1.2.2一元二次不等式(1)

1、授课班级11咼职机电(1)11咼职机电(2)教师授课2022-10-132022-10-13范梅芳日期课时2授课类型新授课课§ 1.2.2 一元二次不等式(1)题目的1 理解一兀二次方程、一兀二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一兀二次不要求等式的方法；2 培养数形结合能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力;3激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，冋时体会事物之间普遍联系的辩证思想重点重点：一兀二次不等式解题的求法难点难点：一兀二次不等式解题情况的得出教学三角板用具一、温故知新.备注.1.当x取何值时，3x 15的值(1)等于0; (2)大于

2、0; (3)小于02.画出函数y 3x 15的图象，禾U用图象答复：(1)3x 15=0的解是什么；(2) x取什么值时，函数值大于0;授(3)x取什么值时，函数值小于0。二、新课引入课21、画出函数y x x 6的图象，禾U用图象答复：2(1)方程xx 6 = 0的解是什么；内(2) x取什么值时，函数值大于(3) x取什么值时，函数值小于0；0.容2、一兀二次不等式定义含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一兀二次不等式。一般形式为：ax bx c 0或 axbx c 0(a 0)授课内容如何求一元二次不等式的解集？这是本节的核心内容.(1) 一元二次方程及二次函数图象求一元

3、二次不等式的解集问题，与一元二次方程求根问题、二次函数图象密切相关，因此首先让我们复习一下这两方面的知识. 一元二次方程在初中你已经学习过一元二次方程ax2+bx+c=0, (a 0)(12-2-1)它的解集是由满足(12-2-1)的全部x构成的，我们已经知道，满足(12-2-1)的x称为一元二次方程(12-2-1)的根，求(12-2-1)的解集，也就是求出它的全部 根.(12-2-1)有没有根、有几个根，取决于判别式厶=b2-4ac :当 >0(12-2-1)有两个相异实根 X1= 1( b), X2= 1 ( b ),2a2a即方程(12-2-1)的解集是X1, x2；当=0(12-

4、2-1)有两个相等实根，X1=x2=b ,2a即方程(12-2-1)的解集是X1；当<0(12-2-1)无实根，即方程(12-2-1)的解集是空集 . 二次函数的图象在初中你还学过与二次方程密切相关的二次函数y =ax2+ bx+c, (a 0),(12-2-2)对右端的二次三项式 ax2+ bx + c作配方，可得：y =a(x+ b )2 - = a(x+_L )2-.2a 4a2a 4a由此可知它的 图像是一条顶点在(-b , -_ )的抛物线，并且当a>0时开口向上，2a 4aa<0时开口向下这样它的图像总共有六种可能情况，在a>0的三种情况的示意图如图12-1

5、 ;在a<0时类似的也有三种情况，你可以自己画一下它们的示意 图从示意图12-1，你可以准确地填完下面的空格(在位置关系空格内可以选相交相切，或“相离)：当=b2-4ac>0时，图像与x轴的位置关系是 ,图像与x轴有个交点；当=b2-4ac=0时，图像与x轴的位置关系是 ,图像与x轴有 个交点；图 12-1(1)yb丿XOX1=0图 12-1(2)/4aXOb2a<0 图 12-1(3)当=b2-4ac<0时，图像与x轴的位置关系是 ,图像与x轴有 个交点.把二次函数(12-2-2)与一元二次方程(12-2-1)关联起来，你可以发现其实(12-2-1)的根就是使函数(1

6、2-2-2)等于0的点一一称为函数的零点，也就是(12-2-2)的图像与x轴交点的横坐标，因此(12-2-1)的解集也就是(12-2-2)的图像与x轴交 点的横坐标所构成的数集，你可以从图像中直观地得到关于一元二次方程存在 根的结论.一元二次不等式的解集与一元二次方程的根以及二次函数的图像密切相 关，如下表所示：授课内容000二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象l0n 厶 忙円I ZDuX一兀二次方程ax2 bx c 0a 0的根有两相异实根X1,X2(X1 X2)有两相等实根bx1 x22a无实根ax2 bx c 0 (a 0)的解集xx 为或X x2bX X2aRax2 bx c

7、0 (a 0)的解集XX-!X x2总结上面的讨论，得到解一元二次不等式(12-2-3)的步骤如下： 第一步把系数a化为正数；第二步讨论一元二次方程 ax2 +bx+c=0的根，作二次函数的草图；第三步 据表12-1或观察草图得到解集的结论.3、例题讲解例1 解以下不等式：(1)x2-2x+3<0 ; (2)-x2 +x -1 0;2x2-2x+4 0.4解(1)第一步 a=1>0 ;第二步 因为=b2-4ac= 4-12<0，所以方程x2-2x+3=0无实根， y=x2-2x+3 的草图如图 12-2(1);第三步 据表2-1或图可知，原不等式的解集是空集第一步不等式两边同

8、乘以-1，得x2 -<+1 0;4第二步 因为=b2-4ac=1-仁0 ,所以方程x2 -c+1 =0有相等实根X1 = x2=!,42y=x2 -c+ 1 的草图如图 12-2(3)；4第三步 根据表2-1或图可知，原不等式的解集是1-2x2-2x+4=0 无实第一步 a=2>0 ； 第二步 因为=b2-4ac=4-32<0，所以方程 根，y=2x2-2x+4 的草图如图 12-2(3)；X第三步：据表2-1或图可知， 原不等式的解集是 R=(- ，+ ).例2.解以下不等式(1)-x2-3x-3 0;(2)x2-4x+4 0;(3)4x2-x-3 0.授课内容如果你能记住

