中考数学直角三角形的边角关系提高练习题压轴题训练附答案

1、中考数学直角三角形的边角关系提高练习题压轴题训练附答案一、直角三角形的边角关系DCF1.如图，山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为6J3米，山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵机勺高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数值：sin20°0,34:os20°=0.94tan20°=0.3.【答案】6.4米【解析】解：二,底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°. .DC=BC?cos30°6

2、a/39米,2,.CF=1米, .DC=9+1=10米， .GE=10米， /AEG=45； .AG=EG=10米，在直角三角形BGF中,BG=GF?tan20°=10X0.36*6AB=AG-BG=10-3.6=6.4米,答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2.如图(1),在平面直角坐标系中，点A(0,-6),点B(6,0).RtACDE中，ZCDE=90,°CD=4,DE=4/3，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合.RtCDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动

3、到点。时停止运动.解答下列问题：(1)如图(2),当RtACDE运动到点D与点。重合时，设CE交AB于点M,求/BME的度数.(2)如图(3),在RtACDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长.(3)在RtACDE的运动过程中，设AC=h,OAB与CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值.(2BC=4后;(3)hW2时,S=-事h2+4h+8,4当h>2时，S=18-3h.【解析】试题分析：(1)如图2,由对顶角的定义知,/BME=ZCMA,要求/BME的度数，需先求出/CMA的度数.根据三角形外角的定理进行解答即可；(2)如图3,由已知可知

4、/OBC=/DEC=30,又OB=6,通过解直角BOC就可求出BC的长度；(3)需要分类讨论：hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点N,作MFLDE交DE于点F,S=SEDC-SAefm；当h>2时，如图3,S=Sxobc.试题解析：解：(1)如图2,图22 .在平面直角坐标系中，点A(0,-6),点B(6,0).OA=OB,ZOAB=45；3 /CDE=90,°CD=4,DE=4再,/OCE=60,°/CMA=ZOCE-/OAB=60-45=15；/BME=ZCMA=15:如图3,S3/CDE=90,°CD=4,DE=4g,/OBC=ZDEC=30,

5、76;,.OB=6,4 BC=4月；(3)hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点N,作MF,DE交DE于点F,圄45 .CD=4,DE=4石，AC=h,AN=NM,.CN=4-FM,AN=MN=4+h-FM,.CMNACEDcv-=.CDDE"EV4+b-EV解得FM=4一正二!心,-12，S=Sxedc-SaEFM=qX4>3x(4j?4h)X(4力)=-h2+4h+8,三224如图3,当h*时，1 1_S=SxOBC=-OCXOB=(6-h)X6=183h.考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形3.已知RtABC中，AB是。O的弦，斜边AC交。O于点D,且A

6、D=DC,延长CB交。O于点E.(1)图1的A、B、CD、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段明理由；(2)如图2,过点E作。的切线，交AC的延长线于点F.若CF=CD时，求sin/CAB的值；CE的长？请说若CF=aCD(a>0)时，试猜想sin/CAB的值.(用含a的代数式表示，直接写出结果)【答案】(1)AE=CE(2)"；口+2.【解析】试题分析：(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得/ADE=/ABE=90,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE(2)连接AE、ED,如图2,由/ABE=90可得AE是。的直径，根据切线的性质可得/AEF=9

7、0从而可证到AD&4AEF,然后运用相似三角形的性质可得力”=AD?AF.当CF=CD时，可得八=型,从而有EC=AE=CD,在DEC中运用三角函数可得DCy3sin/CED""，根据圆周角定理可得/CAB=/DEC即可求出sin/CAB的值；当CF=aCD(a>0)时，同即可解决问题.试题解析：(1)AE=CE理由：连接AE、DE,如图1,./ABC=90,./ABE=90,./ADE=/ABE=90,AD=DQ.AE=CE(2)连接AE、ED,如图2,/ABE=90,.AE是。的直径，:EF是。OO的切线，AEAD_,_=77/AEF=90,/ADE=/A

8、EF=90,又/DAE=ZEAF.AADEAAEF,.=AD?AF._一_AE2=DC?3DC=,.-.AE='DC,1EC=AE当CF=CD时，AD=DC=CFAF=3DC,DCDC.EC=?DC,.sinZCAB=sinZCED="=«"""="当CF=aCD(a>0)时，sin/CAB="+2,.CF=aCDAD=DC,.AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,/E'dC?(a+2)DC=(a+2)心,AEG'"-2DC,EC=AEEC=©+2DC,dc_dcI.sin

