中考数学综合题专题复习【直角三角形的边角关系】专题解析

1、中考数学综合题专题复习【直角三角形的边角关系】专题解析一、直角三角形的边角关系DCF1.如图，山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为6J3米，山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵机勺高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数值：sin20°=0,34:os20°=0.94tan20°=0.3.【答案】6.4米【解析】解：二,底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°.DC=BC?cos30°6a

2、/39米，2,.CF=1米, .DC=9+1=10米， .GE=10米， /AEG=45； .AG=EG=10米，在直角三角形BGF中,BG=GF?tan20°=10X0.36*6AB=AG-BG=10-3.6=6.4米,答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2.如图，在平行四边形ABCD中，八工平分27MJ交"于点幺.平分乙历。，交仞于点F,"E与"F交于点P,连接EF,刖.(1)求证：四边形是菱形；若加=4/1D一上力"=6()1求

3、的值.【答案】(1)证明见解析【解析】试题分析：（1）根据AE平分/BACKBF平分/ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及/PAF=60,过点P作PH，AD于H,即可得到PH、DH的长，从而可求tan/ADP试题解析：（1）.AE平分/BADBF平分/ABC/BAE=ZEAF/ABF=ZEBF1.AD/BC/EAF=ZAEBZAFB=ZEBF/BAE=ZAEB/AFB=/ABF.AB=BEAB=AF.AF=AB=BE1.AD/BC.ABEF为平行四边形又AB=BE.ABEF为菱形(2)作PH,AD于HP

4、H=/3,AH=1,DH=AD-AH=54、三角函数由/ABC=60而已(1)可知/PAF=60,PA=2,则有tanZADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形;3.下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4m,AB=6m,中间平台宽度DE=1m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N,M,B,ZEAB=31°,DF±BC于点F,ZCDFN5：求DM和BC的水平距离BM的长度.（结果精确到0.1m.参考数据:sin31°逐,cos31.86,tan31.60）0【解析】试题分析：设DF=x,在RtDFC中，可得CF=DF=x

5、则BF=4-x,根据线段的和差可得AN=5-x,EN=DM=BF=4-*,在RANE中，/EAB=1=,利用/EAB的正切值解得x的值.试题解析：解：设DF=y,在R9DFC中，/CDF=5"，CF=tan45=DF=x,又CB=4,BF=4X,.AB=6,DE=1,BM=DF田，.AN=5K,EN=DM=BF=4-M,在RtANE中，/EAB=H：,EN=4X,AN=5*,EX4-xtan31：=0.60,a、5-工解得X=2.5,答：DM和BC的水平距离BM为2.5米.考点：解直角三角形.于另一点D,垂足为E.设P4.如图，在。的内接三角形ABC中，/ACB=90°,A

6、C=2BC,过C作AB的垂线l交。O上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.(1)求证：PASPDF;rai?j(2)若AB=5,稗=加，求PD的长;AG试题分析：（1）应用圆周角定理证明ZAPD-ZFPQ得到ZAPC=ZFPD,又由ZPAG=ZPDC,即可证明结论.=x,tan/AFD=y,求y与x之间的函数关系式.（不要求写出【答案】（1）证明见解析;【解析】（3）在点P运动过程中，设x的取值范围）1y-x；(3)（2）由AC=2BQ设=应用勾股定理即可求得BC,AC的长，则由AC=2BC#AC=2ay由ACa4ABC可求得AE,CE的长，由鼎工国可知

7、4APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由4AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4从而求得DF的长，PAAC由（1）PAgPDF得PD万F,即可求得PD的长.AD=2（3）连接BP,BD,AD,根据圆的对称性，可得DR,由角的转换可得APAGAPDGADtanABP=y=_=”由AG24DGB可得DC/由AGNPGB可得Pfi,两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆0,得/FPG=/B,又./B=/AC曰90/BCE,/AC曰/APD,./APD=/FPC.ZAPD+ZDPC=ZFPC+ZDPC,即ZAPC=ZFPD.又./PAG=/PDC,.-.APACAPDF.(2)

