PC的最小值为18.(3)取AB中点F,以F为圆心、FA的长为半径画圆当/BAQ=90°或/ABQ=90°时，即AQ或BQ垂直x轴，只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/BAQ=90或/ABQ=90/AQB=90时，只有一个满足条件的点Q 当Q在。F上运动时(不与A、B重合)，/AQB=90°，直线l与。F相切于点Q时，满足/AQB=90的点Q只有一个此时，连接FQ,过点Q作QGi±x轴于点G/FQT=90° .F为A(2,0)、B(4,0)的中点 .F(1,0),FQ=FA=3,.T(4,0)一一FQ TF=5,cos/QFT=TF.RtFGQ中，cos/QFT=FG3FQ5“39FG=-FQ=一,9xq=1一55,