9、/CAB=sin/CED=C+*皿；=口+2.图1考点：1.圆的综合题；2.探究型；3.存在型.4.问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）.（二）问题解决：已知。的半径为2,AB,CD是。的直径.P是标上任意一点，过点P分别作AB,CD的垂线，垂足分别为N,M.（1）若直径AB±CD,对于前上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB±CD,在点P（不与B、C重合）从B运动

10、到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角.当点P运动到前的中点Pi时（如图二），求MN的长；当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值.（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值.c国一圉二【答案】(i)证明见解析，直径OP=2;(2)证明见解析，MN的长为定值，该定值为2;(3)MN=#.，证明见解析;(4) MN取得最大值2.试题分析：(1)如图一，易证ZPMO+ZPNO=180,从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；(2)如图一，易证四边形PMON是矩形，则有

11、MN=OP=2,问题得以解决;(3)如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得ZCOn=ZBOPi=60°,根据圆内接四边形的对角互补可得/MPiN=60°.根据角平分线的性质可得PiM=PiN,从而得到PiMN是等边三角形，则有MN=PiM.然后在RtAPiMO运用三角函数就可解决问题；设四边形PMON的外接圆为00;连接NO并延长，交。0'于点Q,连接QM,如图三，根据圆周角定理可得ZQMN=90,ZMQN=ZMPN=60,在RtAQMN中运用三角函数可得：MN=QN?sin/MQN,从而可得MN=OP?sin/MQN,由此即可解决问题；(4)由(3)中已得结论MN=

12、OP?sin/MQN可知，当/MQN=90时，MN最大，问题得以解决.试题解析：(1)如图一，.PMXOC,PN±OB,ZPMO=ZPNO=90,°./PMO+/PNO=180四边形PMON内接于圆，直径OP=2;国一(2)如图一，.ABXOC,即/BOC=90,°/BOC=ZPMO=ZPNO=90四边形PMON是矩形,.MN=OP=2,MN的长为定值，该定值为2;(3)如图二，p.圄二Pi是标的中点，ZBQC=120°,ZCOP=ZBOPi=60°,ZMPiN=60°,/PiM±OC,PiNXOB,PiM=PiN,.PiM

13、N是等边三角形，MN=PiM.-PiM=OPi?sinZMOPi=2Xsin60=班,MN=7J；设四边形PMON的外接圆为OO',连接NO并延长,交。O'于点Q,连接QM,如图三，图二则有/QMN=g0,/MQN=ZMPN=60,AfV在RtQMN中，sinZMQN=,.MN=QN?sin/MQN,.MN是定值.ON.MN=OP?sin/MQN=2Xsin60=2(4)由(3)得MN=OP?sin/MQN=2sin/MQN.当直径AB与CD相交成90°角时，/MQN=i80-90=90°,MN取得最大值2.考点：圆的综合题.5.如图，将一副直角三角形拼放在

14、一起得到四边形ABCD,其中ZBAC=45°,/ACD=30°,点E为CD边上的中点，连接AE,将4ADE沿AE所在直线翻折得到AD耳D'咬AC于F点.若AB=6%2cm.(1) AE的长为_cm；(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；(3)求点D'到BC的距离.nB(2) 12cm；(3)寸“cm试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：12(cm)/BAC=45,°/B=90；.AB=BC=6?cm,，AC=12cm.ACCD=cos

15、30/ACD=30；/DAC=90,°AC=12cm,点(2)于点E为CD边上的中点，AE=DC=V3cm.首先得出4ADE为等边三角形，进而求出点E,D'关于直线AC对称，连接DD交AC(3)DDfP,根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案.连接CD,BD,过点D'作D'吐BC于点G,进而得出ABDCBD（SSS,则BG=45D'G=GBS而利用勾股定理求出点D到BC边的距离.试题解析：解：（1）4VH（2） .RtADC中，/ACD=30,/ADC=60,.E为CD边上的中点，DE=AE，4ADE为等边三角形.将4ADE沿AE所在直

16、线翻折得AAD'AAD'的等边三角形，/AED'=60/EAC=ZDAC-/EAD=30，/EFA=90,°即AC所在的直线垂直平分线段ED：点E,D关于直线AC对称.如答图1,连接DD交AC于点P,此日DP+EP®为最小，且DP+EP=DD.12cm.ADE是等边三角形，AD=AE=V3,.AC垂直平分线ED；.AE=AD,'CE=CD,',.AE=EC.AD'=cDv，=.Af?=BCW=BfT,Afy=cn'在ABD和CBD中，-,.AABDACBD(SSS.ZDBG=DBC=45.D'G=GB设D