8、连接BP,设PC二a,ZACB=90,.a2+(2tz)2=5L。=y15.BC=yj,ACAECEAC=_k-.ACEAABC,A(R，Afi,即2.ABXCD,=2如图，连接BP,"一肝，.APB是等腰直角三角形.AEF是等腰直角三角形.二.EF=AE=4./巴PAAC2AB=5,=2V5ECE2/5寸55AE=CE=2ZPAB=45,'“DF=6.由(1)PAB/XPDF得厂”PD的长为2.(3)如图，连接BP,BD,AD.AC=2BC,根据圆的对称性，,.ABXCD,BP±AE,./ABP二tanABP.tan/.AFD=yAGAP.AGPADGB,：n(i

9、Mrl,即'=*AD得AD=2DB,即=ZAFD.AP一|=vBP,.AGDPGB,DGAD前二而AGDGAPAD丽丽二丽丽AGAPAD=-,即BGPBDB.AG考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.5.如图，AB是。的直径，E是。上一点，C在AB的延长线上，ADLCE交CE的延长线于点D,且AE平分/DAC.(1)求证：CD是。的切线；(2)若AB=6,/ABE=60°,求AD的长.【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质得到/OAE=/

10、DAE,再利用半径相等得/AEO=/OAE,等量代换即可推出OE/AD,即可解题，(2)根据30°的三角函数值分别在RtAABE中，AE=ABcos30；在RtAADE中，AD=cos301AE可解题.【详解】证明：如图，连接OE, .AE平分/DAC,/OAE=/DAE. .OA=OE,/AEO=/OAE./AEO=/DAE. .OE/AD. .DCXAC, OEXDC. .CD是。O的切线.(2)解：.AB是直径，/AEB=90；/ABE=60:eEEAB=30；在RtMBE中，AE=ABcos30°=6X3=3折2'在RtAADE中,/DAE=/BAE=30&

11、#176;,.AD=cos30乂AE=-3X3,32【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.6.如图，AB是。的直径，PAPC与。O分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DELPO交PO的延长线于点E.(1)求证：/EPD=/EDO;3一一一(2)若PC=3tan/PDA=,求OE的长.4【答案】(1)见解析；(2)直.2【解析】【分析】CD=2进而求得OE的长.3.(1)由切线的性质即可得证.(2)连接OC,利用tan/PDA=,可求出43OC=,再证明OE24DEP根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出2【详解】(

12、1)证明：.PA,PC与。O分别相切于点A,C,/APO=ZCPO,PALAO,-.DE±PO,/PAO=ZE=90； /AOP=ZEOD,/APO=ZEDO,/EPD=ZEDO.(2)连接OC,PA=PC=33.tan/PDA=，4 在RtPAD中，AD=4,PD=.PA2A5y=5, .CD=PD-PC=5-3=23.tan/PDA=,4在RtOCD中，3oc=-，2:二5OD=OC2CD2=3，/EPD=ZODE,/OCP=/E=90；.,.OEDADEP,PDPEDE=2DODEOEDE=2OE,255在RtOED中，OE2+D=OD2,即5OE2=_=24【点睛】本题考查了

13、切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用3tanZPDA=-,得线段的长是解题关键47 .如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A、B分别为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D,所夹的角度约为67°,半径OC所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E,DE=15cm,AD=14cm.(1)求半径OA的长(结果精确到0.1cm,参考数据：sin67°=0,9£os67°=0.39tan67°2.36(2)求扇形BOC的面积(兀取3.14,结果精确到1cm)【答案】(1)半径OA的长约为24.