9、表2-1的结论， 也可以免去第二步作草图的操作，直接得到不等式的解集.为了记住表2-1 ,你只要记住一个前提(a >0)的四句话： 根上等于0,根间小于0, 根外大于0,无根恒大于 0.下面例子中，我们将不再作草图.例3解以下不等式，并用区间表示解集：(1) -x2+5x 0; (2)x2+6x+9<0 . (3)-x2+2x-3 0; (4)x2 2 x+ 1 >0.39解(1)化原不等式为x2-5x 0；令 x2-5x=0,解得 X1=0, X2=5;据 根间小于0,根上等于0的结论，即得x2-5x 0的解集、即原不等式的解集为0,5.(2) x2项的系数已经为正；令 x

10、2+6x+9=0，解得 X1=X2= -3 ;据根间等于0,根外大于0的结论，即得x2+6x+9<0的解集为.(3) 化 x2项为正系数，得x2-2x+3 0;令 x2-2x+3=0，因为 =b2-4ac= 4-12=-8<0 ,所以方程无实根；据 无根恒大于0的结论，x2-2x+3 0的解集为R,即原不等式的解集为 R=(- ，+ ).(4) x2项的系数已为正数；令 X2 2X+= 0 ,解得 X1=X2=1 ；393据 根上等于0，根外大于0的结论， 原不等式的解集为(-,1 )U ( 1 + ).33例4求自变量x在什么范围取值时，以下函数值等于0、大于0、小于0? (1)

11、y=x2-2x-8； (2)y=25- x2.解 令 x2-2x-8=0，解得：(x-4)(x+2)=0, X1=-2, X2=4 ,所以当x=-2或x=4时，函数值等于 0;当-2<x<4时，函数值小于 0;当x<-2或 x>4时，函数值大于 0.(2)令 25- x2=0，得 X1= -5 ,25- x2>025-x2<0所以当x= 5时，x2 -25<0x2 -25>0函数值等于X2=5 ；-5<x<5 ； x<-5 或 x>5.0;当-5<x<5时，函数值大于 0;当时，函数值小于0. 课内练习：1不等

12、式(x+5)(3 2x) > 6的解集是9A. x|x w 1 或 x> -2C. x|x <-或 x> 12D. x| 9 w x w 122设集合 A=x|x 2- 6x+8<0,B=x|4 x > 1,那么 A n B 等于D.A.x|2 w x w 3 B. x| 4<x<2 C. x|3 w x<43. 解以下不等式，并用区间表示解集：(1)(x+1)(x-2)<0 ； -x2+2x+3 0；(3)2x2+5x-3>0 ；4. 自变量x在什么范围内取值时，以下函数值等于0?大于(1)y=3x2-6x+2 ；(2)y=-

13、3x2+12x-12 ；(3)y=x2+6x+10 .三、课堂小结：222b 4ac 0时，不等式 ax bx c 0 或 ax bx解的一般步骤是:(1)使二次项的系数a 0；(2)(3)(4)(5)分解因式；将不等式化为两个不等式组；分别解两个不等式组的解集； 得解集：原不等式的解集是两个不等式解集的并集。有没有其它方法解对于0情形的一元二次不等式，再一个对0一元二次不等式的情形，下节课我们再来研究它们的解法。课外作业:1解以下不等式(1)x2 7x+12>0x<-5 或 x>5)小于0?0(a 0)(2) x2 2x+3 > 0(3)x2 2x+1<0(5)

14、x2+2x+1 0；2(6)-x2+-4x>5 .(4)x2 2x+2<02解以下不等式(1) 6x2 x2+2<0(2) 1 4x2>4x+2(3) x(x+2)<x(3 x)+1(4) (x 2)(x+2)>1四、教学反思1、不等式二种解法在方法层面的回忆及二种方法的比拟反思：对于方法我一向特别重视，尤其是习题教学中将解题方法的归纳及反思作为最重 要的环节。当然，在今天的课堂上，尽管外表上大家均能说出答案，然而外表的 背后却有着截然不同的水平及层次，有些同学停留于死记硬背，有些那么对方法有一定程度的理解，有些那么到达了掌握的层次。进而，仅仅通过这个环节似

15、乎不 能说明所有学生均已到达了较高的掌握水平。可惜课堂上却停留于复述层面,进而并未能到达预定的目标。现在反思，如果课堂上再设置些有一定难度同时较 灵活的习题让学生完成，应该就可以起到相应的起用。授课内容提升到理论高度：数学思想方法的渗透及教学，必须与具体的教学材料相结合， 并且有机融为一体，方能起到应有的作用。理论是抽象的，也是高高在上的；实 践是丰富的，具有生机活力；只有将理论与实践有机结合，相互渗透，互为补充， 才可产生最大效益。知识不是孤立的，是互相联系的，要真正学会解一元二次不 等式，必须理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法 解一元二次不等式的方法，它可以培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。2、不等式的步骤、格式的标准需强调及反思：从课堂反应来看，学生最大的难点就是会解不会写，或者是格式不标准，这种 现象应该具有相当大的普遍性。从心理学角度分析，会解只能说明您对题目有一 定程度的理解，知道大概的解题思路；而要会写会说，那么要求更高，解题思路必 须相当明确，对题目的理解更深。从这个角度而言，课堂上尝试让学