17、9;G长为xcm,则CG长为&y?-cm,在RtAGtDC中，由勾股定理得式+32-幻二(3),解得：恒=%2-'、石，血="2+铲(不合题意舍去).点D到BC边的距离为"?一Wcm.一C答图2考点：1.翻折和单动点问题；2.勾股定理；3.直角三角形斜边上的中线性质；4.等边三角形三角形的判定和性质；5.轴对称的应用（最短线路问题）；6.全等三角形的判定和性质；7.方程思想的应用.6.在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE,将4ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到ADCF,过点E作EG±AC于点

18、G,连接DG,FG.(1)明；(2)如图，依题意补全图；判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证已知正方形的边长为6,当/AGD=60°时，求BE的长.【答案】（1）见解析，FG=DG,FG±DG,见解析；（2）BE273.【解析】【分析】（1）补全图形即可，连接BG,由SAS证明BE84GCF得出BG=GF,由正方形的对称性质得出BG=DG,得出FG=DG,在证出ZDGF=90°,得出FG±DG即可，（2）过点D作DHLAC,交AC于点H.由等腰直角三角形的性质得出DH=AH=352,由直角三角形的性质得出FG=DG=2GH=2后，得出DF=J

19、2DG=4J3,在RtDCF中，由勾股定理得出CF=2J3,即可得出结果.【详解】解：(1)补全图形如图1所示，FG=DG,FG±DG,理由如下，连接BG,如图2所示，四边形ABCD是正方形，/ACB=45；-.EG±AC,/EGC=90；CEG是等腰直角三角形，EG=GC,/GEC=ZGCE=45；/BEG=/GCF=135；由平移的性质得：BE=CF,BECF在ABEG和GCF中，BEGGCF,EGCG.,.BEGAGCF(SA§,BG=GF,.G在正方形ABCD对角线上，BG=DG,FG=DG, /CGF=/BGE,/BGE+/AGB=90； /CGF吆AG

20、B=90°, /AGD+ZCGF=90°,/DGF=90；(2)过点D作DHAC,交AC于点H.如图3所示,在RtAADG中， /DAC=45；.DH=AH=3J2,在RtADHG中，ZAGD=60°,.DG=2GH=276,DF=72DG=473,在RtDCF中，CF=小4百262=2,本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键.7.如图，AB是。的直径，PAPC与。分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,D已PO交PO的延长线于点E.

21、(1)求证：/EPD=/EDO；3 (2)若PC=3tan/PDA=-,求OE的长.4【答案】(1)见解析；(2)班23(1)由切线的性质即可得证.(2)连接OC,利用tan/PDA=,可求出CD=2进而求得43OC=一,再证明OE24DEP根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.2【详解】(1)证明：.PAsPC与。分别相切于点A,C,/APO=ZCPO,PALAO,-.DE±PO,/PAO=E=90；/AOP=ZEOD,/APO=ZEDO,/EPD=ZEDO.(2)连接OC,PA=PC=33.tan/PDA=一,4在RtPAD中，AD=4,pD=PA2AD2=5,.CD=

22、PD-PC=5-3=23.tan/PDA=，4在RtOCD中,3OC=-，25OD=.OCCD=2，/EPD=ZODE,/OCP=ZE=90；.,.OEDADEP,PDPEDE=2,DODEOE.DE=2OE,5225在RtOED中，OE2+DE2=OD2,即5OE2=5=一，.OE=【点睛】本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用tan/PDA=3,得线段的长是解题关键.8.如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5方向上，距离5千米处是村庄M,在点A北偏东53.5方向上，距离10千米处是村庄N；要在公路AB旁修建一个土特产收购站P（取点P在AB上）

23、，使得M,N两村庄到P站的距离之和最短，请在图中作出P的位置（不写作法）并计算：（1） M,N两村庄之间的距离；（2） P到M、N距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5=0.6,cos36.5=0.8,tan36.5=0.75计算结果保留根号.）【答案】（1）M,N两村庄之间的距离为729千米；（2）村庄M、N到P站的最短距离和是5喈5千米.【解析】【分析】（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E,连结MN与AB交于P,则P为土特产收购站的位置.求出DN,DM,利用勾股定理即可解决问题.（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN的长.【详解】解：作N关于AB

24、的对称点N'与AB交于E,连结MN与AB交于P,则P为土特产收购站的位置.(1)在RtANE中，AN=10,ZNAB=36.5，NE=AN?sin/NAB=10?sin36.5,°=6AE=AN?cos/NAB=10?cos36.5°,=8过M作MCAB于点C,在RtMAC中，AM=5,/MAB=53.5°，AC=MA?sin/AMB=MA?sin36.5,°=3MC=MA?cos/AMC=MA?cos36.5°=4过点M作MD，NE于点D,在RtAMND中，MD=AE-AO5,ND=NE-MC=2,MN=5222=29,即M,N两村庄