14、5cm；(2)扇形BOC的面积约为822cm2.【解析】【分析】在RtODE中，DE=15,/ODE=67,根据/ODE的余弦值，即可求得OD长，减去AD即为OA.(2)用扇形面积公式即可求得【详解】在RtODE中，DE15cm,ODE67.cosODEDEDO'OD150.39OAODAD38.461424.5cm,答：半径OA的长约为24.5cm.(2)ODE67,BOC157,-S扇形BOC360._21573.1424.523602822cm答：扇形BOC的面积约为822cm2.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，利用三角函数中余弦定义来解题

15、是解题关键.8 .超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路(直线AO)的距离为120米的点P处.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且/AP*60°,/BPO=45:(1)求A、B之间的路程；(2)请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由.(参考数据：&1.414,J31.73).【答案】【小题1】73.2【小题2】超过限制速度.【解析】解：(1)AB100(731)73.2(米).6分732(2)此车制速度v=y：=18.3米/秒9 .已知AB是

16、。的直径，弦CD)±AB于H,过CD延长线上一点E作。的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.(1)如图1,求证：KE=GE;1，一(2)如图2,连接CABG若/FGB=/ACH,求证：CA/FE;2.3(3)如图3,在(2)的条件下，连接CG交AB于点N,若sinE=,AK=同，求CN5的长.【答案】(1)证明见解析；(2)AEAD是等腰三角形.证明见解析；(3)2010.13【解析】试题分析：(1)连接OG,则由已知易得/OGE=ZAHK=90,由OG=OA可得/AGO=/OAG,从而可得/KGE4AKH=ZEKG这样即可得至UKE=GE(2)设/FGB形，由AB

17、是直径可得/AGB=90,从而可得ZKGE=90-a,结合GE=KE可得1,/EKG=90-%这样在GKE中可得/E=2a由/FGB=/ACH可得/ACH=20这样可得2/E=/ACH,由此即可得到CA/EF;(3)如下图2,作NPLAC于P,35-一,设AH=3a,可得AC=5a,5AH由（2）可知/ACH=/E,由此可得sinE=sinZACH=AC一一CH4CH=4a,贝UtanZCAH=-,由（2）中结论易得/CAK=ZEGK士EKG=ZAKC,从而可AH3AH得CK=AC=5a由此可得HK=a,tanZAKH=3AK=J10a结合AK=Ji0可得a=1HK贝UAC=5;在四边形BGK

18、H中，由/BHK=/BKG=90,可得ZABG+ZHKG=180,结合ZAKH+ZGKG=180；/ACG=ZABG可得/ACG=ZAKH,在RtAPN中，由tanZCAH=4型，可设PN=12b,AP=9b,由3APtan/ACG=里tan/AKH=3可得CP=4b,由此可得AC=AP+CP13b=5,贝U可得b=,由CP13此即可在RtACPN中由勾股定理解出CN的长.试题解析：(1)如图1,连接OG.031 EF切。于G, OGXEF, /AGO+/AGE=90；,.CDLAB于H,/ AHD=90；/ OAG=ZAKH=90；1 .OA=OG,/AGO=ZOAG,/AGE=/AKH,3

19、 /EKG4AKH,4 /EKG4AGE,KE=GE(2)设/FGB形，,AB是直径，/AGB=90,°/AGE=ZEKG=90-%/E=180-/AGE-/EKG=2pc15 /FGB=-ZACH,2/ACH=23/ACH=ZE,6 .CA/FE.(3)作NF)±AC于P.7 /ACH=ZE,AH3、一1.sinZE=sinZACH=一，设AH=3a,AC=5a,AC5CH4贝UCH=JACCH4a，tanzCAH=T7T-，AH31.CA/FE,/CAK=ZAGE,/AGE=/AKH,/CAK=ZAKH,.AC=CK=5aHK=CK-CH=4a,tanZAKH=AH-=

20、3,AK=7AH2HK2710a，HK-ak=7w, .MaM，a=1.AC=5, ZBHD=ZAGB=90,ZBHD+ZAGB=180,在四边形BGKH中，ZBHD+ZHKG+ZAGB+ZABG=360,ZABG+ZHKG=180,vZAKH+ZHKG=180；ZAKH=ZABG, ZACN=ZABG,ZAKH=ZACN,tanZAKH=tanZACN=3,.NPLAC于P,ZAPN=ZCPN=90,PN4在RtAPN中，tanZCAH=设PN=12b,贝UAP=9b,AP3PN在RtACPN中，tanZACN=3CP',CP=4b,.AC=AP+CP=13p,.AC=5,-13b=