25、之间的距离为J29千米.(2)由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN'的长.DN'=10MD=5,在RtMDN中，由勾股定理，得MN'y52102=575(千米)村庄M、N到P站的最短距离和是5J5千米.【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.9.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x-3分别交x42轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A,顶点为点D,连接CD交x轴于点E.(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标;(2)求/

26、DCB的正切值；(3)如果点F在y轴上，且/FBC=/DBA+/DCB,求点F的坐标.121【答案】(1)yx22x3,D(4,1);(2)-；(3)点F坐标为(0,1)或43(0,-18).【解析】【分析】(1)y=1x-3,令y=0,则x=6,令x=0,则y=-3,求出点B、C的坐标，将点B、212-C坐标代入抛物线y=-x2+bx+c,即可求解;4(2)求出则点E(3,0),EH=EB?sin/OBC=3石'CE=3后，则CH=即可求解；(3)分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况，分别求解即可.【详解】(1)y=x3,令y=0,则x=6,令x=0,则y=-3,2则点B、C的坐

27、标分别为(6,0)、(0,-3),则c=-3,将点B坐标代入抛物线y=-1x2+bx-3得：0=-1x36+6tr3,解得：b=2,441c故抛物线的表达式为：y=-x2+2x-3,令y=0,则x=6或2,4即点A(2,0),则点D(4,1)；(2)过点E作EHI±BC交于点H,C、D的坐标分别为：（0,-3）、（4,1）,直线CD的表达式为：y=x-3,则点E（3,0）,OC311tan/OBC=一一，贝Usin/OBC=亍，OB625则EH=EB?sinZOBC=需'CE=3万则CH=EH贝Utan/DCB=CH(3)点A、B、C、(3,0),贝UBC=375,13；D、

28、E的坐标分别为2,0)(6,0)(0,3)、(4,1)、.OE=OC,，/AEC=45；11tan/DBE=1,642故：/DBE=/OBC,贝U/FBC=/DBA+ZDCB=/AEC=45°,当点F在y轴负半轴时，过点F作FGJ±BG交BC的延长线与点G,则/GFO/OBC=%设：GF=2m,则CG=GFtana=m,./CBF=45；BG=GF,即：3J5+m=2m,解得：m=3J5,CF=，GF2CG2=屈m=15，故点F(0,-18);当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F(0,1);故：点F坐标为(0,1)或(0,-18).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及

29、到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中(3),确定/FBC=/DBA+/DCB=/AEC=45°,是本题的突破口.10.关于三角函数有如下的公式:sin(a+F=sinacos3+cosasin3cos(a+)3=cosacos-时nasin3Una+tin"tan(a+)3=I-tancrtan/?利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如:lan450+tan6001+f(1+tan105=tan(45+60)=11VV八V=-(2+L).根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题:如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建

30、筑物顶端D点的俯角a=60；底端的俯角3=75；此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m,求建筑物CD的高CD的高为84米.【解析】分析：如图，过点D作DE，AB于点E,由题意易得/ACB=75,/ABC=90,DE=BC=42n/ADE=60；这木¥在RtAABC和在RtAADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-A邸得结果了.详解：如图，过点D作DE，AB于点E,由题意可得/ACB=75,/ABC=90,DE=BC=42mCD=BEZADE=60°,在RtAABC和RtAADEUn45DH-tan300342X=42X=42、，W

31、+H41tan45Ggi130”、3'1-丁AB=BC?tan75°=42tan75°=AC42Xtan60'=42MmAE=*,.CD=AB-AE12%L-42砂二网（米）.答：建筑物CD的高为84米.睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到RtAABCRtAADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.11.如图，半圆O的直径AB=20,弦CD/AB,动点M在半径OD上，射线BM与弦CD相交于点E(点E与点CD不重合)，设OM=m.(1)求DE的长(用含m的代数式表示)；4(2)令弦CD所对的圆心角为'且sin=.25若ADEM的面积为S,求S关于m的函数关系式，并求出m的取值范围;若动点N在CD上，且CN=OM,射线BM与射线ON相交于点F,当/OMF=90°时,求DE的长.10010m/2小(1)DE=;(2)mS=-23m60m300史<m<10),13DE=【解析】【分析】(1)由CD/AB知DEMsOBM,可得DEOBDM,据此可得;OM(2)连接OC、彳OPXCD.MQ±CD,1，一由OC=OD、OP±CD知