21、5,5.b=,132q-cn=;PN2CP2=4710b=-Vio.10.如图，正方形ABCD的边长为无+1,对角线AC、BD相交于点O,AE平分/BAC分别交BCBD于E、F,(1)求证：ABFsACE;(2)求tan/BAE的值;(3)在线段AC上找一点P,使得PE+PF最小，求出最小值.DC【答案】(1)证明见解析；(2)tan/EAB=&T；(3)PE+PF的最小值为也甚【解析】【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；(2)如图1中，作EH，AC于H.首先证明BE=EH=HC设BE=EH=HC=x构建方程求出x即可解决问题；(3)如图2中，作点F关于直线AC的对

22、称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】(1)证明：四边形ABCD是正方形，/ACE=/ABF=/CAB=45；1 .AE平分/CAB,/EAC=/BAF=22.5,°2 .ABFAACE.(2)解：如图1中，作EHLAC于H.却.EA平分/CAB,EHXAC,EB±AB,.BE=EB,/H咨45；CCHE90;/HCE=ZHEC=45；.HC=EH,-.BE=EH=HC,设BE=HE=HC=x,贝UEC=2x,BC=-72+1,.x+x=.2+1,.x=1,在RtAABE中，ZABE=90°,BE1tan/E

23、AB=J2-1.AB.21(3)如图2中，作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时PF+PE的值最小.Cr-§作EMLBD于M.BM=EM=e,2ac=Jab2bc2=2+应，Cc1八2L2.OA=OC=OB=-AC=,22.-.OH=OF=OA?tan/OAF=OA?tan/EAB=2?（四一1）2八八22.HM=OH+OM=-,2在RtAEHM中，EH=JeM2HM2=.2222.222.PE+PF的最/、值为2222【点睛】最短问题等知识，解题的关键是本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理,学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于

24、中考常考题型.11.如图，RtAABC,CA±BC,AC=4,在AB边上取一点D,使AD=BC,AAD的垂直平分线，交AC边于点F,交以AB为直径的。于G,H,设BC=x.(1)求证：四边形AGDH为菱形；(2)若EF=y,求y关于x的函数关系式；(3)连结OF,CG.若4AOF为等腰三角形，求。的面积；若BC=3,则V30CG+A(直接写出答案).1c16【答案】(1)证明见斛析；(2)y=x2(x>0);(3)一兀或8兀或(2J17+2)83阳472T-【解析】【分析】(1)根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；一一AEEF(2)只要证明AE

25、M4ACB,可得解决问题；ACBC(3)分三种情形分别求解即可解决问题；一GFCG只要证明CF84HFA,可得=,求出相应的线段即可解决问题;AFAH【详解】(1)证明：:GH垂直平分线段AD,.HA=HD,GA=GD,AB是直径，AB±GH,EG=EH,.DG=DH,.AG=DG=DH=AH,四边形AGDH是菱形.(2)解：.AB是直径，/ACB=90； .AEXEF7,/AE曰/ACB=90°, /EA曰/CAB, .AEFAACB,AEEFACBC，1-x2_1，4x.y=1x2(x>0).8(3)解：如图1中，连接DF.H二图：.GH垂直平分线段AD, .FA=FD,丁当点D与。重合时，4AOF是等腰三角光 AC8后 AB=）3oO的面积为16兀.3如图2中，当AF=AO时，©数-AB=Vac2bc2=由6x2,.OA='16x,I22.af=Jef2ae2=J-x2882,Jl6x2_112212Jx-，2V82解得x=4（负根已经舍弃），.AB=4V2，入此时AB=2BC,/CAB=30；OO的面积为8冗如图2-1中，当点C与点F重合时，设AE=x,贝IJBC=AD=2x,AB=64x